1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第8 8讲讲 n次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念(重点) 2能够利用 n 次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问 题(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预 测 2021 年将会考查：条件概率的计算；事件独立性的应用；独 立重复试验与二项分布的应用题型为解答题，试题难度不会太大， 属中档题型. 1 基础知识过关基础知识
2、过关 PART ONE 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做01 _，用符号02 _来表示，其 公式为 P(B|A)03 _在古典概型中，若用 n(A)表示事 件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)nAB nA (n(AB)表示 AB 共同发生的 基本事件的个数) 条件概率 P(B|A) PAB PA (P(A)0) (2)条件概率具有的性质 04 _； 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(BC)|A)05 _ 2相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 01 _ (
3、2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)02 _， P(AB)P(B|A)P(A)03 _ 0P(B|A)1 P(B|A)P(C|A) A，B 是相互独立事件 P(B) P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则04 _，05 _，06 _ 也都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则07 _ 3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在01 _条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验Ai(i 1,2，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An) 02 _ A 与B A与 B A与B A与B相互独立 相同 P(A1)P(A2)P(An) (2)
4、二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试 验中事件 A 发生的概率是 p， 此时称随机变量 X 服从二项分布， 记作03 _，并称 p 为04 _在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)05 _ (k 0,1,2，n) XB(n，p) 成功概率 Ck np k(1p)nk 答案答案 1概念辨析 (1)相互独立事件就是互斥事件( ) (2)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( ) (3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项 公式，其中 ap，b(1p)( ) (4)二项分布是一
5、个概率分布列， 是一个用公式 P(Xk)Ck np k(1p)nk， k0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2小题热身 (1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一 年中下雨天的比例甲市占 20%， 乙市占 18%， 两地同时下雨占 12%， 记 P(A) 0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，则 P(A|B)和 P(B|A)分别为( ) A.1 3， 2 5 B.2 3， 2 5 C.2 3， 3 5 D.1 2， 3 5 解析 由已知，得 P(A|B)PAB
6、PB 0.12 0.18 2 3， P(B|A)PAB PA 0.12 0.2 3 5. 答案答案 解析解析 (2)设随机变量 B 5，1 3 ，则 P(3)( ) A. 10 243 B. 32 243 C. 40 243 D. 80 243 解析 因为 B 5，1 3 ，所以 P(3)C3 5 1 3 3 2 3 2 40 243. 答案答案 解析解析 (3)一名信息员维护甲乙两公司的 5G 网络， 一天内甲公司需要维护和乙 公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为 0.4 和 0.3，则至少有 一个公司不需要维护的概率为_ 解析 P10.40.30.88. 解析解析 0.88 (4
7、)小王通过英语听力测试的概率是1 3，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是_ 解析 所求概率 PC1 3 1 3 1 11 3 24 9. 解析解析 4 9 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为 偶数”，事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)( ) A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 答案答案 题型 一 条件概率 解析 解法一：事件 A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共 4 个 事件 AB 发生的结果只有(2,4)一种
