1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第6 6讲讲 双曲线双曲线 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几 何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(重点) 2 掌握直线与双曲线位置关系的判断， 并能求解与双曲线有关的简单问题， 理解数形结合思想在解决问题中的应用(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点预测 2021 年 高考会考查：双曲线定义的应用与标准方程的求解；渐近线方程与离 心率的求解试题以客观题的形式呈现，难度不大，以
2、中档题为主. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小 于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01 _ 这两个定点叫做双曲线 的02 _，两焦点间的距离叫做双曲线的03 _ 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0， c0： (1)当04 _时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当05 _时，P 点的轨迹是两条06 _； (3)当07 _时，P 点不存在 双曲线 焦点 焦距 ac 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0
3、) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 范围 x01 _或 x02 _，yR xR， y03 _或 y04 _ 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A105 _， A206 _ 性 质 焦点 F1(c,0)，F2(c,0) F107 _， F208 _ a a a a (0，a) (0，a) (0，c) (0，c) 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 渐近线 y b ax y09 _ 离心率 e10
4、_，e11 _，其中 c a2b2 性 质 实虚轴 实轴：|A1A2|12 _；虚轴：|B1B2|13 _ a，b，c 的关系 c214 _ (ca0，cb0) a bx c a (1，) 2a 2b a2b2 3必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程 可写作：x2y2(0) (3)等轴双曲线离心率 e 2两条渐近线 y x 相互垂直 1概念辨析 (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲 线( ) (2)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2
5、y2 n20， 即 x m y n0.( ) (3)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 (4)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 y2 b2 x2 a21(a0，b0)的离心率分别 是 e1，e2，则 1 e2 1 1 e2 21(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( ) 2小题热身 (1)设双曲线 C 的两个焦点分别为(2,0)，(2,0)，一个顶点是( 2，0)， 则 C 的方程为_ 解析 由题意， 得双曲线 C 的焦点在 x 轴上， 设其方程为x 2 a2 y2 b21(a0， b0)，由
6、已知得 a 2，c2，所以 b2c2a22，b 2，所以 C 的方程 为x 2 2 y 2 2 1. x2 2 y 2 2 1 解析解析 (2)设 P 是双曲线 x2 16 y2 201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个 焦点，若|PF1|9，则|PF2|_. 解析 由题意知|PF1|90)的离心率为 5 2 ，则 a _. 解析 由已知，b24，ec a 5 2 ，即c 2 a2 5 2 25 4，又因为 a 2b2c2， 所以a 24 a2 5 4，a 216，a4. 4 解析解析 (4)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线 的
7、渐近线方程为_ 解析 由已知， 得 2b2,2c2 3， 所以 b1， c 3， 所以 a c2b2 2，所以双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax，即 y 2 2 x. y 2 2 x 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1若双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是( ) A8 B9 C10 D12 答案答案 题型一题型一 双曲线的定义及应用双曲线的定义及应用 解析 由题意知，双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点 F 的坐标为(4,0)，设双 曲线的右焦点为 B，
8、则 B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB| |PA|4|AB|4 412042459，当且仅当 A，P，B 三点共 线且 P 在 A，B 之间时取等号 |PF|PA|的最小值为 9.故选 B. 解析解析 2 已知 F1， F2为双曲线 C： x2y22 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， |PF1| 2|PF2|，则 cosF1PF2_. 解析 由已知条件及双曲线的定义得|PF1|PF2|PF2|2a2 2， |PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 4 2 22 2242 24 22
