1、微专题11切线放缩考情分析切线放缩思想一直是导数中重要的思想之一，某些求函数的最小值或证明不等式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果一般试题难度较大考点一利用切线放缩求最值典例1已知函数f(x)ln xxexax(aR)(1)若f(x)在1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a1，求f(x)的最大值解(1)由题意，f(x)(x1)exa0在1，)上恒成立，从而a(x1)ex，设g(x)(x1)ex(x1)，则g(x)(x2)ex0，所以g(x)在1，)上单调递增，故g(x)ming(1)2e1，因为ag(x)恒成立，所以a2e1，故实数a的取值范围为(，2e1(2)方法一设(x)e
2、xx1，则(x)ex1，令(x)0，则x0，令(x)0，则x0)，则u(x)10，故u(x)在(0，)上单调递增，结合u10知u(x)在(0，)上有零点，即方程xln x0有实根，所以f(x)max1.方法二当a1时，f(x)ln xxexx(x0)，f(x)(x1)ex1(x1)，设h(x)ex(x0)，则h(x)ex0，h(1)1e0，所以f(x)0，故f(x)在(0，x0)上单调递增，当x(x0，)时，h(x)0，所以f(x)0，f(x)xe2x 恒成立，求实数a的取值范围解方法一(切线放缩，利用exx1)对任意的x0，f(x)xe2x 恒成立，等价于a 在(0，)上恒成立因为xe2x(
3、ln x1)e2xln x(ln x1)(2xln x1)(ln x1)2x，所以2.当且仅当 2xln x0 时等号成立 (方程显然有解)，即min2，所以a2.方法二(隐零点)因为f(x)axln x1，所以对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，等价于ae2x在(0，)上恒成立令m(x)e2x(x0)，则只需am(x)min 即可，则m(x)，再令g(x)2x2e2xln x(x0)，则 g(x)4(x2x)e2x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g2ln 20，所以g(x)有唯一的零点x0，且x01，所以当0xx0 时，m(x)x0 时，m(x)0，所以m(x) 在(0，x0)上
4、单调递减，在(x0，)上单调递增，因为ln x00，所以ln 22ln x02x0ln(ln x0)，即ln(2x0)2x0ln(ln x0)(ln x0) ，设s(x)ln xx(x0)，则s(x)10，所以函数s(x)在(0，)上单调递增，因为s(2x0)s(ln x0)，所以2x0ln x0，即，2，所以m(x)m(x0)2，则有a2，所以实数a的取值范围为(，2考点二利用切线放缩证明不等式典例2已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明：f(x)0.(1)解由题意，f(x)ex，因为x0是f(x)的极值点，所以
5、f(0)10，解得m1，故f(x)ex，x1，令u(x)(x1)ex1(x1)，则u(x)(x2)ex0，所以u(x)在(1，)上单调递增，又u(0)0，所以当1x0时，u(x)0，故f(x)0时，u(x)0，故f(x)0，从而f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明方法一当m2时，f(x)exln(xm)exln(x2)，下面先证exx1，令g(x)exx1(xR)，则g(x)ex1，所以g(x)0x0x0，从而g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故g(x)ming(0)0，所以g(x)0，从而exx1，当且仅当x0时等号成立，再证ln(x2)x1，令h
6、(x)ln(x2)x1(x2)，则h(x)1，所以h(x)02x1，h(x)1，从而h(x)在(2，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故h(x)maxh(1)0，所以h(x)0，故ln(x2)x1，当且仅当x1时等号成立，综上所述，有ln(x2)x1ex，且两个等号不能同时成立，所以ln(x2)0，因为当m2时，f(x)exln(xm)exln(x2)，所以f(x)0.方法二当m2时，f(x)exln(xm)exln(x2)，令g(x)exln(x2)，x2，则g(x)ex，令h(x)(x2)ex1(x2)，则h(x)(x3)ex0，所以h(x)在(2，)上单调递增，结合h(1)10，知存