8、情形，即 n(AB)1. 故由古典概型概率 P(B|A)nAB nA 1 4.故选 B. 解法二：P(A)C 2 3C 2 2 C2 5 4 10，P(AB) C2 2 C2 5 1 10.由条件概率计算公式，得 P(B|A)PAB PA 1 10 4 10 1 4.故选 B. 解析解析 条件探究 1 若将本例中的事件 B 改为“取到的 2 个数均为奇数”，则 P(B|A)_. 解析 P(A)C 2 3C 2 2 C2 5 2 5，P(B) C2 3 C2 5 3 10. 又 BA，则 P(AB)P(B) 3 10， 所以 P(B|A)PAB PA PB PA 3 4. 解析解析 3 4 条件
9、探究 2 将本例中的条件改为： 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个 数，事件 A 为“第一次取到的是奇数”，事件 B 为“第二次取到的是奇数”，则 P(B|A)_. 1 2 解析 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，有 A2 5种方法；其中第一 次取到的是奇数，有 A1 3A 1 4种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是 奇数，有 A1 3A 1 2种方法 则 P(A)A 1 3A 1 4 A2 5 3 5，P(AB) A1 3A 1 2 A2 5 3 10， 所以 P(B|A)PAB PA 3 10 3 5 1 2. 解析解析 2 如图， EFGH 是以 O
10、 为圆心， 半径为 1 的圆的内接正方形 将 一颗豆子随机地扔到该圆内， 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)_. 1 4 解析 由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A) S正方形EFGH S圆O 2 2 12 2 .事件 AB 表示“豆子落在EOH 内”，则 P(AB) S EOH S圆O 1 21 2 12 1 2， 故 P(B|A)PAB PA 1 2 2 1 4. 解析解析 解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在 前提下”等字眼，一般为条件概率题目中若没有出现上述
11、字眼，但 已知事件的出现影响所求事件的概率时， 也需注意是否为条件概率 若 为条件概率，则进行第二步 提醒： 要注意 P(B|A)与 P(A|B)的不同： 前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B 发生的条件下 A 发生的概率 1(2019 汉中模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活 动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个 项目，每人限报其中一项，记事件 A 为“四名同学所报项目各不相同”， 事件 B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则 P(A|B)( ) A.1 4 B.3 4 C.2 9 D.5 9 解析 由题意， 得 P(B)3
12、3 44 27 256， P(AB) A3 3 44 3 128， 所以 P(A|B) PAB PB 2 9. 答案答案 解析解析 2(2019 武侯区校级模拟)如果an不是等差数列，但若kN*，使得 akak22ak1， 那么称an为“局部等差”数列 已知数列xn的项数为 4， 记事件 A：集合x1，x2，x3，x41,2,3,4,5，事件 B：xn为“局部等差” 数列，则条件概率 P(B|A)( ) A. 4 15 B. 7 30 C.1 5 D.1 6 答案答案 解析 由已知数列xn的项数为 4，记事件 A：集合x1，x2，x3，x4 1,2,3,4,5， 则事件 A 的基本事件共有 A
13、4 5120 个， 在满足事件 A 的条件下， 事件 B：xn为“局部等差”数列，共有以下 24 个基本事件：其中含 1,2,3 的局部等差数列分别为 1,2,3,5；5,1,2,3；4,1,2,3，共 3 个，同理含 3,2,1 的 局部等差数列也有3个， 含3,4,5和含5,4,3与上述相同， 含 2,3,4的有5,2,3,4； 2,3,4,1，共 2 个，同理含 4,3,2 的也有 2 个含 1,3,5 的有 1,3,5,2；2,1,3,5； 4,1,3,5；1,3,5,4，共 4 个，同理含 5,3,1 的也有 4 个所以 P(B|A) 24 120 1 5. 解析解析 1(2019
14、咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公 司录取的概率分别为1 6， 1 4， 1 3，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们 三人中至少有一人被录取的概率为( ) A.31 72 B. 7 12 C.25 72 D.15 72 答案答案 题型题型 二二 相互独立事件的概率相互独立事件的概率 解析 由题意，得他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人 都没有被录取，他们三人中至少有一人被录取的概率为 P1 11 6 11 4 11 3 7 12. 解析解析 2(2019 全国卷)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后， 每球交换发球权， 先多得 2