9、2 3 4. 3 4 解析解析 条件探究 将本例中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则 F1PF2的面积为_ 解析 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 2，在 F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cosF1PF2 (|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|，所以 42(2 2)2|PF1| |PF2|.|PF1| |PF2|8， SF1PF21 2|PF1| |PF2|sin60 2 3. 2 3 解析解析 1利用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几
10、何条件，即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数， 且该常数必须小于两定点 间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同 时需注意定义的转化应用 2利用焦点三角形需注意的问题 在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a 两边平方，建立与|PF1| |PF2|有关的方程见举例说明 2 及条件探究 1设 P 为双曲线 x2 y2 151 右支上一点，M，N 分别是圆(x4) 2y2 4 和(x4)2y21 上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为 m，n， 则|mn|( ) A4 B5 C6 D7 解析 易知双曲线的两焦点为 F1(4,0)，
11、F2(4,0)，恰为两个圆的圆心， 两个圆的半径分别为 2,1， 所以|PM|max|PF1|2， |PN|min|PF2|1， 所以|PM| |PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)35，同理|PM| |PN|的最小值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)31，所以|mn| 6. 答案答案 解析解析 2(2020 广东普宁市华侨中学月考)过双曲线 x2y 2 4 1 的左焦点 F1作 一条直线 l 交双曲线左支于 P，Q 两点，若|PQ|4，F2是双曲线的右焦点， 则PF2Q 的周长是_ 解析 由双曲线的定义知，|PF2|PF1|2a2，|Q
12、F2|QF1|2a2， 所以|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)4，又|PQ|4，所以|PF2|QF2|44， |PF2|QF2|8，所以PF2Q 的周长是|PF2|QF2|PQ|12. 12 解析解析 1已知动圆 M 与圆 C1：(x4)2y22 外切，与圆 C2：(x4)2y22 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 2 y2 141(x 2) B.x 2 2 y2 141(x 2) C.x 2 2 y2 141(x 2) D.x 2 2 y2 141(x 2) 答案答案 题型二题型二 双曲线的标准方程及应用双曲线的标准方程及应用 解析 设动圆的半径为 r，由题意可得|
13、MC1|r 2，|MC2|r 2， 所以|MC1|MC2|2 22a， 故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(4,0)， C2(4,0)为焦点，实轴长为 2a2 2的双曲线的右支上，即 a 2，c4b2 16214，故其标准方程为x 2 2 y2 141(x 2) 解析解析 条件探究 将本例中的条件改为“动圆 M 与圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2： (x3)2y29都外切”， 则动圆圆心M的轨迹方程为_ 解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和 B.根据 两圆外切的条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所
14、以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6. x2y 2 8 1(x1) 解析解析 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的 距离大，与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 解析解析 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0) 由题意知，2b12，ec a 5 4，b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为 x2 64 y2 361 或
15、 y2 64 x2 361. 解解 2根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4； (2)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2,2)； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7) (2)由已知，可设双曲线方程为 x24y2(0)， 因为此双曲线经过点(2,2)，所以 22422， 解得 12， 所以双曲线方程为 x24y212，即y 2 3 x2 121. (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25. 双曲线的标准方程为 y2 25 x2 751. 解解 求双曲线标