7、在唯一的x0使h(x0)0且x0(1,0)，当2xx0时，h(x)0，所以g(x)x0时，h(x)0，所以g(x)0，从而g(x)在(2，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故g(x)ming(x0)ln(x02)，因为h(x0)(x02)10，所以，两边取对数得x0ln(x02)，代入得g(x0)(x0)0，所以g(x)0，即exln(x2)0，因为当m2时，f(x)exln(x2)，所以f(x)0.跟踪训练2已知函数f(x)ln xa2x2ax.(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若a1，求证：当x0时，f(x)0时，f(x)2a2xa，当0x0，当x时，f(x)0，所以f(x)在上
8、单调递增，在上单调递减；当a0时，f(x)，当0x0，当x时，f(x)0时，f(x)e2xx22，只需证ln x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)g(0)0，所以当x0时，e2x2x1，所以e2xx2x1.令h(x)x1ln x，x0，则h(x)1，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)minh(1)0，所以当x0时，h(x)h(1)0，即当x0时，x1ln x，所以当x0时，e2xx2x1ln x，即ln x0时，f(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增，从而h(x)minh(1)，因为ah
9、(x)恒成立，所以a，故实数a的取值范围是.方法二由题意，f(x)0ex1a(x1)0a，易证exx1，所以ex1x，当且仅当x1时取等号，从而11，又当x1时，所以的最小值为，因为a恒成立，所以a，故实数a的取值范围是.(2)证明由题意知，a，f(x)ex1，所以f(x)g(x)ex1(x1)ln x，易证ln xx1，所以当x1时，(x1)ln x(x1)2，下面证明ex1(x1)2，只需证ex1，即证1，设(x)(x1)，则(x)，所以(x)0x2，(x)01x2，从而(x)在上单调递减，在上单调递增，在(2，)上单调递减，又(1)1，(2)1，所以(x)1，即当x1时，1，所以ex1(
10、x1)2，因为(x1)2(x1)ln x，所以ex1(x1)ln x，故f(x)g(x)成立2已知函数f(x)ex2x23x.(1)求函数f(x)在区间0,1上的零点个数；(其中f(x)为f(x)的导数)(2)若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1在1，)上恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)ex2x23x的导数f(x)ex4x3，则f(x)ex4x3在区间(0,1)单调递增，又f(0)1320，则函数f(x)在区间0,1上只有一个零点(2)若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1在1，)上恒成立，整理得a，即求函数g(x)在1，)上的最小值，由g(x)，得g(x)，由yexx1，
11、得yex1，可得当x0时，y0，函数yexx1单调递增，当x0，则g(x)在1，)上单调递增，可得g(x)ming(1)e，则ae.3设函数f(x)aexxln x，其中aR.(1)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若a，证明：f(x)0.(1)解方法一由题意知，f(x)aexln x1(x0)，且f(x)0恒成立，所以a，令g(x)(x0)，则g(x)，当0x0，ln x0，故g(x)在(0,1)上单调递增，当x1时，10，所以g(x)0)，且f(x)0恒成立，所以a，易证ln xx1，exex，所以，当x1时，所以max，因为a恒成立，所以a，故实数a的取值范围是.(
12、2)证明方法一当a时，f(x)aexxln xexxln x2ex2xln xex2，下面证明ex20，只需证20，当00成立，下面证明当x1时该不等式也成立，令h(x)2(x1)，则h(x)，令r(x)xln xln x1(x1)，则r(x)ln x1，令n(x)ln x1，则n(x)0，所以r(x)在(1，)上单调递增，又r(1)0，所以当x1时，r(x)0，从而r(x)在(1，)上单调递增，又r(2)ln 210，所以r(x)在(1，)上有唯一的零点x0，且x0(2，e)，当x(1，x0)时，r(x)0，所以h(x)0，所以h(x)0，从而h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故h(x)minh(x0)2，又r(x0)x0ln x0ln x010，所以ln x0，代入式得h(x0)22，由x02可得112,00，从而h(x)20，综上所述，对任意的x0，都有20，所以ex20，又当a时，f(x)ex20，所以f(x)0.方法二当a时，f(x)aexxln xexxln x2ex2xln x，易证ln x，所以2ex2xln x2ex2，令u(x)2ex2(x0)，则u(x)2ex2，易证exx1，所以ex1x，从而u(x)0，故u(x)在(0，)上单调递增，又u(0)0，所以u(x)0恒成立，因为f(x)u(x)，所以f(x)0.