15、 分的一方获胜， 该局比赛结束 甲、 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲 得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 1010 平后，甲先 发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 (1)求 P(X2)； (2)求事件“X4 且甲获胜”的概率 解 (1)X2 就是某局双方 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛 结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分 因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5. (2)X4 且甲获胜，就是某局双方 1010 平后，两人又打了 4 个球该 局比赛结束，且这 4 个球的得分情况为前两球是甲、乙
16、各得 1 分，后两球 均为甲得分 因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1. 解解 求相互独立事件概率的步骤 第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题 中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果 此外，也可以从对立事件入手计算概率. 1(2019 湘潭三模)某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛，现有 20 名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为 0.4；每名同学 有 2 次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进 2 个得 4 分， 投进 1 个
17、得 2 分，1 个未进得 0 分，则其中 1 名同学得 2 分的概率为( ) A0.5 B.0.48 C0.4 D.0.32 解析 设“第一次投进球”为事件 A，“第二次投进球”为事件 B，则 得 2 分的概率为 PP(AB )P(AB)0.40.60.60.40.48. 答案答案 解析解析 2某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛 中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲 家庭回答正确这道题的概率是3 4，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 1 12，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 1 4.若各家庭回答是否正确互不 影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的
18、概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概 率 解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确 这道题”分别为事件 A，B，C， 则 P(A)3 4， 且有 PA PC 1 12， PB PC1 4， 即 1PA 1PC 1 12， PB PC1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. 解解 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P(A B C )P(A) P(B) P(C)1 4 5 8 1 3 5 96， 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(AB C ABCA B C)3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5
19、 8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 P1P0P11 5 96 7 24 21 32. 解解 1若同时抛掷两枚骰子，当至少有 5 点或 6 点出现时，就说这次试验 成功，则在 3 次试验中至少有 1 次成功的概率是( ) A.125 729 B. 80 243 C.665 729 D.100 243 题型题型 三三 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 答案答案 解析 一次试验中， 至少有 5 点或 6 点出现的概率为 1 11 3 11 3 14 9 5 9，设 X 为 3 次试验中成功的次数，所以 XB 3，5 9 ，故所求概率 P(X1)1P(X
20、0)1C0 3 5 9 0 4 9 3665 729，故选 C. 解析解析 2为了弘扬国粹，提高民族自豪感，坐落于某实验中学内的艺术 馆为学员们提供书法、国画、古琴、茶艺等教学服务，其中学习书法 和国画的学员最多为了研究喜欢书法和喜欢国画之间的联系，随机 抽取了 80 名学员进行问卷调查，发现喜欢国画的人的比例为 70%，喜 欢书法的人的比例为 50%. 喜欢国画 不喜欢国画 总计 喜欢书法 a b 不喜欢书法 c 16 总计 (1)请求出上表中 a，b，c 的值； (2)有人认为喜欢书法与喜欢国画有关，你同意这种看法吗？说明 理由； (3)假定学员们都按照自己的喜好进行了系统学习根据传统，国
21、 画上有题字和落款才算完整作品，那么既学书法又学国画的学员们创 作的作品可以称为“书画兼优”为了配合实验中学七十年校庆，打 算随机挑选 5 幅作品展览设其中“书画兼优”的作品数为 X，求 X 的分布列 参考公式：K2 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd. 参考数据： P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解 (1)由题意，得 c1680(150%)，c24. ac8070%，a32. ab8050%，b8. a32，b8，c24. 解解 (2)我同意这种看法理由如下： K2803216