16、准方程的两种方法 (1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点 位置确定 c 的值见举例说明 1. (2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参 数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值见举例说明 2(1)与双曲线x 2 a2 y2 b2 1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2 a2 y2 b2(0)见举例说明 2(2) 注意： 求双曲线的标准方程时， 若焦点位置不确定， 要注意分类讨论 也 可以设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)求解见举例说明 2(3) 1(2019 昆明模拟)已知双曲线 C 的一个焦点坐标为( 3，0)，渐近线
17、方 程为 y 2 2 x，则 C 的方程是( ) Ax2y 2 2 1 B.x 2 2 y21 C.y 2 2 x21 Dy2x 2 2 1 解析 因为双曲线 C 的一个焦点坐标为( 3，0)，所以 c 3，又因为 双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2 x，所以有b a 2 2 a 2b，c 3，而 c a2b2，所以解得 a 2，b1，因此双曲线 C 的方程为x 2 2 y21. 答案答案 解析解析 2设 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，若 F1， F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点 Q( 5， 3)，则该 双曲线的方程
18、为( ) Ax2y 2 3 1 B.x 2 2 y 2 2 1 C.x 2 3 y 2 9 1 D.x 2 4 y2 121 答案答案 解析 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，F1， F2，P(0,2b)构成正三角形， 2b 3c，即有 3c24b23(a2b2)，b23a2.双曲线x 2 a2 y2 b21 过点 Q( 5， 3)， 5 a2 3 3a21，解得 a 24，b212，双曲线的方程 为x 2 4 y2 121.故选 D. 解析解析 角度 1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点及范围问题 1已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x 2
19、2 y21 上的一点，F1，F2是 C 的两 个焦点若MF1 MF2 0，则 y0的取值范围是( ) A. 3 3 ， 3 3 B. 3 6 ， 3 6 C. 2 2 3 ，2 2 3 D. 2 3 3 ，2 3 3 答案答案 题型三题型三 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 解析 不妨令 F1为双曲线的左焦点，则 F2为右焦点，由题意可知 a2 2，b21，c23，F1( 3，0)，F2( 3，0)，则MF1 MF2 ( 3x0) ( 3x0)(y0) (y0)x2 0y 2 03.又知x 2 0 2 y2 01， x 2 022y 2 0， MF1 MF2 3y2 010. 3 3 y00，
20、b0)的焦距为 10， 焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于_ 解析 双曲线 C：y 2 a2 x2 b21 的渐近线方程为 y a x b0，即 ax by0，因 为焦点(0， c)到直线 axby0 的距离为 3， 所以 |bc| a2b23， 又 a 2b2c2， 所以 b3，又因为 2c10，c5，所以 a c2b24，所以 C 的实轴长 为 8. 8 解析解析 角度 2 与双曲线渐近线有关的问题 3(2019 衡水模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F1作圆 x2y2a2的切线，交双曲线右支于点 M，若F1MF2 4
21、5 ，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy x Dy 2x 答案答案 解析 如图，作 OAF1M 于点 A，F2BF1M 于点 B，因为 F1M 与圆 x2y2a2相切，F1MF245 ，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M| 2 2a，|F1B|2b.又点 M 在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2 2a 2a.整理，得 b 2a.所以b a 2.所以双曲线的渐近线方程为 y 2x. 解析解析 4(2019 湖北四地七校联考)已知直线 x4 与双曲线 C：x 2 4 y21 的 渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线 C 上的任意一点，若OP aOA
22、 bOB (a，bR，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( ) Aa2b21 2 Ba2b21 8 Ca2b21 2 Da2b21 8 答案答案 解析 因为双曲线 C：x 2 4 y21 的渐近线为 y x 2，与直线 x4 交于 A(4,2)，B(4，2)，设 P(x，y)，则OP (x，y)，OA (4,2)，OB (4，2)， 因为OP aOA bOB ，所以 x4a4b，y2a2b，由于点 P(x，y)在双曲 线上，故4a4b 2 4 (2a2b)21，解得 ab 1 16，则 a 2b22 a2b21 8(当 且仅当 a2b2且 ab 1 16时取“”)故选 B. 解析解析 角
