1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 解答题专项突破解答题专项突破( (三三) ) 数列的综合应数列的综合应 用用 第五章 数列 从近几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有：以客观 题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，试题多以常规题为主；等 差、等比数列的通项与求和问题；非等差、等比数列的通项与求和问题， 此时常用到递推关系或转化成等差、等比的形式进行求解；与函数、不 等式等进行综合考查 备考时要熟练掌握等差、等比两种基本数列的通项与前 n 项和的求解， 同时，针对性地掌握求数列通项公式与
2、前 n 项和的几种常用方法针对具 体问题选取针对性的解决方案进行求解 热点题型 1 等差数列与等比数列的判定和通项问题 典例1 已知数列an满足 a11，a21 2，且3(1) na n22an 2(1)n10，nN*. (1)求 a3，a4，a5，a6的值； (2)求数列an的通项公式 解题思路 (1)经计算 a33，a41 4，a55，a6 1 8. (2)当 n 为奇数时，an2an2，即数列an的奇数项成等差数列， a2n1a1(n1) 22n1； 当 n 为偶数时，an21 2an，即数列an的偶数项成等比数列， a2na2 1 2 n1 1 2 n. 因此，数列an的通项公式为 a
3、n nn为奇数， 1 2 n 2n为偶数. 解题思路解题思路 规范解答 (1)经计算 a33，a41 4，a55，a6 1 8. (2)当 n 为奇数时，an2an2，即数列an的奇数项成等差数列， a2n1a1(n1) 22n1； 当 n 为偶数时，an21 2an，即数列an的偶数项成等比数列， a2na2 1 2 n1 1 2 n. 因此，数列an的通项公式为 an nn为奇数， 1 2 n 2n为偶数. 规范解答规范解答 典例2 设数列an的前 n 项和为 Sn，nN *.已知 a 11，a23 2，a3 5 4，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1. (1)求 a4的值； (
4、2)证明： an11 2an 为等比数列； (3)求数列an的通项公式 解题思路 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1， 由此推出 a4与 a1，a2，a3的关系，求 a4. (2)用anSnSn1(n2)及4Sn25Sn8Sn1Sn1推出数列an的递推 公式求证 an21 2an1 an11 2an 为常数，其中 nN*. (3)由(2)求出 an11 2an构造等差数列，并求通项公式求an的通项 公式 解题思路解题思路 规范解答 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1，即 4(a1a2a3a4) 5(a1a2)8(a1a2a3)a1，整理得 a44a 3a2 4 ，又 a23 2
5、，a3 5 4，所以 a47 8. (2)证明：当 n2 时，有 4Sn25Sn8Sn1Sn1， 即 4Sn24SnSn4Sn14Sn1Sn1， 所以 4(Sn2Sn1)4(Sn1Sn)(SnSn1)， 即 an2an11 4an(n2) 经检验，当 n1 时，上式成立 规范解答规范解答 因为 an21 2an1 an11 2an an11 4an 1 2an1 an11 2an 1 2 an11 2an an11 2an 1 2为常数，且 a2 1 2a11， 所以数列 an11 2an 是以 1 为首项，1 2为公比的等比数列 规范解答规范解答 (3)由(2)知，an11 2an 1 2n
6、 1(nN*)，等式两边同乘 2n，得 2nan12n 1a n2(nN *) 又 20a11，所以数列2n 1a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 2n 1a n2n1，即 an2n1 2n 1(nN*) 则数列an的通项公式为 an2n1 2n 1(nN*) 规范解答规范解答 解题思路 (1)利用 an S1，n1， SnSn1，n2， 求 an. (2)先由 bnanSn，求 bn并整理，再依据 bn的结构形式选择求和方法 解题思路解题思路 热点题型 2 数列求和 典例1 已知数列an的前 n 项和 Sn2 n12，记 b nanSn(nN *) (1)求数列an的通项公
7、式； (2)求数列bn的前 n 项和 Tn. 规范解答 (1)Sn2n 12， 当 n1 时，a1S121 122， 当 n2 时，anSnSn12n 12n2n， 又 a1221，an2n. (2)由(1)知，bnanSn2 4n2n 1， Tnb1b2bn2(41424n)(22232n 1) 2414 n 14 412 n 12 2 3 4 n12n24 3. 规范解答规范解答 解题思路 (1)TnSn转化为数列bnan的前 n 项和分组求和 (2)求 Sn求 an求 bn求bn 2n用错位相减法求和 解题思路解题思路 典例2 (2019 河北邯郸一模)已知数列an，bn的前 n 项和分
