2020重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析).pdf

1、 第 1 页（共 39 页） 2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析） 2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析） 一、线段最小值问题一、线段最小值问题 例1、（2016内乡县二模） 如图，边长为6的等边三角形 ABC中，E是对称轴 AD上的一个动点，连接 EC， 将线段 EC 绕点 C 逆时针转 60得到 FC，连接 DF则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是 练习： 如图，在ABC 中，ABAC2，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是直线 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 45得到 FC，连接 DF，则在点

2、E 运动过程中，DF 的最小值 是 例 2、如图，边长为 8 的正方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 RtAPE，边 PE 与 BC 交于点 F，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 . 第 2 页（共 39 页） 练习： 如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E、F分别是边 AB、CD上的动点，且 AECF，连接 EF，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EG，连接 DG，则线段 DG 长的最小值为 例 3、 （2019 春鄞州区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC4，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一 动点

3、，以 CE 为边，在 CE 的右侧构造正方形 CEFG，连结 AF，则 AF 的最小值为 练习： （2019 春梁溪区期末） 如图，正方形 ABCD 中，AB4，点 E 为边 AD上一动点，连接 CE，以 CE 为边， 作正方形 CEFG（点 D、F 在 CE 所在直线的同侧），H 为 CD 中点，连接 FH点 E 在运动过程中， HF 的最小值为 A BC D F G E H 第 3 页（共 39 页） 例 4、 （2019惠山区一模）如图，正方形 ABCD 中，AB2，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动 点，OE2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，

4、连接 AE，CF，OF则线段 OF 长的最 小值 练习： （2019南充模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 是 BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且 OP 2，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 90到 DQ，连接 AP，CQ，PQ，则线段 PQ 的最小值 为 例 5、 （2019宿迁）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动 点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 练习： 1、 （2019 秋东台市期中）如图，正方形 ABCD 中边长为 6，E 为 BC 上一点，

5、且 BE1.5，F 为 AB 边上 的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 第 4 页（共 39 页） 2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE2，F 为 AB 边上的 一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为 例 6、 （2019锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知 A（2，4）、P（1，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造ABC，使点 C 在 x 轴上，BAC90M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为

6、练习： 在平面直角坐标系中，已知 A（4，8）、P（2，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造ABC，使点 C 在 x 轴上，BAC90M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为 例 7、 （2017 秋上虞区期末）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB6，BC8，点 E 是边 AD 上一点，以 CE 为直角边在与点 D 的同侧作等腰直角CEG，连结 BG，当点 E 在边 AD 上运动时，线段 BG 长度的最 小值是 第 5 页（共 39 页） 练习： （2017龙华区二模） 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，OA4，OC3， 点 D 为 BC 边

7、上一点，以 AD 为一边在与点 B 的同侧作正方形 ADEF，连接 OE当点 D 在边 BC 上运 动时，OE 的长度的最小值是 例 8、如图，线段 AB8，D 为 AB 的中点，点 E 是平面内一动点，且满足 DE2，连接 BE，将 BE 绕点 E 逆时针旋转 90得到 EC，连接 AC、BC，则线段 AC 长度的最大值为 二、线段和最小值问题二、线段和最小值问题 例 1、如图，在正方形 ABCD 中，AB6，E 是 BC 边的中点，F 是 CD 边上的一点，且 DF2，若 M、N 分别是线段 AD、AE 上的动点，则 MN+MF 的最小值为 练习： 如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD6

8、，点 E，F 分别是 AB，BC 边上的两动点，且 EF2，点 G 为 EF 的 中点，点 H 为 AD 边上一动点，连接 CH，GH，则 GH+CH 的最小值为 9 . 第 6 页（共 39 页） 例 2、 （2016 春青山区期中） 如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，点 E 和点 F 分别是 AC 和 BC 上的 动点，在点 E 和点 F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为 练习： 1、 （2017 春东西湖区期中）如图，在ABCD 中，AB2，ABAC，D60，点P、Q分别是AC 和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值 2、如图，矩形ABCD中，AB3，

9、BC4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值 为 例 3、 （2019 春新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为 4，A60，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转 60得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 . 练习： 如图，在平行四边形ABCD中，A45，AB4，AD2，M是AD边的中点，N是AB边上一动 点，将线段MN绕点M逆时针旋转 90 至MN，连接NB，NC，则NB+NC的最小值是 第 7 页（共 39 页） 例 4、 （2015石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB4，BC2，点M，E在AD上，点F在边 AB上，并且D