23、度 3 与双曲线离心率有关的问题 5(2019 全国卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ，F1B F2B 0，则 C 的离心率为_ 2 解析 解法一：由F1A AB ， 得 A 为 F1B 的中点 又 O 为 F1F2的中点， OABF2. 又F1B F2B 0， F1BF290 . OF2OB， OBF2OF2B. 又F1OABOF2，F1OAOF2B， BOF2OF2BOBF2， OBF2为等边三角形 解析解析 如图 1 所示，不妨设 B 为 c 2， 3 2
24、c . 点 B 在直线 yb ax 上， b a 3， 离心率 ec a 1 b a 22. 解析解析 解法二：F1B F2B 0， F1BF290 .在 RtF1BF2中，O 为 F1F2的中点， |OF2|OB|c. 如图 2，作 BHx 轴于 H，由 l1为双曲线的渐近线，可得 |BH| |OH| b a， 且|BH|2|OH|2|OB|2c2， |BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0) 又F1A AB ，A 为 F1B 的中点 OAF2B，b a b ca，c2a， 离心率 ec a2. 解析解析 1与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系
25、直接转化求解见举例说明 1. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲 线上点的坐标范围，方程中 0 等来解决 2与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率 ec a是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b， c 的一个关系式，利用 b2c2a2消去 b，然后变形成关于 e 的关系式，并 且需注意 e1. (2)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线是令 x2 a2 y2 b20，即得两渐近线 方程x a y b0. (3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答 1(2020 潍坊高三月考)双曲线 C：x 2 9 y2 1
26、6(0)，当 变化时，以 下说法正确的是( ) A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率不变 解析 当 0 时，双曲线的焦点和顶点在 x 轴上，当 0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 y 轴相交于 A，B 两点，O 为坐标 原点，若S AOF2 SAOB 2，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 解析 由题意，知|F2A| |bc| a2b2b，又 SAOF2 SAOB 2，则|AB|b 2，|OA| |OF2|2|F2A|2 c2b2a，所以 a2b 2 2 ，得 2a2c2a2，即 3a2c2， e
27、2c 2 a23，从而 e 3.故选 B. 答案答案 解析解析 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( ) A 5 2，2 B 1，5 3 C(1,2 D5 3， 解析 由双曲线定义，知|PF1|PF2|2a，结合|PF1|4|PF2|，得|PF2| 2a 3 ，从而2a 3 ca，得5a 3 c，所以 ec a 5 3，又双曲线的离心率大于 1， 所以双曲线离心率的取值范围为 1，5 3 . 答案答案 解析解析 1过双曲线 M：x2y 2 3 1 的左焦点 F 作圆
28、C：x2(y3)21 2的切线， 此切线与 M 的左支、右支分别交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点到 x 轴的 距离为( ) A2 B3 C4 D5 题型四题型四 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的综合问题 答案答案 解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点 F(2,0)，且切线斜率存在， 不妨设切线方程为 y0k(x2)，易知 |2k3| 1k2 2 2 ，解得 k1 或 k17 7 . 当 k17 7 时，切线不与双曲线 M 的右支相交，故舍去，所以切线方程为 y x2，与双曲线方程联立，消元得 2y212y90，所以 y1y26，即 线段 AB 中点的纵坐标为 3，所以线段 AB 的
29、中点到 x 轴的距离为 3. 解析解析 2已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且AOB 的面积为 2， 求实数 k 的值 解 (1)若双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点， 则方程组 x2y21， ykx1 有两个不同的实数根， 整理得(1k2)x22kx20， 所以 1k20， 4k281k20， 解得 2k|x2|时， SOABSOADSOBD1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|； 解解 当 A， B 在双曲线的两支上且 x1x2时， SO
30、ABSODASOBD1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|. 所以 SOAB1 2|x1x2| 2， 所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2 2)2， 即 2k 1k2 2 8 1k28，解得 k0 或 k 6 2 . 又因为 2k0， x1x20， x1x20 0， x1x20 0， x1x20)的左、右焦点分别为 F 1，F2，若 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点， 直线 l 是双曲线的经过第二、 四象限的渐近线， MQl 于点 Q，且|MQ|MF1|的最小值为 3，则双曲线 C 的通径长为 _ 2 解析 如图所示，连接 MF2，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2
