1、 镇海中学镇海中学 20182018 学年第一学期期中考试学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷高一年级数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.集合1,2,3,4,5,6U ，1,4,5S ，2,3,4T ，则 U SC T的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 U C T，再求 U SC T中元素的个数，进而求出子集的个数。 【详解】由题可得1,5,6 U C T ，所以 1,5 U SC T，里面有 2 个元素，所以子集个数为 2
2、24 个 故选 D 【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为2n个，n 指元素个数 2.已知是锐角，那么2是（ ） A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角 C. 第二象限角 D. 小于180的正角 【答案】D 【解析】 【分析】 根据是锐角求出2的取值范围，进而得出答案。 【详解】因为是锐角，所以0 2 ，故02 故选 D. 【点睛】本题考查象限角，属于简单题。 3.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A. 1 2 () (0)xxx B. 1 62 3( 0)xxx C. 3 3 4 4 1 (0)xx x D. 1 3 3 (0)xx x 【答案】C 【解析】 分析】
3、 利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。 【详解】 1 2( 0)xxx ，故 A 错 1 62 3 xx ，故 B 错 1 3 3 1 (0)xx x ，故 D 错 所以选 C 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。 4.设 0.3 11 32 11 log 2,log,( ) 32 abc ，则（ ） A. abc B. acb C. bca D. bac 【答案】D 【解析】 试题分析：根据我们所学的指数函数和对数函数的性质可知， 11 33 log 2log 10a ， 11 22 11 loglog1 32 b ， 0.30 11 0( )( )1 22 c，因此
4、可知acb，故选 B. 考点：对数函数性质 点评：解决的关键是对于不同底数的对数和指数式比较大小，一般找中间量即可，1,0 为常用的常 数,属于基础题。 5.函数 ln x y x 的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导，求函数的单调性，再考虑趋向性。 【详解】由题可得 2 1 ln 0 x yx x ，0y 即1 ln0 x ，解得0 xe 0y 即1 ln0 x ，解得xe 所以在0,e上函数单调递增，在, e 上函数单调递减，且当0 x时，y x 时，0y 故选 A 【点睛】本题考查有函数解析式判断函数的图像，一般方法是利用函数的特殊值，
5、单调性，奇偶 性，趋向性等，属于一般题。 6.函数 2 1 3 log (32)yxx 的单调递减区间为（ ） A. 2, B. 3 , 2 C. ,1 D. 3 , 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先求函数 2 1 3 log (32)yxx 的定义域， 再由复合函数的内外函数同增异减的性质判断单调区间 【详解】因为 2 1 3 log (32)yxx ，所以 2 320 xx，解得1x或 2x 令 2 32txx，因为 2 32yxx的图像开口向上，对称轴方程为 3 2 x ， 所以内函数 2 32txx在 2,上单调递增， 外函数 1 3 logyt 单调递减， 所以由复合函数单调性
6、的性质可知函数 2 1 3 log (32)yxx 的单调递减区间为2, 故选 A. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，解题的关键是掌握复合函数单调性同增异减的方法，属于 一般题。 7.已知函数 f x对于任意实数x满足条件 1 (2) ( ) f x f x ，若 1 (0) 2 f，则(2018)f（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件可得函数是周期为4的函数， ，然后利用周期性即可得到答案。 【详解】因为 1 (2) ( ) f x f x ， 所以 1 422 2 f xf xf x f x 即函数周期是 4，所以 (2018)