10、M1，现将AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小 时，ME的长度为 例 5、 （2019 春张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，P，Q分别是直线AB，AD上的两 个动点，点E在边CD上，DE2，将DEQ沿EQ翻折得到FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值 为 练习： （2019春邗江区校级月考） 如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点， AE1，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 例 6、 （2018朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB1，AD2，E是边AD的中点，F是边

11、AB上的 一个动点，连结EF，过点E作EGEF交BC于点G则AF+EF+CG的最小值为 2 第 8 页（共 39 页） 练习： 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EGEF交BC于点G则AF+EF+CG的最小值为 例 7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按 逆时针方向旋转 90至线段CB，CACB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 例 8、 如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BEDF， 则AE+AF的最小值是 第 9 页

12、（共 39 页） 三、三角形周长最小值问题三、三角形周长最小值问题 例 1、 （2018 秋成都期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的 一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC在 MN 上存在一动点 P连接 AP、CP， 则APC 周长的最小值是 例 2、 （2019 春雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB10，AD16，A60，P是射 线AD上一点，连接PB，沿PB将APB折叠，得APB当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点 A，B重合的一个动点，将APF沿PF折叠，得到APF，连接BA，则BAF周

13、长的最小值为 练习： 如图，在平行四边形ABCD中，AB8，AD12，A60，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将 APB折叠，得APB当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将APF 沿PF折叠，得到APF，连接BA，则BAF周长的最小值为 第 10 页（共 39 页） 四、四边形周长最小值问题四、四边形周长最小值问题 例 1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD2，AB4，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧）， 且EF1，则四边形ABFE周长的最小值为 练习： 1、 （2018 秋金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB8，BC10，G为AD边的中点如图，若E、F

14、 为边AB上的两个动点，且EF4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 G 例 2、 （2019长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB5，AD10，点E，F，G，H分别在矩形各边上， 点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH周长的最小值为 练习：、 （2018保定一模） 如图，矩形ABCD中，AB8，BC6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且 AECG，BFDH，则四边形EFGH周长的最小值为 第 11 页（共 39 页） 五、三角形面积最小值问题五、三角形面积最小值问题 例 1、 （2018无锡） 如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，

15、E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中 点G，点G绕点E逆时针旋转 90得到点F，连结CF，则CEF面积的最小值是 例 2、 （2016江东区一模）如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB2，以BE为边画正方形 BEFG，连结CF和CE，则CEF面积的最小值为 例 3、 （八中定时练习六（八中定时练习六 18 题题 2019无锡）无锡）如图,在ABC 中，5,4 5ABACBC，D 为边 AB 上 一动点(B 点除外),以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE面积的最大值为 . 例 4、 （2019 秋青山区期中）如图，在ABC中，BAC120，ABAC6，D为边A

16、B上一动点（不 与B点重合） ，连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转 90得到DE，连接BE，则BDE的面积的最 大值为 第 12 页（共 39 页） 例 5、 （2018 秋西安期末）如图，ABC中，A45，ABC60，AB3+，点D是边AB上任 意一点，以CD为边在AD的右侧作等边DCE，连接BE，则BDE面积的最大值为 例 6、 （2013 春建湖县期中）如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D为射线BC上一动点， 以AD为边作正方形ADEF，连接CF当点D在线段BC上时，若BC2，CF交DE于点P，连接AP， 则ACP的面积的最大值为 六、四边形面积最小值问题六、四边形面积最小值

17、问题 例 1、如图，已知在菱形ABCD中，AB1，且A30，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的 点，且AEBFCGDH设AEx（0 x1）则四边形EFGH的面积的最小值为 练习： 如图，已知在菱形ABCD中，AB4，且A30，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且 AEBFCGDH设AEx（0 x1）则四边形EFGH的面积的最小值为 第 13 页（共 39 页） 例 2、如图矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是AB边上一点，且AE4，点F是EC边上的任意一 点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积有最小值时，BF 的长度为 练