31、a， |MQ|MF1|MF2|MQ|2a|F2Q|2a，当且仅当 Q，M，F2三点共 线时，|MQ|MF1|取得最小值 3. 此时，F2(c,0)到直线 l：y1 ax 的距离|F2Q| c 1a2， c 1a22a3 c c2a3a1，由定义知通径长为 2b2 a 2. 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2019 唐山统考)“k9”是“方程 x2 25k y2 k9 1 表示双曲线”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A组组 基础关基础关 解析 方程 x2 25k y2 k91 表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，
32、“k9”是“方程 x2 25k y2 k91 表示双曲线”的充分不必要条 件，故选 A. 答案答案 解析解析 2(2019 浙江高考)渐近线方程为 x y0 的双曲线的离心率是( ) A. 2 2 B1 C. 2 D2 解析 由题意可得b a1，e 1b 2 a2 11 2 2.故选 C. 答案答案 解析解析 3双曲线 9x216y21 的焦点坐标为( ) A 5 12，0 B 0，5 12 C( 5,0) D(0， 5) 解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 2 1 9 y2 1 16 1，所以 c21 9 1 16 25 144，所以 c 5 12，所以焦点坐标为 5 12，0 . 答案答
33、案 解析解析 4设椭圆 C1的离心率为 5 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2 上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准 方程为( ) A. x2 16 y2 9 1 B. x2 169 y2 251 C.x 2 9 y2 161 D. x2 169 y2 1441 解析 由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线 C2 上的一点 P，则|PF1|PF2|80)的两条渐近线均与圆 C：x2y24x3 0 相切，则该双曲线的实轴长为( ) A3 B6 C9 D12 解析 圆 C 的标准方程为(x2)2y21，所以圆心
34、坐标为 C(2,0)，半 径 r1.双曲线的渐近线为 y b ax，不妨取 y b ax，即 bxay0，因为渐近 线与圆 C 相切， 所以圆心到渐近线的距离 d |2b| a2b21， 所以 3b 2a2.由x 2 a2 y 2 3 1，得 b23，则 a29，所以 2a6.故选 B. 答案答案 解析解析 6(2019 全国卷)设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ| |OF|，则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 答案答案 解析 设双曲线 C： x2
35、a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)由 圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQ OF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c 2.由|OM| 2 |MP|2|OP|2得 c 2 2 c 2 2a2，故c a 2，即 e 2.故选 A. 解析解析 7已知双曲线 C：x2y 2 4 1，经过点 M(2,1)的直线 l 交双曲线 C 于 A， B 两点，且 M 为 AB 的中点，则直线 l 的方程为( ) A8xy150 B8xy170 C4xy90 D4xy70 解析 设 A，B 的坐标分别为(x1，y1
36、)，(x2，y2)，则 4x2 1y 2 14， 4x2 2y 2 24， 两式 相减得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2， 1)是线段AB的中点， 所以 x1x24， y1y22.所以 16(x1x2)2(y1y2)0， 所以 kABy 1y2 x1x2 16 2 8，故直线 l 的方程为 y18(x2)，即 8xy150. 答案答案 解析解析 8(2019 东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形 ABCD，AB12，BC 5，以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的双曲线的离心率为_ 3 2 解析 解法一：不妨设双曲线的方程为 x2 a2 y2 b21(a0，b
37、0)，则 c a2b26. 如图 1，在x 2 a2 y2 b21 中，令 x6，得 y 2 36 a2 1 b2， 即 36 a2 1 b225. 由解得 a216， b220， 所以 a4， 所以离心率 ec a 3 2. 解析解析 解法二：如图 2，不妨设双曲线的方程为 x2 a2 y2 b21(a0，b0)，易知 AC13.由双曲线的定义可知 2a|AC|BC|8，即 a4.又 c1 2|AB|6， 所以离心率 ec a 3 2. 解析解析 9(2020 武汉摸底)已知双曲线 x2y 2 3 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则PA1 PF2 的最小值为_
38、 解析 由题意可知 A1(1,0)，F2(2,0) 设 P(x，y)(x1)， 则PA1 (1x，y)，PF2 (2x，y)，PA1 PF2 x2x2y2x2 x23(x21)4x2x5.因为 x1，函数 f(x)4x2x5 的图象的对 称轴为 x1 8，所以当 x1 时，PA1 PF2 取得最小值2. 2 解析解析 10P 是双曲线x 2 a2 y2 b21 右支上一点，F1，F2 分别为左、右焦点，且 焦距为 2c，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标是_ 解析 点 P 是双曲线右支上一点， 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a， 若设PF1F2的内切圆圆心在 x 轴上的投影为 A(x,0
