1、 厦门市厦门市 20182018- -20192019 学年度第一学期高二年级质量检测学年度第一学期高二年级质量检测 数学数学( (理科理科) )试题试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（ ） A. 真 真 B. 假 真 C. 真 假 D. 假 假 【答案】B 【解析】 【分析】 根据逻辑或真假判断的真值表， p 是假命题，又“”为真命题，进而可得 q
2、是真命题 【详解】解：命题“ ”和命题“非 ”均为真命题， 为假命题， 为真命题， 故选：B 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是 解答的关键 2.双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可 【详解】解：双曲线即，其中 a=2，b=1， 故其渐近线方程是： 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题 3.记为等差数列的前 项和，若，则的公差 等于（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由等差数
3、列的前 项和公式可得，解可得，又由 ，可得，由等差数列的通项公式分析可得答案 【详解】解：根据题意，等差数列中，若，即， 则， 又由，则， 则等差数列的公差； 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质以及前 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于 基础题 4.若实数 ， 满足约束条件则的最大值是（ ） A. -7 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） ， 由得， 平移直线， 由图象可知当直线经过点 时，直线的截距最大， 此时 最大 由，解
4、得，解得， 代入目标函数得 即目标函数的最大值为 1 故选：C 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学 思想是解决此类问题的基本方法 5.若，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据基本不等式，, 又 ab,; 由 ab，易知 a+ba+a=2a, 故. 故选：A. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题 6.如图，在平行六面体中， 为的中点，设，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间向量的几何运算可得结果 【详解】根据向量的三角形法则得到 . 故选：A. 【
5、点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题. 7.在中，则的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据正弦定理求出角 ，从而求出角 ，再根据三角形的面积公式进行求解即可 【详解】解：由， 根据正弦定理得：， 为三角形的内角， 或， 或 在中，由，或 则面积或 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握 定理及公式是解本题的关键，属于中档题 8.已知，若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 是 的必要条件，列不等式方程确定实数 的取
6、值范围 【详解】解：设满足 p 的实数集合为 M,满足 q 的实数集合为 N， 是 的必要条件 ，即 解得. 故选：D. 【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题. 9.已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 进行等式变换后，根据基本不等式求解. 【详解】由，根据基本不等式， . 当且仅当，即时有最小值 9. 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本不等式的运用属于基础题. 10.记为数列的前 项和，若，则的最大值为（ ） A. -1 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由，将已知项变形得=，同除以，可得出为等 差
7、数列，从而得出，再利用单调性即可得解. 【详解】解： =，等号两侧同除以，得到 , 又, 是以 11 为首项，以-2 为公差的等差数列. 故 ， ，由单调性可知，当 n=6 时，的最大值为 1. 故选：C. 【点睛】本题考查了数列与 的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题. 11.如图， 在四棱锥中，平面， 点 是棱的中点，与平面交 于点 ，设,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将平面 ABE 延展,再利用三角形相似得出点 F 位置，从而得解. 【详解】解：过点 D 作垂直于平面 ABCD 的直线交 AE 延长线于点 M，连接 MP、MB， 由题意知平面
8、，PA=AD,且 E 为 DP 中点， 所以四边形 MPAD 为正方形， , M,P,B,C 四点共面，MB 与 PC 交与点 F. ,F 为 PC 三等分点(靠近点 C) 又， . 故选：C. 【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题. 12.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一 个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有 公共焦点，的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点发出，依次经 与 反射，又回 到了点，历时 秒；若将装置中的 去掉，此光线从点发出，经 两次反射后又回到了点， 历时 秒；若，则 与
9、 的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光 线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴 的关系，即可得两离心率的关系. 【详解】解：如图，由双曲线定义得： ， 由椭圆定义得： ， -得：； 所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为 对于单椭圆光学装置，光线经过 2 次反射后回到左焦点，路程为 ； 由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以. 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力