22、248 2 40405624 3.81. 3.812.706， 有 90%以上的把握认为喜欢书法与喜欢国画有关， 我同意这种看法 (3)由(1)知一幅作品“书画兼优”的概率为32 80 2 5. X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. P(X0)C0 5 2 5 0 3 5 5 243 3125， 解解 P(X1)C1 5 2 5 3 5 4162 625， P(X2)C2 5 2 5 2 3 5 3216 625， P(X3)C3 5 2 5 3 3 5 2144 625， P(X4)C4 5 2 5 4 3 5 48 625， P(X5)C5 5 2 5 5 3 5 0 32 31
23、25. 解解 X 的分布列如下 X 0 1 2 3 4 5 P 243 3125 162 625 216 625 144 625 48 625 32 3125 解解 1独立重复试验的实质及应用 独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验 公式可以简化求概率的过程 2判断某概率模型是否服从二项分布 Pn(Xk)Ck np k(1p)nk 的 三个条件 (1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p. (2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每 次试验的结果是相互独立的 (3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 提醒： 在实际应用中
24、， 往往出现数量“较大”“很大”“非常大” 等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分 布. 1春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批 的游客参加，规则是：每人花 10 元拿到 5 个圆圈，在离最近的玩具鹅的 2 米处掷圆圈 5 次， 只要圆圈连续套住同一只鹅颈 3 次， 就可以获得套住的那 只玩具鹅假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为2 3，且每次掷圆圈的结 果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为( ) A. 4 81 B. 8 81 C.1 3 D.104 243 答案答案 解析 设“第 i 次套住鹅颈”为事件 Ai(i1,2,3,4,5)，则A
25、i 表示“第 i 次未套住鹅颈”， 依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的 3 种情形： A1A2A3， A 1A2A3A4，A1 A 2A3A4A5， 而 P(A1A2A3) 2 3 3 8 27， P(A 1A2A3A4) 2 3 31 3 8 81， P(A 1 A 2A3A4A5) 2 3 3 1 3 2 8 243， 故该游客获得一只玩具鹅的概率为 8 27 8 81 8 243 104 243，故选 D. 解析解析 2医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制 其中的两项指标 H 和 V.现有 A， B， C 三种不同配方的药剂， 根据分析， A，B，C 三种药剂能控制 H
26、 指标的概率分别为 0.5,0.6,0.75，能控制 V 指标的概率分别为 0.6,0.5,0.4， 能否控制 H 指标与能否控制 V 指标之间 相互没有影响 (1)求 A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率； (2)某种药剂能使两项指标 H 和 V 都得到控制就说该药剂有治疗效 果求三种药剂中有治疗效果的药剂种数 X 的分布列 解 (1)A， B， C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为 PP(A B C )P(ABC)P(A B C) 0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(1 0.6)0.750.275. (2)A 有治疗效果的
27、概率为 PA0.50.60.3， B 有治疗效果的概率为 PB0.60.50.3， C 有治疗效果的概率为 PC0.750.40.3， A，B，C 三种药剂有治疗效果的概率均为 0.3，可看成 3 次独立重复 试验， 即 XB(3,0.3) 解解 X 的可能取值为 0,1,2,3， P(Xk)Ck 30.3 k(10.3)3k， 即 P(X0) C0 30.3 0(10.3)30.343， P(X1)C1 30.3(10.3) 20.441， P(X2)C2 30.3 2(10.3)0.189， P(X3)C3 30.3 30.027. 故 X 的分布列如下 X 0 1 2 3 P 0.343
28、 0.441 0.189 0.027 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE 1从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是1 3，从乙口袋内摸出 1 个白球的 概率是1 2，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么 5 6是( ) A2 个球不都是白球的概率 B2 个球都不是白球的概率 C2 个球都是白球的概率 D2 个球恰好有一个球是白球的概率 A组组 基础关基础关 答案答案 解析 2 个球不都是白球的对立事件是 2 个球都是白球， 从甲口袋摸 出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，2 个球都是白球的概率 P 1 3 1 2 1 6，2 个球不都是白球的概率是 1 1 6 5 6.故选 A.