39、)，则该点也是内切 圆与 x 轴的切点 设 B，C 分别为内切圆与 PF1，PF2的切点 由切线长定理，则有|PF1|PF2|(|PB|BF1|)(|PC|CF2|)|BF1| |CF2|AF1|F2A|(cx)(cx)2x2a，所以 xa.所以内切圆圆心的 横坐标为 a. a 解析解析 1(2019 厦门一模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆 过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的 渐近线方程为( ) Ay 3x By 3 3
40、x Cy 2x Dy 1 2x B组组 能力关能力关 答案答案 解析 设双曲线的另一个焦点为 F，由 OAOBOFOFc，知 圆的方程为 x2y2c2，点 F(c,0)到直线 yb ax(即 bxay0)的距离为 |b c| a2b2b，所以 S ABF1 2 2c b8，即 bc8. 由 x2y2c2， x2 a2 y2 b21， 得 y b2 c ，所以|MN|2b 2 c 2，所以 b2c，所以 b 2，c4，所以 a2 3，所以 C 的渐近线方程为 y 3 3 x. 解析解析 2 (2019 河南六市第二次联考)已知直线 y2b 与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的斜率
41、为正的渐近线交于点 A，双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，若 tanAF2F1 15，则双曲线的离心率为( ) A.16 11 B2 C4 或16 11 D4 答案答案 解析 由 y2b， yb ax， 得点 A(2a,2b)，所以 tanAF2F1 2b |c2a| 15.所 以 4b215(4a24acc2)，即 4(c2a2)15(4a24acc2)，即 64a260ac 11c20， 所以 11e260e640.解得 e4 或 e16 11.经检验， 当 e 16 11时， tanAF2F1 15，不符合题意，所以双曲线的离心率为 4. 解析解析 3过双曲线 x2y 2 2 1 的
42、右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 |AB|4，则这样的直线 l 有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x 3，由 x 3， x2y 2 2 1， 得 y 2，|AB|y1y2|4 满足题意当直线 l 的斜率存在时，其方程为 yk(x 3)， 由 ykx 3， x2y 2 2 1， 得(2k2)x22 3k2x3k220. 答案答案 解析解析 当 2k20 时，不符合题意， 当 2k20 时，x1x22 3k 2 k22 ，x1x23k 22 k22 ， |AB| 1k2 x1x2
43、24x1x2 1k2 2 3k2 k22 212k 28 k22 1k2 16k21 k222 41k 2 |k22| 4， 解得 k 2 2 .综上可知，这样的直线有 3 条 解析解析 4(2019 成都七中高三上学期入学考试)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 上存在点 P 与右焦点 F 关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 答案答案 解析 过右焦点 F 且与渐近线垂直的直线方程为 y a b(xc)，不妨取 直线 ya b(xc)设渐近线 y b ax 与直线 y a b(xc)的交点为 M. 联立 yb ax， ya bxc，
44、解得 x a2 c ， yab c ， 故点 M 的坐标为 a2 c ，ab c . 由中点坐标公式，得点 P 的坐标为 2a2 c c，2ab c .将其代入双曲线的方程， 得2a 2c22 a2c2 4a 2b2 b2c2 1，化简，得 c25a2，由此，得 ec a 5. 解析解析 5 已知等腰三角形 ABC 的底边端点 A， B 在双曲线x 2 6 y 2 3 1 的右支上， 顶点 C 在 x 轴上，且 AB 不垂直于 x 轴，则顶点 C 的横坐标 t 的取值范围是 _ 3 6 2 ， 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0 6.根据
45、题意，得 x2 1 6 y 2 1 3 1， x2 2 6 y 2 2 3 1， 两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0， 于是 x0(x1x2)2y0(y1y2)0， 即 kABy 1y2 x1x2 x0 2y0.又 kMC y0 x0t， 由 kMC kAB y0 x0t x0 2y01，得 x02(x0t)0，即 t 3x0 2 3 6 2 . 解析解析 6已知 F 是双曲线 C：x2y 2 8 1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点， A(0,6 6)当APF 的周长最小时，该三角形的面积为_ 解析 如图，设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线方程 x2y 2 8 1，可知 a1，c3，故 F(3,0)，F1(3,0) 12 6 解析解析 当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|PF1|2，所 以|PF|PF1|2，从而APF 的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2 |AF|. 因为|AF| 326 6215 为定值， 所以当|AP|PF1|最小时， APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段