10、、识图能力、阅读及文字理解能力， 属于基础题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.对任意，都有，则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据不等式转化为方程，根据判别式求解. 【详解】根据题意，m 需满足方程=0 无解，即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题. 14.如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为和，如果这时气球的 高是 30 米，则河流的宽度为_米. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意画出图形，利用特殊角的三角
11、函数，可得答案 【详解】解：由题意可知， 故答案为：. 【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题 15.已知点， 分别是 轴、 轴上的动点，且满足.若点 满足， 则点 的轨迹方程是_. 【答案】 【解析】 【分析】 设点 M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点 M 坐标（a,0） ，N 坐标（0，b） ，点 P 坐标（x,y）, 则=（-1，b） ，=（-a,b） ， ， 而=,=, ,代入可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题. 16.记为数列的前 项和，若，则等于_. 【
12、答案】131 【解析】 【分析】 根据计算得出，再依次计算出的值，遂得出的值. 【详解】解：根据， ， ，从而，. 故答案为：131. 【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.在中，角所对的边分别是，. （1）求角 的大小； （2）是边上的中线，若，求的长. 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：， 结合范围，可求 的值 （2）由三角形面积公式
13、可求，进而利用余弦定理可得，即可解得 的值 【详解】解： （1）在中，由正弦定理得， ， ，即， ，. （2）在中， ， 是的中线， 在中，由余弦定理得 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于基础题 18.记为等比数列的前 项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知得到的值，再利用得出 q 的值，进而得到 的值，即得到数列的通 项； （2）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解. 【详解】解： （1）， ， ，即， 数列的通项公式为. （2）
14、由得，即， ， ， 由-得， . 【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题. 19.如图，四边形是矩形，且， （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1） 根据勾股定理， 求得 AC 长度， 结合 FA,FC 长度， 从而证明 FAAC， 又由 FABA,故 FA 平面 ABCD; （2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余 弦值可得二面角余弦值. 【详解】解： （1）， ，即， ，即. 四边形为矩形，. ， . （2）， ， ，两两互相垂直， 建立如图空间直角坐标系，则， ，
15、 ， 平面的一个法向量 设平面的一个法向量为，则 ，即， 取，则， ， 二面角的余弦值为. 【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想. 20.设 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，点在 上，. （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 ， 两点，若 与圆相切，求的面积 【答案】 （1）（2）16 【解析】 【分析】 （1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解； （2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解. 【详解】解： （1）由抛物线定义，点到准线的距离 点在
16、抛物线上， 由解得， 抛物线方程为. （2）设直线 方程为， 直线 与圆相切，即 由，得， . 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、 圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于 基础题. 21.某公司计划在办公大厅建一面长为 米的玻璃幕墙.先等距安装 根立柱， 然后在相邻的立柱 之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为 6400 元， 一块长为 米的玻璃 造价为元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为 元 （总造价=立柱造价+玻璃造价）. （1）求 关于 的函数关系式； （2）当时，怎样设计能使总
17、造价最低？ 【答案】 （1）且； （2）安装 8 根立柱时，总造价最小. 【解析】 【分析】 （1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式； （2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】解： （1）依题意可知，所以， （2） ，且，. ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当时，. 所以，安装 8 根立柱时，总造价最小. 【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查 函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题. 22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，. （1）求 的方程； （2）过点且与 轴不重合的直线 与 交于， 两点，直线
18、，分别与直线 交于 ， 两点，且以为直径的圆过点. （）求 的方程； （）记，的面积分别为，求的取值范围. 【答案】 （1）； （2） （）； （）. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可； （2） （）设 M,N 坐标分边为，直线 的方程为，结合椭圆方程可得 BM、 BN 方程，并得出点 P、Q 坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得 m 的 值； （）由（） ，将，的面积，转换为、 的表达式，相比可得出的取 值范围. 【详解】解： （1）依题意得，即， ，解得， 椭圆 的方程为. （2） （）设，直线 的方程为. 由得， 显然，且， 直线方程为，直线方程为， 令，得， 以为直径的圆过点， ， ，解得或（舍去） ， 的方程为. （）由（） ， ， . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式 等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数 学思想.
