1、 河南省新乡市河南省新乡市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.命题“若，则”的逆命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。 【详解】根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为 若，则 所以选 C 【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。 2.在等差数列中，则 A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】B
2、 【解析】 【分析】 由已知结合等差数列的性质即可求解的值 【详解】在等差数列中，由，得， 又， 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题 3.在中，角 A，B，C 的对边分别是边 a，b，c，若，则 A. B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用三角形内角和定理可求 B 的值，根据余弦定理可得 b 的值 【详解】， ， 由余弦定理可得： 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 4.已知双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大 2，焦距为 10，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C
3、. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线定义及 a、b、c 关系，求出值即可得到双曲线方程。 【详解】因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大 2，焦距为 10 所以 ，解方程组得 且焦点在 x 轴上，所以双曲线标准方程为 所以选 B 【点睛】本题考查了利用 a、b、c 的关系求双曲线标准方程，属于基础题。 5.在三棱柱中，若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行四边形法则 即可求出 【详解】如图， ； ，； 故选：D 【点睛】本题考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边 形法则
4、，数形结合的解题方法 6.设，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范 围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式求得 x 的取值范围，根据充分不必要条件可求出 a、b 的范围即可。 【详解】解不等式得 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 所以 所以选 C 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。 7.设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，验证，得到，进而得到答案。 【详解】由题意，只有 B 中，所以，故 【点睛】本题主要考
5、查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向 量与线面位置关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题。 8.设 x，y 满足约束条件，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】 画出表示的可行域，如图， 由可得，可得， 将变形为， 平移直线， 由图可知当直经过点时， 直线在 轴上的截距最小， 最小值为，故选 C. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域
6、求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9.已知点 是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四 象限的点，若，则的面积为 A. 42 B. 30 C. 18 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】 利用焦半径公式可得，得到抛物线方程，求得的坐标，得到方程，求 出与 轴交点 ，再由面积公式求解 【详解】 因为 到焦点 的距离，等于 到准线的距离，
7、 所以， 则抛物线的方程为， 把代入方程，得舍去 ，即 同理可得，则：，即 设直线与 轴交于 点，已知， ，故选 A 【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质，是中档题. 与焦点、准线有关的问题一 般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离 的转化： （1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点 的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 10.已知在长方体中， 是侧棱的中点，则直 线与平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系，
8、求得利 用向量垂直数量积为零列方程求出的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果 【详解】 在长方体中，是侧棱的中点， 以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系， 0， 0， ，0，1， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为 ， 则 直线与平面所成角的正弦值为 ，故选 B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，以及空间向量夹角余弦公式的应用，是中档题利 用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 11.
9、在直角坐标系中， 是椭圆 ：的左焦点，分别为左、右顶点， 过点 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接交 轴于点 ，连接交于点 ，若 是线 段的中点，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。 【详解】 如图， 连接BQ， 则由椭圆的对称性易得PBF=QBF， EAB=EBA， 所以EAB=QBF， 所以ME/BQ. 因为PMEPQB，所以， 因为PBFEBO，所以，从而有， 又因为M是线段PF的中点，所以. 本题选择C选项. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取
10、值范围)， 常见有两种方法： 求出a，c，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b 2a2c2转化为 a，c的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以a或a 2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得e(e的取值范围) 12.设是数列的前 项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可由题设中的递推关系得到，将其变形为后用累加法求 可得 【详解】因为，所以且，所以， 整理得到， 所以， ， 所以，选 A 【点睛】 数列的通项与前 项和 的关系式， 我们常利用这个关系式 实现与之间的相互转化. 二、填空题（本大题共二、填空题
