1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第7 7讲讲 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性 2能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列(重点、 难点) 3理解超几何分布，并能进行简单的应用 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容预测 2021 年将会考查：与排列组合及统计知识结合的分布列；与独立重复 事件结合的分布
2、列试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背 景进行考查，试题难度不大，属中档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为01 _， 常用字母 X， Y， ， ，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为02 _ 随机变量 离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi， xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的01 _，简称为 X 的02 _
3、， 有时为了表达简单，也用等式03 _表示 X 的 分布列 概率分布列 分布列 P(Xxi)pi，i1,2，n (2)离散型随机变量的分布列的性质 04 _； 05 _. pi0(i1,2，n) i1 n pi1 3常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1p p ，其中 p01 _称为成功概率 P(X1) (2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)02 _，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN， MN，n，M，NN*. X 0 1 m P 03 _ 04
4、_ Cm MC nm NM Cn N 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几 何分布 Ck MC nk NM Cn N C0 MC n0 NM Cn N C1 MC n1 NM Cn N 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) (3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从 超几何分布( ) (4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布( ) 2小
5、题热身 (1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随 机变量 ，那么 的可能取值为( ) A0,1 B1,2 C0,1,2 D0,1,2,3 解析 由于只有 2 件次品，所以 的可能取值为 0,1,2. 答案答案 解析解析 (2)设随机变量 X 的分布列如下 X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 解析 由分布列的性质得， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， 解得 p1 4. 答案答案 解析解析 (3)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述
6、1 次试 验的成功次数，则 P(X0)等于( ) A0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析 P(X1)2P(X0)，且 P(X1)P(X0)1.所以 P(X0)1 3. 故选 C. 答案答案 解析解析 (4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女 生人数不超过 1 人的概率是_ 解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布， 其中 N6，M2，n3，则 P(x1)P(x0)P(x1)C 0 2C 3 4 C3 6 C 1 2C 2 4 C3 6 4 5. 4 5 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(2019 乐山三模)设
7、随机变量 X 的概率分布表如表， X 1 2 3 4 P 1 6 1 4 m 1 3 则 P(|X2|1)( ) A. 7 12 B.1 2 C. 5 12 D.1 6 答案答案 题型一题型一 离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质 解析 由|X2|1，可解得 x3 或 x1，再由分布列的性质可得 m 1（1 6 1 4 1 3） 1 4，P(|X2|1)P(X1)P(X3) 1 6 1 4 5 12. 解析解析 解 由已知分布列如下 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 P a 2a 3a 4a 5a (1)由 a2a3a4a5a1，得 a 1 15. 解解 2设随机变量 的
8、分布列 P k 5 ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P 3 5 ； (3)求 P 1 10 7 10 . (2)P 3 5 P 3 5 P 4 5 P(1) 3 15 4 15 5 15 4 5. 或P 3 5 1P 2 5 1 1 15 2 15 4 5. (3)因为 1 10 7 10只有 1 5， 2 5， 3 5满足， 故 P 1 10 7 10 P 1 5 P 2 5 P 3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 解解 解 由举例说明解析得 的分布列如下 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 P 1 15 2 15 1 5 4 15 1 3
9、所以 51 的分布列如下 51 0 1 2 3 4 P 1 15 2 15 1 5 4 15 1 3 解解 结论探究 在本例中的条件下，求 51 的分布列 1分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正 确性 (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可 以求随机变量在某个范围内的概率 提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数 2随机变量 X 的线性组合的概率及分布列问题 (1)随机变量 X 的线性组合 aXb(a，bR)是随机变量 (2)求 aXb 的分布列可先求出相应随机变量的值， 再根据对应的概 率写出分