29、 解析解析 2(2019 广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元 件进行寿命追踪调查，随机抽查的 200 个机械元件情况如下： 使用时间/天 1020 2130 3140 4150 5160 个数 10 40 80 50 20 若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取 3 个，则至少有 2 个元件的使用寿命在 30 天以上的概率为( ) A.13 16 B.27 64 C.25 32 D.27 32 答案答案 解析 由表可知元件使用寿命在 30 天以上的频率为150 200 3 4，则所求概 率为 C2 3 3 4 21 4 3 4 327 32. 解析解析 3位于坐标原
30、点的一个质点 M 按下述规则移动：质点每次移动一个单 位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 2，质点 M 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A. 1 2 5 B.C2 5 1 2 5 CC3 5 1 2 3 D.C2 5C 3 5 1 2 5 答案答案 解析 如图，由题可知质点 M 必须向右移动 2 次，向 上移动 3 次才能位于点(2,3)，问题相当于 5 次重复试验中 向右恰好发生 2 次的概率所求概率为 PC2 5 1 2 2 1 2 3 C2 5 1 2 5.故选 B. 解析解析 4某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B，系统 A 和系统 B
31、在任意时刻发生故障的概率分别为1 8和 p，若在任意时刻恰有一个系统不 发生故障的概率为 9 40，则 p 等于( ) A. 1 10 B. 2 15 C.1 6 D.1 5 解析 由题意得，1 8(1p) 7 8p 9 40， p 2 15. 答案答案 解析解析 5 (2019 成都调研)某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和 张老师负责每次献爱心活动均需该组织 4 位同学参加假设李老师和张 老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学，且所发信息 都能收到 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( ) A.2 5 B.12 25 C.16 25 D.4
32、5 答案答案 解析 设 A 表示“甲同学收到李老师所发活动通知信息”， B 表示“甲 同学收到张老师所发活动通知信息”，由题意 P(A) 4 10 2 5，P(B) 4 10 2 5， 甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为2 5 2 5 2 5 2 5 16 25. 故选 C. 解析解析 6投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为 p，连续掷一枚图钉 3 次，若 出现 2 次钉尖向上的概率小于出现 3 次钉尖向上的概率，则 p 的取值范围 为( ) A. 1 2， 3 4 B. 3 4，1 C. 2 3，1 D. 1 3，1 答案答案 解析 投掷一枚图钉，钉尖向上的概率为 p(0p1)，连
33、续掷一枚图 钉 3 次，出现 2 次钉尖向上的概率为 C2 3p 2(1p)，出现 3 次钉尖向上的概 率为 p3.出现 2 次钉尖向上的概率小于出现 3 次钉尖向上的概率， C2 3p 2(1 p)p3，即 p2(34p)3 4， p 的取值范围为 3 4，1 . 解析解析 7(2019 重庆模拟)某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛， 现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最 后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( ) A. 3 13 B. 4 13 C.1 4 D.1 5 解析 设事件 A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出 场”
34、；事件 B 为“学生丙第一个出场，”则 P(A)A 4 4C 1 3C 1 3A 3 3 A5 5 78 A5 5，P(AB) C 1 3A 3 3 A5 5 18 A5 5，则 P(B|A) PAB PA 18 78 3 13. 答案答案 解析解析 8(2019 武昌区模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A两次的点 数均为奇数，B两次的点数之和为 4，则 P(B|A)_. 解析 根据题意， 抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 有 6636 种情况， 记 A两次的点数均为奇数， B两次的点数之和为 4， 事件 A 包含 33 9 种情况， 事件 AB 有 2 种情况， 则 P(A)33 36 9
35、36， P(AB) 2 36， 则 P(B|A) PAB PA 2 9. 解析解析 2 9 9某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠，若该电 梯在底层有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为1 3，用 表示 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，则 P(4)_. 解析 依题意，B 5，1 3 ，故 P(4)C4 5 1 3 4 2 3 1 10 243. 解析解析 10 243 10(2019 全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一 队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主 客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场
36、取胜的概率为 0.6，客场 取胜的概率为 0.5， 且各场比赛结果相互独立， 则甲队以 41 获胜的概率是 _ 解析 甲队以 41 获胜，甲队在第 5 场(主场)获胜，前 4 场中有一场 输 若在主场输一场，则概率为 20.60.40.50.50.6； 若在客场输一场，则概率为 20.60.60.50.50.6. 甲队以 41 获胜的概率 P20.60.50.5(0.60.4)0.6 0.18. 解析解析 0.18 1(2019 广州市高三调研)已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中 有 2 个黄球和 2 个红球现随机地从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中，再从 乙袋中随机取出 1 个球，