7、504 422fff 又因为 1 (0) 2 f，所以 1 22 0 f f 故选 C. 【点睛】本题考查函数的周期性，解题的关节是求出函数的周期，属于一般题。 8.已知函数( )1 xx x f x ee 的最大值为M，最小值为m，则Mm的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 2 1 1 e e D. 2 2 1 e e 【答案】B 【解析】 【分析】 令 xx x g x ee ，根据奇函数的性质即可求出 minmax 0g xg x，进而得出答案。 【详解】令 xx x g x ee ，则 xxxx xx gxg x eeee 所以 g x是奇函数，即 minmax 0g xg x 所
8、以 minmax 22Mmg xg x 故选 B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的关键是令 xx x g x ee ，判断其奇偶性，属于一般题。 9.已知函数( )yf x的定义域为,11,，且(1)f x为奇函数，当1x时， 2 ( )2f xxx，则 1 ( ) 2 f x 的所有根之和等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可知函数( )yf x的图像关于1,0对称， 求出1x 时函数的解析式， 然后由韦达定理求解。 【详解】因为(1)f x为奇函数，所以图像关于0,0对称， 所以函数( )yf x的图像关于1,0对称，即 20f x
9、fx 当1x时， 2 ( )2f xxx， 所以当1x 时， 2 ( )68f xxx 当 2 1 2 2 xx 时，可得 12 2xx 当 2 1 68 2 xx 时，可得 34 6xx 所以 1 ( ) 2 f x 的所有根之和为624 故选 A 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数( )yf x的图像关 于1,0对称，属于一般题。 10.若实数,0 x y 满足31xyxy，求34xy的最小值为（ ） A. 134 6 B. 134 6 C. 14 7 3 D. 4 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可得1y ，所以 1 3 1 y x y ，进而得
10、出 6 4113 1 34y y xy ， 令1ty，则 2 1,0, 3 t ，利用双勾函数的性质得出答案。 【详解】由题可得11 3xyy ，当1y 时上式不成立，故1y 所以 1 3 1 y x y 且,0 x y ，则 1y 或 1 0 3 y 所以 3 1 3936 444113 111 34 yy yyy yy x y y 令1ty，则 2 1,0, 3 t 则有 6 4g tt t （双勾函数） ，令 6 4t t ，解得 6 2 t 又因为 2 1,0, 3 t ， 所以当 2 3 t 时， min 62835 49 2 333 3 g t 所以34xy的最小值为 354 13
11、 33 故选 D. 【点睛】 本题主要考查双勾函数， 解题的关键时得出 6 4113 1 34y y xy ， 属于一般题。 二、填空题二、填空题 11.计算： 2 sin 3 =_； 2 1 log 5 1 ln 2 e =_ 【答案】 (1). 3 2 (2). 3 5 【解析】 【分析】 （1）由三角函数的诱导公式计算即可 （2）有指数与对数的运算法则计算即可。 【详解】 （1） 23 sinsinsin 3332 （2） 22 log 5 2 1 log 5log 5 1 2 11111113 lnln2 222221025 ee 【点睛】本题考查三角函数值的计算以及指对运算，属于基础
12、题。 12.已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为_；扇形的面积为_. 【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】 设扇形的半径是r，由扇形的周长为6，圆心角为1，解得半径，再求面积。 【详解】设扇形的半径是r，因为扇形的周长为6，圆心角为1， 所有26rr ，解得2r =，即扇形的半径为2， 所以扇形的面积为 2 1 1 22 2 【点睛】本题考查扇形有关量的计算，属于简单题。 13.已知 ( )f x是定义在R上的奇函数， 当 0 x时， ln2f xx， 则1f _， ( )f x在 0 x上的解析式为_ 【答案】 (1). ln3 (2). 0,0 ( ) ln(
13、2) ,0 x f x xx 【解析】 【分析】 ( )f x是定义在R上的奇函数，所以 fxf x，所以 11ff； 当0 x时，0 x ，所以 ln2fxxf x ，又因为 00f，进而可得答案。 【详解】 ( )f x是定义在R上的奇函数，所以 fxf x ， 00f 当0 x时， ln2f xx，所以 11ln 1 2ln3ff； 当0 x时，0 x ，所以 ln2fxxf x ，即 ln2f xx ， 所以 ( )f x在 0 x上的解析式为 0,0 ( ) ln(2) ,0 x f x xx 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值和解析式，解题的关键是熟练掌握奇偶性的性质，属 于一