10、布列. 1设 X 是一个离散型随机变量，其分布列如下 X 1 0 1 P 1 3 23q q2 则 q 的值为( ) A1 B.3 2 33 6 C.3 2 33 6 D.3 2 33 6 答案答案 解析 由分布列的性质知 23q0， q20， 1 323qq 21， 解得 q3 2 33 6 . 解析解析 2(2019 曲靖二模)已知随机变量 的分布列如下 2 1 0 1 2 3 P 1 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 若 P(2x)11 12，则实数 x 的取值范围是( ) A4x9 B4x9 Cx9 答案答案 解析 由随机变量 的分布列，得 2的可能取值为 0,1
11、,4,9， 且 P(20) 4 12，P( 21) 3 12 1 12 4 12， P(24) 1 12 2 12 3 12，P( 29) 1 12， 由 P(2x)11 12，所以实数 x 的取值范围是 4x9. 解析解析 题型二题型二 求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列 (2019 长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长 和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节 云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进 行了统计： 点击量 0,1000 (1000,3000 (3000，) 节数 6 18 12 (1)现
12、从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节， 求选出的点击量超 过 3000 的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间 0,1000内，则需要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000内， 则需要花费 20 分钟进行剪辑，点击量超过 3000，则不需要剪辑，现从(1) 中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑，求剪辑时间 X 的分布列 解 (1)根据分层抽样可知，选出的 6 节课中点击量超过 3000 的节数为 12 3662. 解解 (2)由分层抽样可知， (1)中选出的 6 节课中点击量在区间0,1000内的有 1 节，点击量在
13、区间(1000,3000内的有 3 节，故 X 的可能取值为 0,20,40,60. P(X0) 1 C2 6 1 15， P(X20)C 1 3C 1 2 C2 6 6 15 2 5， P(X40)C 1 2C 2 3 C2 6 5 15 1 3， P(X60)C 1 3 C2 6 3 15 1 5， 则 X 的分布列如下 X 0 20 40 60 P 1 15 2 5 1 3 1 5 解解 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明确取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示 的意义 (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所 对应的概率 (3)画表格：按规
14、范要求形式写出分布列 (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确 提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的 概率等于这个范围内各概率值的和. 解 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X0)C 0 3 23 1 8；P(X1) C1 3 23 3 8； P(X2)C 2 3 23 3 8；P(X3) C3 3 23 1 8. 所以 X 的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 解解 抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次 (1)写出正面向上次数 X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率 (2)至少出现两次正面向上的概率为 P(X2
15、)P(X2)P(X3)3 8 1 8 1 2. 解解 2019年8月的台风“利奇马”对我国多个省市的财产造成了重大损害， 据统计直接经济损失达 537.2 亿元某青年志愿者组织调查了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成 5 组： 0,2000，(2000,4000，(4000,6000，(6000,8000，(8000,10000(单位：元)， 得到如图所示的频率分布直方图 题型三题型三 超几何分布超几何分布 解 (1)记每个农户的平均损失为 x 元，则 x (10000.0001530000.0002050000.0000970000.00003 900
16、00.00003)20003360. 解解 (1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中 的数据用该组区间的中点值代表)； (2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户 捐款帮扶，现从这 50 户中损失超过 4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重 点帮扶，设抽出损失超过 8000 元的农户数为 X，求 X 的分布列 (2)由频率分布直方图，得损失超过 4000 元的农户共有(0.00009 0.000030.00003)20005015(户)， 损失超过 8000 元的农户共有 0.000032000503(户)， 随机抽取 2 户，则 X 的可能取
17、值为 0,1,2； 计算 P(X0)C 2 12 C2 15 22 35， P(X1)C 1 12 C 1 3 C2 15 12 35， P(X2) C2 3 C2 15 1 35， 所以 X 的分布列如下 X 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 解解 1超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题 (2)随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类 (2)已知各类对象的个数 (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 的概率分布 3求超几何分布的分布列的步骤 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分 层抽
18、样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随 机抽取 3 人做进一步的身体检查 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布 列； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足 的员工”，求事件 A 发生的概率 解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人 (2)随机变量 X 的所有可能取