18、习： 1、 （2019龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F 是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的 面积的最小值为 2、 如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点， 把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积最小时，BF的长度 为 第 14 页（共 39 页） 2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析） 2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析） 一、线段最小值问题

19、一、线段最小值问题 例1、（2016内乡县二模） 如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC， 将线段EC绕点C逆时针转 60得到FC，连接DF则在点E运动过程中，DF的最小值是 解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示ABC为等边三角形，且AD为ABC的对称轴， CDCGAB3，ACD60，ECF60，FCDECG 在FCD和ECG中，FCDECG（SAS），DFGE 当EGBC时，EG最小，点G为AC的中点，此时EGDFCD 练习： 如图，在ABC中，ABAC2，BAC90，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接 EC，将线段EC绕点C逆时针旋转 4

20、5得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 2 解：如图，在AC上取一点G，使CGCD，连接EG， ABAC2，BAC90ACB45，CD2cos452， 旋转角为 45，ECD+DCF45，又ECD+GCEACB45， DCFGCE，AD是等腰直角ABC的对称轴，CDBC， CDCG，又CE旋转到CF，CECF，在DCF和GCE中， DCFGCE（SAS），DFEG，根据垂线段最短，EGAD时，EG最短，即DF最短， 第 15 页（共 39 页） CAD9045，AGACCG22， EGAGsin45（22）2，DF2 例 2、如图，边长为 8 的正方形ABCD中，动点P在CD

21、边上，以AP为直角边向上作等腰 RtAPE，边 PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为 . M N 解：如图，过点E作EMCD于M，过点E作ENCB于N 设CPx，则ENMC=8x，NBx， 22222 (8)2(4) )32BEENNBxxx， 当4x 时，BE的值最小，最小值为 4 练习： 如图，正方形ABCD的边长为 2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AECF，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转 90得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为 解：如图，过点F作FMAB于M，过点G作GHAD于H，GNAB于N， 四边形ABCD是正方形， ABBCAD

22、CD2，BCBAD90，且FMAB，GHAD，GNAB， 四边形BCFM，四边形AHGN是矩形， BMCF，NGAH，ANGH，MFBC2， 第 16 页（共 39 页） 将线段EF绕点E逆时针旋转 90得到线段EG，EGEF，GEF90， NEG+FEM90，且NGE+NEG90， FEMNGE，且NFME90，EFEG， EGNEFM（AAS）NEMF2，EMNG， 设AECFa，EM22aNGAH，AN2aGH，HDADAH2（22a）2a， GD当a时，GD有最小值为， 例 3、 （2019 春鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，点E是矩形ABCD的边AD上的一 动点，以

23、CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 3 解：过F作FHED， 正方形CEFG，EFEC，FECFED+DEC90， FHED，FED+EFH90， DECEFH，且EFEC，FHEEDC90，EFHEDC（AAS）， EHDC2，FHED， AF 当AE1 时，AF的最小值为 3 练习： （2019 春梁溪区期末） 如图，正方形ABCD中，AB4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边， 作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH点E在运动过程中， HF的最小值为 A BC D F G E H 图 1 第 17 页（共 39

24、页） 解：如图1，连接DF，过点F作FMAD，交AD延长线于点M，过点F作FNCD的延长线于点N， EFMCED，CDEM，DEFM，CDADEM，AEDM， 设AExDM，则DE4xFM， FNCD，FMAD，NDAD，四边形FNDM是矩形，FNDMx，FMDN4x NH4x+26x，在 RtNFH中，HF 当x3 时，HF有最小值3. 例 4、 （2019惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动 点，OE2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转 90得DF，连接AE，CF，OF则线段OF长的最 小值 解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转

25、 90得DM，连接OF，FM，OM， EDFODM90，EDOFDM，DEDF，DODM，EDOFDM（SAS）， FMOE2， 正方形ABCD中，AB2，O是BC边的中点，OC，OD， OM，OF+MFOM，OF故选：D 解法二：如图，由于OE2，所以E点可以看作是以O为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得APOC，连接PE，AECF，PAEOCF，PAEOCF，PEOF， 当O、E、P三点共线时，PE最小，OP5， PEOFOPOE52，OF的最小值是 52 练习： （2019南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为 2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP 2，连接