14、般题。 14.已知tan2，则 sincos 2sincos =_； 2 sincos2sin= _ 【答案】 (1). 1 5 (2). 2 【解析】 【分析】 将 sincos 2sincos 的分子分母同时除以cos，再将tan2代入即可； 由题 2 2 22 sincos2sin sincos2sin sincos ， 分子分母同时除以 2 cos， 再将tan 2代 入即可。 【详解】将 sincos 2sincos 的分子分母同时除以cos得 tan1 2tan1 ，将tan2代入可得 tan12 11 2tan14 15 ；故 sincos1 2sincos5 2 2 22 si
15、ncos2sin sincos2sin sincos ，分子分母同时除以 2 cos得 22 222 sincos2sintan2tan28 2 sincostan14 1 【点睛】本题考查由同角三角函数的基本关系式求值，属于基础题。 15.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 3,4P ,sin=_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 由题可得 2 2 345r ，sin y r ，代值计算即可。 【详解】由题可得 2 2 345r ， 4 sin 5 y r 【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算，属于基础题。 16.已知函数 2 15 2(1) ( )24
16、log(1) a a xxx f x xx 是, 上的增函数，则实数a的取值范围为 _ 【答案】 5 3 2 a 【解析】 【分析】 因 为 函 数 2 15 2(1) ( )24 log(1) a a xxx f x xx 是, 上 的 增 函 数 ， 所 以 当1x ， 时 log a f xx是 增 函 数 ， 当1x， 2 15 2 24 a f xxx 也 是 增 函 数 ， 且 maxmin ( )(1)( )(1)f xxf xx，从而可得答案。 【详解】因为函数 2 15 2(1) ( )24 log(1) a a xxx f x xx 是 , 上的增函数，所以当 1x ，时
17、logaf xx是增函数，即1a 且 log110 a f ； 当1x， 2 15 2 24 a f xxx 也是增函数，所以10 2 a 即1a （舍） 或 1 0 2 2 1 1 2 2 a a ，解得13a? 且 1513 12 2424 aa f 因为 ( )f x是, 上的增函数，所以 maxmin ( )(1)( )(1)f xxf xx即1 3 0 24 a ，解得 5 2 a ， 综上 5 3 2 a 【点睛】本题以分段函数为背景考查函数的奇偶性，解题的关键是既要在整个定义域上是增函数， 也要在各段上是增函数且 maxmin ( )(1)( )(1)f xxf xx 17.已知
18、函数 2 ( )2|1|f xxxa， 2 ( )log (84) x a g x ()aR，若对任意的 12 0 2xx 、，都有 12 ( )3()g xf x ，则实数a的取值范围是_ 【答案】 2 1 log (6 28) 2 a 【解析】 【分析】 由 g x的单调性可得 2 ( )0log (8 4 ) a g xg，求得 f x的最小值为 11fa ，再结合 题意有 2 log (84 )31 a a 且 2 840 a ，从而解得答案。 【详解】 2 ( )log (84) x a g x 在0 2，上是减函数，故 2( )0gg xg 且 2 0log (8 4 ) a g，
19、 2 2 2log (84) a g 2 ( )log (84) x a g x 在0 2，上有意义，则 2 840 a ，解得 1 2 a ； 而在0 2，上， 2 2 22,12 ( ) 22,01 xxax f x xxax ， 所以 f x最小值为 11fa 因为对任意的 12 0 2xx 、，都有 12 ( )3()g xf x 故 maxmin ( )3( )02g xf xx ，即 2 log (84 )31 a a 解得2 6 28 a 或2 6 28 a （舍） 所以 2 log (6 28)a 综上 2 1 log (6 28) 2 a 【点睛】本题考查函数的综合应用，包含
20、了恒成立问题，属于偏难题目。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.全集U R，集合A |lg30 xx, 1 B |0 5 x x x . 求: （） U C B； （） U C AB. 【答案】 （I）|51 U C Bx xx或（II）|1345 U C ABxxx或 【解析】 【分析】 （）先求出集合B,再求 U C B （）先求出集合A,再求 U C A，然后求得 U C AB 【详解】 （）由题 1 0 5 x x 即 150 50 xx x ，解得15x 所以 |15Bxx 所以|51 U C Bx xx或 （