19、值为 0,1,2,3. P(Xk)C k 4 C 3k 3 C3 7 (k0,1,2,3) 所以，随机变量 X 的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 解解 设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的 员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠 不足的员工有 1 人”， 则 ABC，且 B 与 C 互斥， 由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)， 故 P(A)P(BC)P(X2)P(X1)6 7. 所以，事件 A 发生的概率为6 7. 解解 3 课时作业课时作业 PART THRE
20、E 1抛掷两颗骰子，所得点数之和为 ，那么“4”表示的随机试验 结果是( ) A一颗是 3 点，另一颗是 1 点 B两颗都是 2 点 C两颗都是 4 点 D一颗是 3 点，另一颗是 1 点或两颗都是 2 点 A组组 基础关基础关 解析 A，B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值 4；而 D 是 4 代表的所有试验结果故选 D. 答案答案 解析解析 2设离散型随机变量 的分布列如下 0 1 2 3 4 P 1 5 1 10 1 10 3 10 3 10 则|1|的分布列为( ) A. |1| 1 2 3 P 2 5 3 10 3 10 B. |1| 1 2 3 P 3 10 2 5 3 10
21、 C. |1| 0 1 2 3 P 1 5 1 5 3 10 3 10 D. |1| 0 1 2 3 P 1 10 3 10 3 10 3 10 答案答案 解析 由已知得，|1|的所有可能取值为 0,1,2,3. P(|1|0)P(1) 1 10，P(|1|1)P(0)P(2) 3 10， P(|1|2)P(3) 3 10， P(|1|3)P(4) 3 10. 所以|1|的分布列为 D. 解析解析 3某一随机变量 的概率分布如下，且 m2n1.2，则 mn 2( ) 0 1 2 3 p 0.1 m n 0.1 A0.2 B0.2 C0.1 D0.1 解析 由 mn0.21，m2n1.2，可得
22、mn0.4，所以 mn 2 0.2.故选 B. 答案答案 解析解析 4设随机变量 的分布列为 P(i)a （1 3） i，i1,2,3，则 a( ) A1 B. 9 13 C.11 13 D.27 13 解析 P(1)P(2)P(3)1，即 a1 3（ 1 3） 2（1 3） 31， 解得 a27 13.故选 D. 答案答案 解析解析 5一个盒子里装有大小相同的 10 个黑球、12 个红球、4 个白球，从 中任取 2 个， 其中白球的个数记为 X， 则下列概率等于C 1 22C 1 4C 2 22 C2 26 的是( ) AP(0X2) BP(X1) CP(X1) DP(X2) 解析 由题意可
23、知，P(X1)C 1 22C 1 4 C2 26 ，P(X0)C 2 22 C2 26， C1 22C 1 4C 2 22 C2 26 表示 取 1 个白球或者一个白球都没有取得，即 P(X1) 答案答案 解析解析 6若随机变量 X 的分布列如下， X 2 1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B1,2 C(1,2 D(1,2) 解析 由随机变量 X 的分布列， 知 P(X1)0.1， P(X0)0.3， P(X1) 0.5，P(X2)0.8，则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是
24、(1,2故 选 C. 答案答案 解析解析 7 离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn) a nn1(n1,2,3,4)， 其中 a 是常数，则 P（1 2X 5 2）的值为( ) A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 解析 由（ 1 12 1 23 1 34 1 45）a1，得 4 5a1，解得 a 5 4. 故 P（1 2X 5 2）P(X1)P(X2) 1 2 5 4 1 6 5 4 5 6. 答案答案 解析解析 8一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的(至少使用过一次)， 从盒子中任取 3 个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧 球个数 X
25、是一个随机变量，则 P(X4)的值为_ 解析 由题意，得 X4 是指取出的 3 个球中有 2 个旧的 1 个新的，所 以 P(X4)C 1 9C 2 3 C3 12 27 220. 27 220 解析解析 9从含有 2 个红球和 4 个黑球的盒子中任意摸出 4 个球，假设每个球 被摸到的可能性相同， 记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为， 则 的分布列为 _ 解析 由题意，得 的可能取值为 0,2,4，则 P(0)C 2 2C 2 4 C4 6 2 5，P(2) C1 2C 3 4 C4 6 8 15， P(4)C 0 2C 4 4 C4 6 1 15，所以 的分布列如下 0 2 4
26、P 2 5 8 15 1 15 0 2 4 P 2 5 8 15 1 15 解析解析 10一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字 0，两个面上标 有数字 1，一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积 X 的分布列为 _ 解析 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,4，P(X0)C 1 3C 1 3C 1 3C 1 3C 1 3C 1 3 C1 6C 1 6 3 4，P(X1) C1 2C 1 2 C1 6C 1 6 1 9，P(X2) C1 2C 1 1C 1 1C 1 2 C1 6C 1 6 1 9，P(X4) C1 1C 1 1 C1 6C 1 6 1 36
27、， 所以分布列为 X 0 1 2 4 P 3 4 1 9 1 9 1 36 X 0 1 2 4 P 3 4 1 9 1 9 1 36 解析解析 1(2020 长沙质检)一个不透明的袋内装有 m 个白球，nm 个黑球， 连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 X 个白球， 下列概率等于nmA 2 m A3 n 的是( ) AP(X3) BP(X2) CP(X3) DP(X2) B组组 能力关能力关 解析 当 X2 时，即前 2 个取出的是白球，第 3 个是黑球，前 2 个取 出白球，有 A2 m种取法，再任意取出 1 个黑球即可，有 C 1 nm种取法，而这 3 次取球可以认为按