11、（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.设命题 ：，则为_ . 【答案】， 【解析】 【分析】 由全称命题的否定即可得到答案。 【详解】根据全称命题的否定，可得 为， 【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。 14.已知，则的最小值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据基本不等式即可求出最小值 【详解】， ， ，当且仅当，即时取等号， 故答案为：1 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题 15.在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若， 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知利用余弦定理可求，又，可求 b，c 的值，根据余
12、弦定理可求，利 用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解 【详解】， 由余弦定理可得：，整理可得：， ， ， 解得：， ，可得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角 形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16.已知双曲线的左、 右焦点分别为、 ， 过的直线交 C 的右支于 A、 B 两点，则 C 的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 可设， 由可得， 运用双曲线的定义和勾股定理求得， 再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值 【详解】可设， 由可得， 由双曲线的定义可得， ， 由双曲线的
13、定义可得， 在直角三角形中，可得， 即， 在直角三角形中，可得， 即为，即， 可得 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股 定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知表示焦点在 x 轴上的双曲线，q：方程 表示一个圆 若 p 是真命题，求 m 的取值范围； 若是真命题，求 m 的取值范围 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 结合双曲线的定义进行求解即可 根据复合命题真假关系，得到 p，q 都是真命题进行求解即可 【详解】解
14、：若表示焦点在 x 轴上的双曲线为真命题， 则，得，得， 由得， 若方程表示圆，则得，即 q：， 若是真命题，则 p，q 都是真命题， 则，得， 即实数 m 的取值范围是 【点睛】本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价 条件是解决本题的关键 18.已知数列满足， 证明：数列是等比数列； 设，求数列的前 n 项和 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 对数列的递推式两边加 1，结合等比数列的定义，即可得证； 由对数的运算性质可得 ， 再由裂项相 消求和，化简可得所求和 【详解】解：证明：数列满足， 可得， 即有数列是首项为 2，公比为 3 的
15、等比数列； 由可得， 即有， 数列的前 n 项和 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算 能力，属于中档题 19.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 求 A； 若，求的面积 【答案】 （） ； （）2. 【解析】 【分析】 【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角 A 的 值； 【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得 A 的值； 由同角的三角函数关 系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求得 b，计算的面积 【详解】解： 【方法一】由已知得， ， ； 又， ， ， 由，得； 【方法二】由已知得，
16、化简得， ， 由，得； 由， 得， 在中， 由正弦定理，得， 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式，属于中档题 20.如图，在直三棱柱中，点 在 线段上，且 求的长； 求二面角的大小 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 连接，先证明平面,可得，利用三角形与三角形相似， 可得，利用直角三角形的性质求得；连接，结合（1） ，由线面垂直的 性质可得，即为所求角，由等腰直角三角形的性质可得结果 【详解】 为直三棱柱， 平面平面， ， 平面，所以 ，所以平面, ， 三角形与三角形相似， ， 又， ； 设，连接 BD， ， 即为二面角的平面角， 在中求得， 为等腰直
17、角三角形， 故 【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直、二面角的求法，属于常规题.求二面角的大小 既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命 题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优 点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这 种解法的关键是找到平面角. 21.已知动圆 过定点，且与直线相切，圆心 的轨迹为 . （1）求 的轨迹方程； （2）若直线 交 于 ， 两点，且线段的中点的坐标为，求. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可判断出圆心 C 的轨迹
18、为抛物线，由抛物线定义即可求得 E 的轨迹方程。 （2）设出直线斜率，两个交点 P、Q 的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线 方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得。 【详解】解： （1）由题设知，点 到点 的距离等于它到直线的距离， 所以点 的轨迹是以 为焦点为准线的抛物线， 所以所求 的轨迹方程为 （2）由题意已知，直线 的斜率显然存在，设直线 的斜率为， 则有，两式作差可得 ，即得， 因为线段的中点的坐标为，所以， 则直线 的方程为，即， 与联立得， 得， 【点睛】本题考查了抛物线的定义，涉及中点问题的点差法的应用及弦长公式，属于中档题。 22.已知椭圆C：的离心率为，长
19、半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为 椭圆C的上、下顶点，点 求椭圆C的方程； 若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 由题意知，解出 a、b 即可 点易知，则直线MA的方程为，直线MB的方程为分别 与椭圆联立方程组，解得，可得，Q坐标结合对称性可知定点在 y 轴上，设为 N，令直线PN，QN的斜率相等，即可得到定点 【详解】由题意知，解得， 所以椭圆C的方程为 易知， 则直线MA的方程为，直线MB的方程为 联立，得， 于是， 同理可得，又由点及椭圆的对称性可知定点在 y 轴上， 设为 N（0，n） 则直线PN的斜率，直线QN的斜率， 令，则，化简得，解得 n= ， 所以直线PQ过定点 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数 的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