21、）由题可知lg30 x即03 1x ，解得34x ； |34Axx ，所以43 U C Ax xx或 所以|1345 U C ABxxx或 【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是分别求出集合,A B，属于简单题。 19.若集合 222 ,|280|2(1)220BAx xxx xaxa ， （） 当1a 时，求AB； （） 若ABB，求实数a的取值范围 . 【答案】 （）4;（）3a或1a 【解析】 【分析】 （）先由题解出当1a 时的集合,A B，再求AB； （）若ABB，则BA或AB,即 2B 或4B 或B或 |24Bx xx或，分情况讨论即可得到答案。 【详解】 （）由题 2 28
22、0 xx解得2x或4x，即 |24Ax xx或； 当1a 时， 22 2(1)220 xaxa为 2 40 xx解得0 x或4x， 即|04Bx xx或， 所以4AB （）若ABB，则BA或AB，由（）可知|24Ax xx或 所以 2B 或4B 或B或|24Bx xx或 当 2B 时， 22 22(1) 2220aa ，即 2 230aa，此方程无解； 当4B 时， 2 2 42(1)4220aa ，即 2 430aa， 解得1a 或3a ；当1a 时，不符合题意， 当B时， 2 2 414 220aa，解得3a 或1a 当|24Bx xx或时，由韦达定理可得 2 212 228 a a ，无
23、解 综上3a或1a 【点睛】 本题考查集合的基本运算， 解题的关键是分别求出集合,A B， 且若ABB， 则BA， 属于一般题。 20.已知函数 1 ( )421 xx f xa , （） 若函数 ( )f x在 0,2x上有最大值8，求实数a的值; （） 若函数 ( )f x在 1,2x 上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】 （）5a（） 517 48 a或1a 【解析】 【分析】 （）由题 2 ( )2221 xx f xa，21,4 x t ，令 2 21f ttat，转化为关于t的二 次函数求参数范围 （）由（） 2 ( )2221 xx f xa，令 2 1 2,4 ,
24、21 2 x tf ttat ，因为函数 ( )f x 在1,2x 上有且只有一个零点，所以 2 21f ttat的图像在 1 ,4 2 上与x轴只有一个交点， 进而得到答案。 【详解】 （）由题 2 1 ( )4212221 xxxx f xaa ，因为0,2x 所以令 2 21,4 ,21 x tf ttat，对称轴为ta 当 5 2 a 时， max ( )417 88f xfa 解得 25 8 a （舍） 当 5 2 a 时， max ( )1228f xfa，解得5a 所以5a （） 由 （） 2 ( )2221 xx f xa， 令 2 1 2,4 ,21 2 x tf ttat
25、， 对称轴为ta 因为函数 ( )f x在 1,2x 上有且只有一个零点， 所以 2 21f ttat的图像在 1 ,4 2 上与x轴只有一个交点 所以 2 440 1 4 2 a a ，解得1a 或者 1 40 2 ff 即 1 116810 4 aa ，整理解得 517 48 a 当 5 4 a 时， 2 21f ttat与x轴有两个交点，故舍 综上 517 48 a或1a 【点睛】本题考查函数的综合应用，解题的关键是得出 2 ( )2221 xx f xa，函数有一个零 点即函数图像x轴只有一个交点，属于一般题。 21.已知二次函数 2 ( )1f xaxbx（, a b是实数） ， 若
26、 2 22( )22xf xxx对于xR恒 成立. （）求 ( )f x的解析式； （）求函数 ( )f x在 ,1t t 上的最小值 ( )g t 【答案】 （） 2 3 ( )1 4 f xxx（） 2 2 32 1 , 43 212 ( ), 333 3131 , 4243 ttt g tt ttt 【解析】 【分析】 （）由题可得 22 2 122 122 axbxxx axbxx 对于xR恒成立，利用恒成立的等价条件可得答案。 （）由（）可知 2 322 ( ) 433 f xx ，图像开口向上，对称轴为 2 3 x ， 分 2 3 t ， 2 1 3 tt ， 2 1 3 t 三种
27、情况讨论即可得到答案。 【详解】 （）因为 2 ( )1f xaxbx，且 2 22( )22xf xxx对于xR恒成立. 所以 22 2 122 122 axbxxx axbxx 对于xR恒成立， 即 2 2 1210 230 axbx axbx 对于xR恒成立， 2 1 2 2 10 2410 0 2120 a ba a ba ，即 2 2 01 241 212 a ba ba ， 所以 2 122 1 2 322 3 aba aba ，即22 3211aba 所以1311aa，即213aa，整理有 2 430a 所以 3 4 a 所以解得 3 4 1 a b 所以 2 3 ( )1 4