26、DP，将线段DP绕点D逆时针旋转 90到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值 为 第 18 页（共 39 页） 解：连接OD，如图所示：DQDP，PDQ90，PQDP， OD5，OP+DPOD，DPODOP523， PQ3，线段PQ的最小值为 3 例 5、 （2019宿迁）如图，正方形ABCD的边长为 4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动 点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将EFB绕点E旋转 60，使EF与EG重合，得到EFBEHG，从而可知E

27、BH为等边三角形， 点G在垂直于HE的直线HN上，作CMHN，则CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形 HEPM为矩形，则CMMP+CPHE+EC1+，CG的最小值为 练习： 1、 （2019 秋东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为 6，E为BC上一点，且BE1.5，F为AB边上 的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将EFB绕点E旋转 60，使EF与EG重合，得到EFBEHG， 从而可知EBH为等边三角形， 点G在垂直于HE的直线HN上，作CMHN，则

28、CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形 HEPM为矩形，则CMMP+CPHE+EC，故CG的最小值为： 第 19 页（共 39 页） 2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE2，F 为 AB 边上的 一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为 解析： 例 6、 （2019锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB 为边构造ABC，使点C在x轴上，BAC90M为BC的中点，则PM的最小值为 解：如图，作AHy轴于H，CEAH于

29、E则四边形CEHO是矩形，OHCE4， BACAHBAEC90，ABH+HAB90，HAB+EAC90， ABHEAC，AHBCEA， AE2BH，设BHx则AE2x，OCHE2+2x，OB4x， B（0，4x），C（2+2x，0）BMCM，M（1+x，），P（1，0）， PM，当x时，PM有最小值，最小值为 第 20 页（共 39 页） 练习： 在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造ABC，使点C 在x轴上，BAC90M为BC的中点，则PM的最小值为 解：如图，作AHy轴于H，CEAH于E则四边形CEHO是矩形，OHCE8， BACAHBAEC9

30、0，ABH+HAB90，HAB+EAC90， ABHEAC，AHBCEA， 4 = 8 BH AE ， AE2BH，设BHx则AE2x，OCHE4+2x，OB8x， B（0，8x），C（4+2x，0）BMCM，M（2+x， 8 2 x ），P（2，0）， 2222 855896 ()416() 24455 x PMxxxx 当 8 5 x 时，PM有最小值 4 30 5 例7、 （2017秋上虞区期末）如图，矩形ABCD中，已知AB6，BC8，点E是边AD上一点，以CE 为直角边在与点D的同侧作等腰直角CEG，连结BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最 小值是 解：如图作GHBA交BA

31、的延长线于H，EMHG于M，交BC于N则MNBC设AEm EMGENCCEG90，MEG+CEN90，CEN+ECN90， MEGECN，EGEC，MEGNCE（AAS），EMCNAH8m，MGEN6， 在RtBHG中，BG， 当m4时，BG有最大值，最大值为10 第 21 页（共 39 页） 练习： （2017龙华区二模） 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA4，OC3， 点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE当点D在边BC上运 动时，OE的长度的最小值是 5 解：如图所示：过点D作DGOA，过点E作HEDG DGOA，HEDG，

32、EHDDGA90GDA+DAG90 四边形ADEF为正方形，DEAD，HDE+GDA90HDEGAD 在HED和GDA中，HEDGDAHEDG3，HDAG 设D（a，3），则DCa，DHAG4aE（a+3，7a） OE当a2时，OE有最小值，最小值为5 例8、如图，线段AB8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE2，连接BE，将BE绕点 E逆时针旋转90得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 6 解：以BD为直角边在BD上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO 则，又CBOEBD，EBDCBO E点运动轨迹是以E为圆心，DE2为半径的圆， C点运动的轨迹是以O为圆

33、心，OC2为半径的圆 ACAO+OC，AO4，OC2AC最大值为4+26 第 22 页（共 39 页） 二、线段和最小值问题二、线段和最小值问题 例1、如图，在正方形ABCD中，AB6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF2，若M、N 分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 解：作点解：作点 F 关于关于 AD 的对称点的对称点 G，过，过 G 作作 GNAE 与与 N，交，交 AD 于于 M，则，则 GN 的长度等于的长度等于 MN+MF 的 最小值， 的 最小值，DGMDGF，DMFGMD，GMDAMN， AMN+MANMAN+BAE90，FMDBAEAMN， ABE