37、则从乙袋中取出的球是红球的概率为( ) A.1 3 B.1 2 C.5 9 D.2 9 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 分两类：若从甲袋中取出黄球，则乙袋中有 3 个黄球和 2 个 红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为2 5；若从甲袋中取出红球，则乙 袋中有 2 个黄球和 3 个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为3 5；所求 概率 P1 2 2 5 3 5 1 2.故选 B. 解析解析 2(2020 安阳摸底)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻 炼某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球也投进的概 率为3 4，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4.若他第 1
38、 球投进的概率 为3 4，则他第 2 球投进的概率为( ) A.3 4 B.5 8 C. 7 16 D. 9 16 解析 设该运动员第 2 球投进的概率为 p2， 第 1 球投进的概率为 p13 4， p23 4p1 1 4(1p1) 1 2p1 1 4 1 2 3 4 1 4 5 8.故选 B. 答案答案 解析解析 3(2019 德州一模)某超市在中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金 额满 200 元的顾客均获得一次抽奖的机会， 中奖一次即可获得 5 元红包， 没 有中奖不得红包 现有 4 名顾客均获得一次抽奖机会， 且每名顾客每次中奖 的概率均为 0.4，记 X 为 4 名顾客获得的红包金
39、额总和，则 P(10X15) _. 312 625 解析 中奖一次即可获得 5 元红包，没有中奖不得红包现有 4 名顾 客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4，记 X 为 4 名 顾客获得的红包金额总和， 则P(10X15)C2 40.4 20.62C3 40.4 30.6 312 625. 解析解析 4为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查， 得到其在高速公路上行驶时的平均车 速情况为： 在 55 名男性驾驶员中， 平均车速超过 100 km/h 的有 40 人， 不超过 100 km/h 的有 15 人； 在 45 名女
40、性驾驶员中， 平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机 抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随 机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车 辆为 X，求 X 的分布列 解 (1)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为C2 40， 记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员” 为事件
41、A，则事件 A 所包含的基本事件数为 C1 15C 1 25，所以所求的概率 P(A) C 1 15C 1 25 C2 40 1525 2039 25 52. (2)根据样本估计总体的思想， 从总体中任取 1 辆车， 平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的概率为 40 100 2 5， 故 XB 3，2 5 . 解解 所以 P(X0)C0 3 2 5 0 3 5 3 27 125， P(X1)C1 3 2 5 3 5 2 54 125， P(X2)C2 3 2 5 2 3 5 36 125， P(X3)C3 3 2 5 3 3 5 0 8 125. 所以 X 的分布列如下 X 0 1
42、 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 解解 C组组 素养关素养关 1(2019 安徽六校教育研究会第二次联考)为调查人们在购物时的 支付习惯，某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付方式进行了统计， 统计数据如表所示， 支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数 200 150 150 100 现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立， 假设以频率近似代替概率 (1)求三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数的概率 (2)记 X 为三人中使用支付宝支付的人数，求 X 的分布列 解 (1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分 别为
43、1 3， 1 4， 1 4， 1 6. 设 Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数， 事件 A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数”， 则 P(A)P(Y3)P(Y2)P(Y1，且 Z0) 1 3 3C2 3 1 3 22 3C 1 3 1 3 1 2 2 1 27 2 9 1 4 55 108. 解解 (2)由题意可知 XB 3，1 4 ，故所求分布列如下 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 解解 2(2019 顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量 不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部
44、分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位市民，获得了他们某月 的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等 差数列 (1)求 a，b，c 的值及居民月用水量在 22.5 内的频数； (2)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应将 w 至少定为多少？(w 取整数) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月 用水量不超过 2.5 立方米的人数记为 X，求其分布列 解 (1)前四组频数成等差数列，所对应的频率 组距也成等差数列， 设 a0.2d，b0.22d，c0.23d， 0.5(0.20.2d0.22d0
45、.23d0.2d0.10.10.1)1， 解解 解得 d0.1，a0.3，b0.4，c0.5. 居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25. 居民月用水量在 22.5 内的频数为 0.25100002500. (2)由题图及(1)可知， 居民月用水量小于 2 的频率为(0.20.30.4)0.5 0.45，小于 3 的频率为 0.45(0.50.3)0.50.85， 为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米， 应将 w 至少定为 3. 解解 (3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知 P(A2.5)0.7， 由题意，XB(3,0.7)， P(X0)C0 30.3 30.027， P(X1)C1 30.3 20.70.189， P(X2)C2 30.30.7 20.441，