28、f xxx （）由（）可知 2 322 ( ) 433 f xx ，图像开口向上，对称轴为 2 3 x 当 2 3 t 时，( )f x在,1t t 上单调递增， 所以当xt时取得最小值， 2 32 1 43 g tttt ； 当 2 1 3 tt 即 12 33 t 时，在 2 3 x 处取得最小值，此时 212 333 g tt ； 当 2 1 3 t 即 1 3 t 时，( )f x在,1t t 上单调递减，所以当1xt 时取得最小值， 2 3131 4243 g tttt ； 综上 2 2 32 1 , 43 212 ( ), 333 3131 , 4243 ttt g tt ttt
29、【点睛】本题考查函数的恒成立问题以及最值问题，解题的关键是理解恒成立的解题方法，求出 解析式，属于偏难题目。 22.已知函数 2 ( )|2 |f xxx xa，其中a为实数。 （）当1a时，求函数 ( )f x的最小值； （）若 ( )f x在 1,1 上为增函数，求实数a的取值范围； （）对于给定的负数a，若存在两个不相等的实数 12 ,x x（ 12 xx 且 2 0 x ）使得 12 ( )()f xf x，求 1 1 2 x x x 的取值范围. 【答案】 （） 1 2 （）2a或0a； （）见解析 【解析】 【分析】 （）由题可知 2 2 22,2 ( )2 2,2 xax xa
30、f xxx xa ax xa 当1a时， 2 22 ,2 ( ) 2 ,2 xx x f x x x ，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而 求出在整个定义域上的最小值； （）因为 ( )f x在 1,1 上为增函数，分0a，0a，0a三种情况讨论即可 （） 因为0a ， 则 ( )f x 在(,) 2 a 上为减函数， 在(,) 2 a 上为增函数， 所以 12 2 a xx ， 令 1 1 2 x xM x ，分 1 2 2 a ax， 1 2xa两种情况具体讨论即可。 【详解】解： 2 2 22,2 ( )2 2,2 xax xa f xxx xa ax xa () 当1a时
31、， 2 22 ,2 ( ) 2 ,2 xx x f x x x 所以当 1 2 x 时 2 222f xxx x有最小值为 11 22 f ； 当2x时，由 22f xx x得 1 24 2 f ， 所以当1a时，函数 ( )f x的最小值为 1 2 （）因为 ( )f x在 1,1 上为增函数， 若0a，则 ( )f x在R上为增函数，符合题意； 若0a，不合题意； 若0a ，则1 2 a ，从而2a 综上，实数a的取值范围为2a或0a。 （）因为0a ，则 ( )f x 在(,) 2 a 上为减函数，在(,) 2 a 上为增函数， 所以 12 2 a xx ，令 1 1 2 x xM x
32、1、若 1 2 2 a ax ，则 12 xxa，由 2 0 x 知 2 2 a xa 且 2 0 x 所以 12 122 222 1 xaxa xaxxa xxx 令( )1 a g xxa x ，则( )g x 在(0,a ，,0)a 上增函数， 在,)a，(,a上为减函数 (1)当4a时， 2 a a 且 aa , 则( )g x 在(0,a ，,0)a 上为增函数，在,aa，,- 2 a a上为减函数 从而当 2 2 a xa 且 2 0 x 所以 2 ()21g xaa 或 2 ()21g xaa (2)当41a 时， 2 a a 且 aa , 则( )g x 在(0,a ，,0)
33、2 a 上为增函数，在,aa上为减函数 从而当 2 2 a xa 且 2 0 x 所以 2 ()1 2 a g x 或 2 ()21g xaa (3)当10a 时， 2 a a 且 aa , 则( )g x 在(0,a ，,0) 2 a 上为增函数， 从而当 2 2 a xa 且 2 0 x 所以 2 ()1 2 a g x 或 2 ()22g xa 2、若 1 2xa ，则 2 122 222axxax， 2 2 12 x xx a 且 2 xa 2 2 22 2 22 2 1 12 22 (,22)(11)1 x x xx a x aa x axx xxa 因2221aaa 综上所述， 当4a时， 1 1 2 x x x 的取值范围为(, 2121,)aaaa ； 当41a 时， 1 1 2 x x x 的取值范围为(, 21(1,) 2 a a a ； 当10a 时， 1 1 2 x x x 的取值范围为(,22)(1,) 2 a a。 【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目。