34、DMFAMN，AB6，BE3，DF2，DM4， AM2，MN，GM2， GNGM+MNMN+MF+2MN+MF 的最小值为的最小值为 练习： 如图，矩形ABCD中，AB4，AD6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF2，点G为EF的 中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为 9 . 解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动作C关于AD的对称点C， 连接CB，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时CB的值最 小为，则GH+CH的最小值CG1019 例2、 （2016春青山区期中） 如图，在矩形ABCD中，AB

35、2，BC4，点E和点F分别是AC和BC上的 动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为 第 23 页（共 39 页） 解：如图，作点B关于AC的对称点B，过点B作BFBC于F，交AC于E，连接CB交AD 于P，连接BE，四边形ABCD是矩形，ADBC，BCAPAC， 点B关于AC的对称点是B，PCABCA，PACPCA，PAPC 令PAx，则PCx，PD4x在RtCDP中，PC2PD2+CD2，x2 （4x） 2+22，x2.5， cosBCFcosCPD，CF：BCDP：CP，CF：41.5：2.5，CF， BF，BE+EF的最小值为 练习： 1、 （2017春东西湖区期中）如图，

36、在ABCD中，AB2，ABAC，D60，点P、Q分别是AC 和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值 F B C AD P Q 解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQBC交 AC 于点 P， 则FQ的长即为PB+PQ的最小值 （垂 线段最短），易知BCF是等边三角形，BP+PQ的最小值为2 2、如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值 为 第 24 页（共 39 页） 解： 如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作ENBC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN EN最小；四边形ABCD是矩形，BCD90，CDAB

37、3，根据勾股定理得，BD5， CEBC，BDCFBCCD，CF，由对称得，CE2CF， 在RtBCF中，cosBCF，sinBCF， 在RtCEN中，ENCEsinBCE；即：CM+MN的最小值为； 例3、 （2019春新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，A60，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 . 解：如图，取AB的中点N连接EN，EC，GN，作EHCD交CD的延长线于H 四边形ABCD是菱形，ADBD，AEED，ANNB，AEAN， A60，AEN是等边三角形，AENFEG60，AEFNEG，

38、EAEN，EFEG，AEFNEG（SAS），ENGA60，ANE60， GNB180606060，点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称， GBGE，GB+GCGE+GCEC，在RtDEH中，H90，DE2，EDH60， DHDE1，EH，在RtECH中，EC2，GB+GC2， GB+GC的最小值为2 练习： 如图，在平行四边形ABCD中，A45，AB4，AD2，M是AD边的中点，N是AB边上一动 点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN，连接NB，NC，则NB+NC的最小值是 2 解：如图，作MEAD交AB于E，连接EN、AC、作CFAB于F MAE45，MAE是等腰直角三角形

39、，MAME， 第 25 页（共 39 页） AMENMN90，AMNEMN，MNMN，AMNEMN， MANMEN45，AEN90，ENAB， AMDM，AB4，AE2，EB2，AEEB，NBNA， NB+NCNA+NC， 当A、N、C共线时，NB+NC的值最小，最小值AC， 在RtBCF中，BCAD2，CBFDAB45，CFBF2， 在RtACF中，AC2 例4、 （2015石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB4，BC2，点M，E在AD上，点F在边 AB上，并且DM1，现将AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小 时，ME的长度为 解：延长AD到M，使得

40、DMDM1，连接PM，如图当PB+PM的和最小时，M、P、B 三点共线四边形ABCD是矩形，AB4，BC2，DCAB4，ADBC2，ADBC， DPMCPB，DPPC，DPDC 设AEx，则PEx，DE2x，在RtPDE中，DE2+DP2PE2，（2x）2+（）2x2，解 得：x，MEAEAM1故选：B 例5、 （2019春张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，P，Q分别是直线AB，AD上的两 个动点，点E在边CD上，DE2，将DEQ沿EQ翻折得到FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值 为 第 26 页（共 39 页） 解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示

41、： 矩形ABCD中，AB8，BC4，DE2，CECDDEABDE6，CH2BC8， EH10，点C与点P关于AB对称，CPPH，PF+PCPF+PH， EFDE2是定值， 当E、F、P、H四点共线时，PF+PH值最小，最小值1028， PF+PC的最小值为8 练习： （2019春邗江区校级月考） 如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点， AE1，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 4 解：如图作点D关于BC的对称点D，连接PD，ED 在RtEDD中，DE3，DD4，ED，DPPD， PD+PFPD+PF，EFEA1是定值，当E、