28、顺序排列，此排列顺序即可认为是依次取球的顺序，即 A3 n，P(X2)A 2 mC 1 nm A3 n nmA 2 m A3 n . 答案答案 解析解析 2(2019 西安质检)已知随机变量 的分布列如下， 0 1 2 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则函数 f(x)x22x 有且只有一个零点 的概率为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.5 6 答案答案 解析 由题意，知 a，b，c0,1，且 2bac， abc1， 解得 b1 3，又函 数 f(x)x22x 有且只有一个零点， 故对于方程 x22x0， 44 0，解得 1，所以 P(1)1 3. 解析解析 3已知某
29、一离散型随机变量 X 的分布列如下， X 0 1 2 3 P 0.1 m 4n 0.1 则 1 m 1 n的最小值为_ 45 4 解析 由题意，得 m4n0.21，m0，n0. 即 m4n4 5， 5 4(m4n)1. 所以 1 m 1 n 5 4(m4n) 1 m 1 n 5 4 54n m m n 5 4(52 4) 45 4 ， 当且仅当4n m m n 即 m2n，n 2 15，m 4 15时，“”成立 解析解析 4若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字 大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等) 在某次数学趣味活动中，每位参
30、加者需从所有的“三位递增数”中随 机抽取 1 个数，且只能抽取一次得分规则如下： 若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分 (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列 解 (1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C3 984，随机变量 X 的取 值为 0，1,1，因此 P(X0)C 3 8 C3 9 2 3， P(X1)C 2 4 C3
31、9 1 14，P(X1)1 1 14 2 3 11 42. 所以 X 的分布列如下 X 0 1 1 P 2 3 1 14 11 42 解解 C组组 素养关素养关 1(2019 长春二模)某研究机构随机调查了 A，B 两个企业各 100 名员 工，得到了 A 企业员工收入的频数分布表以及 B 企业员工收入的统计图如 下 A 企业： 工资 人数 2000,3000) 5 3000,4000) 10 4000,5000) 20 5000,6000) 42 6000,7000) 18 7000,8000) 3 8000,9000) 1 9000,10000 1 B 企业： (1)若将频率视为概率，现从
32、 B 企业中随机抽取一名员工，求该员工收 入不低于 5000 元的概率； (2)若从 A 企业收入在2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取 7 人，而后在此 7 人中随机抽取 2 人，求这 2 人收入在3000,4000)内的人数 X 的分布列； 若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学 相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由 解 (1)由饼状图知，工资不低于 5000 元的有 68 人，故从 B 企业中随 机抽取一名员工，该员工收入不低于 5000 元的概率为 0.68. (2)A 企业员工收入在2000,3000)，3000,4000)，4000,500
33、0)三个不同 层次的人数比为 124，即按照分层抽样的方式所抽取的 7 人收入在 3000,4000)的人数为 2.X 的可能取值为 0,1,2， 因此 P(X0)C 2 5 C2 7 10 21，P(X1) C1 5C 1 2 C2 7 10 21， P(X2)C 2 2 C2 7 1 21， 得 X 的分布列如下， X 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 解解 A 企业的员工平均收入为 1 100(25005350010450020 550042650018750038500195001)5260， B 企业的员工平均收入为 1 100 (2500235007450023 5
34、5005065001675002)5270. 参考答案一：选 B 企业，由于 B 企业员工的平均收入高 参考答案二：选 A 企业，A 企业员工的平均收入只比 B 企业低 10 元， 但是 A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得 8000 元以上的高收 入是有可能的 参考答案三：选 B 企业，由于 B 企业员工平均收入不仅高，且低收入 人数少 (如有其他情况，只要理由充分，也可给分) 解解 2某班级 50 名学生的考试分数 x 分布在区间50,100)内，设考试分数 x 的分布频率是 f(x)且 f(x) n 100.4，10nx10n1，n5，6，7， n 5b，10nx10n1，n8
35、，9. 考试成绩采用“5 分制”，规定：考试分数在50,60)内的成绩记为 1 分，考 试分数在60,70)内的成绩记为 2 分，考试分数在70,80)内的成绩记为 3 分， 考试分数在80,90)内的成绩记为 4 分，考试分数在90,100)内的成绩记为 5 分在 50 名学生中用分层抽样的方法，从成绩为 1 分、2 分及 3 分的学生 中随机抽出 6 人， 再从这 6 人中随机抽出 3 人， 记这 3 人的成绩之和为 (将 频率视为概率) (1)求 b 的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求 P(7)； (3)求随机变量 的分布列 解 (1)因为 f(x) n 100.4，10nx10
36、n1，n5，6，7， n 5b，10nx10n1，n8，9. 所以 5 100.4 6 100.4 7 100.4 8 5b 9 5b 1， 所以 b1.9. 估计该班的考试平均分数为 5 100.4 55 6 100.4 65 7 100.4 75 8 51.9 85 9 51.9 9576. 解解 (2)由题意可知，考试成绩记为 1 分，2 分，3 分，4 分，5 分的频率分 别是 0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，按分层抽样的方法分别从考试成绩记为 1 分，2 分， 3 分的学生中抽出 1 人，2 人，3 人，再从这 6 人中抽出 3 人，所以 P(7) C 2 3C 1 1C 1 3C 2 2 C3 6 3 10. 解解 (3)由题意，知 的可能取值为 5,6,7,8,9， P(5)C 1 1C 2 2 C3 6 1 20，P(6) C1 1C 1 2C 1 3 C3 6 3 10， P(7) 3 10，P(8) C2 3C 1 2 C3 6 3 10， P(9)C 3 3 C3 6 1 20. 所以 的分布列如下 5 6 7 8 9 P 1 20 3 10 3 10 3 10 1 20 解解 本课结束本课结束