42、F、P、D共线时，PF+PD定值最小，最小 值514，PF+PD的最小值为4， 例6、 （2018朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB1，AD2，E是边AD的中点，F是边AB上的 一个动点，连结EF，过点E作EGEF交BC于点G则AF+EF+CG的最小值为 2 解：如图，过点E作EHBC于点H四边形ABCD是矩形，ABBC，A90 ABEH，AEHGAEH90FEH+AEF90EGEF， FEH+HEG90AEFHEGAD2AB，AD2AE，AEAB AEHE且AEFHEG，AEHG AEFHEGEFGE 第 27 页（共 39 页） AB1，AD2，AEDE1DC90，EHBC DCHE

43、是矩形DECH1AEFEHG AFHG，EFEG，EHAE1 AF+EF+CGHG+CG+EGCH+EG1+EG 由两平行线之间垂线段最短，当EGBC时，AF+EF+CG的值最小，即EG1时， AF+EF+CG的最小值为2 练习： 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EGEF交BC于点G则AF+EF+CG的最小值为 例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按 逆时针方向旋转90至线段CB，CACB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 如图作BHOH于H设点C的坐标为（0，

44、m）， 由（1）知：OCHBm，OAHC1，则点B（m，1+m）， 则BO+BA+， BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，1）和点N（0，1）的最小值， 相当于在直线yx上寻找一点P（m，m） ，使得点P到M（0，1） ，到N（1，1） 的距离和最小， 作M关于直线yx的对称点M（1，0），易知PM+PNPM+PNNM， MN，故：BO+BA的最小值为 第 28 页（共 39 页） 例8、 如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BEDF， 则AE+AF的最小值是 解法一：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得B

45、HAD，连接AH作 HMAB交AB的延长线于M 四边形ABCD是矩形，ABCD3，BCAD4，ADBC，ADFDBC， DCCG，BCDG，BDBG，DBCCBG，ADFHBE， DABH，DFBE，ADFHBE（SAS），AFEH，AE+AFAE+EHAH， 在RtBCD中，BD5，由BHMDBC，可得， BM，MH，AM3+，在RtAMH中，AH， AE+AF，AE+AF的最小值为 解法二：如图，作FGAD于G BEDF，设BEDFx，矩形ABCD，AB3，AD4，BADABC90 根据勾股定理得，BD，FGAD，FGD90，BADFGD90 ADBGDF，BADFGD， 即 GFx，GD

46、x，AG4x 在RtABE中，ABE90，根据勾股定理得AE 在RtAGF中，AGF90，根据勾股定理得 AF，AE+AF+ 第 29 页（共 39 页） 可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点（，）的距 离之和.，当点（0，3）、（x，0）、（，）三点共线时，AE+AF值最小， 就是点（0，3）、（，）之间的距离，为 三、三角形周长最小值问题三、三角形周长最小值问题 例1、 （2018 秋成都期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的 一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC在

47、MN 上存在一动点 P连接 AP、CP， 则APC 周长的最小值是 +3 解：分两步：连接AP，则APAP，APC周长AP+PC+ACAP+PC+AC， AP+PCAC，当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值，是AC的长， AC与MN的交点就是点P，由勾股定理得：AC3，连接CM， ACCMAM，当M、A、C三点共线时，AC有最小值， 此时，M是AD的中点，AMDM1.5，MC， 由折叠得：AMAM1.5，ACMCAM1.5， APC周长的最小值是：+3， 例2、 （2019春雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB10，AD16，A60，P是射 线AD上一点，连接PB，沿PB将APB折叠，得APB当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点 A，B重合的一个动点，将APF沿PF折叠，得到APF，连接BA，则BAF周长的最小值为 解：如图，作BHAD于H，连接BPPA8，AH5，PH853，BH5，PB 2，由翻折可知：PAPA8，FAFA，BFA的周长 第 30 页（共 39 页） FA+BF+BAAF+BF+BAAB+BA10+BA，当BA的周长最小时，BFA的周长最 小，BAPBPA，BA