8、别为 Sn，Tn，bnan2n1，且 SnTn2n 1n22. (1)求 TnSn； (2)求数列 bn 2n 的前 n 项和 Rn. 规范解答 (1)依题意可得 b1a13，b2a25， bnan2n1， TnSn(b1b2bn)(a1a2an) (b1a1)(b2a2)(bnan) n(2222n)2n 1n2. 规范解答规范解答 (2)2SnSnTn(TnSn)n2n， Snn 2n 2 ，ann1. 又 bnan2n1，bn2nn，bn 2n1 n 2n， Rnn 1 2 2 22 n 2n ， 则1 2Rn 1 2n 1 22 2 23 n 2n 1， 1 2Rn 1 2n 1 2
9、1 22 1 2n n 2n 1， 故 Rnn2 1 2 1 2n 1 11 2 n 2nn2 n2 2n . 规范解答规范解答 热点题型 3 数列与不等式的综合问题 角度 1 数列中不等式的证明 典例1 (2019 山西大学附中模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Snnan2an1. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列 1 a2 n 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn4. 解题思路 (1)先根据 2Snnan2an1 和 anSnSn1(n2)，推出数 列an的递推公式，再求 an. (2)根据 1 a2 n 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再 求和，证
10、明 Tn4. 解题思路解题思路 规范解答 (1)解法一：当 n1 时，2S1a12a11， 所以 a11. 当 n2 时，2Snnan2an1， 2Sn1(n1)an12an11. ，得 2annan(n1)an12an2an1， 所以 nan(n1)an1. 所以 an n1 an1 n . 所以 an n1 an1 n a1 11 1 2，即 an n1 2 . 当 n1 时，a11 也满足此式 故数列an的通项公式为 ann1 2 . 规范解答规范解答 当 n2 时，2Snnan2an1， 2Sn1(n1)an12an11. ，得 2annan(n1)an12an2an1， 所以 nan
11、(n1)an1. 所以 an an1 n1 n . 所以 ana1a2 a1 a3 a2 an an11 3 2 4 3 n1 n n1 2 . 当 n1 时，a11 也满足此式 故数列an的通项公式为 ann1 2 . 规范解答规范解答 (2)证明：由(1)得 ann1 2 ，所以 1 a2 n 4 n12 4 nn14 1 n 1 n1 ， 所以 Tn 4 22 4 32 4 42 4 n12 4 12 4 23 4 34 4 nn1 4 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 4 1 1 n1 f(n)的形式求 f(n)的 最大值，得 的取值范围 解题思路解题思路 角
12、度 2 数列中不等式的恒成立问题 典例2 已知数列an与bn满足 an1an2(bn1bn)(nN *) (1)若 a11，bn3n5，求数列an的通项公式； (2)若 a16，bn2n(nN*)且 an2nn2 对一切 nN*恒成立，求 实数 的取值范围 规范解答 (1)因为 an1an2(bn1bn)，bn3n5， 所以 an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6， 所以an是等差数列，首项为 a11，公差为 6， 即 an6n5. (2)因为 bn2n，所以 an1an2(2n 12n)2n1. 当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n 1 2262n
13、 12. 当 n1 时，a16，符合上式，所以 an2n 12， 由 an2nn2，得 2 nn 2n 11 2 n 2n 1. 又n1 2n 2 n 2n 11n 2n 20，所以，当 n1,2 时， 2nn 2n 1取得最大值3 4，故 的取值范围为 3 4， . 规范解答规范解答 热点题型 4 数列与函数的综合问题 典例 (2019 曲靖模拟)已知函数 f(x)2019sin x 4 (xR)的所有 正零点构成递增数列an (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2n an3 4 ，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解题思路 (1)解方程 f(x)0， 求出函数 f(x)的全部零点，
14、 并判断由所有 正零点构造的递增数列an是否为等差(或等比)数列，最后求出通项公式 (2)依据第(1)问的结论，化简 bn，选择适当的求和方法求 Tn. 解题思路解题思路 规范解答 (1)由 f(x)2019sin x 4 0，得 x 4k(kZ)， 所以函数 f(x)的全部零点为 xk1 4(kZ) 因为函数 f(x)的全部正零点构成等差数列an， 所以其首项为1 4，公差为 1， 则数列an的通项公式为 ann3 4(nN *) 规范解答规范解答 (2)由(1)知 bn2n an3 4 n 2n， 则 Tn1 212 223 23(n1) 2n 1n 2n， 所以 2Tn1 222 233 24(n1) 2nn 2n 1. ，得Tn2122232nn 2n 1212 n 12 n 2n 1(1 n) 2n 12， 所以 Tn(n1) 2n 12. 规范解答规范解答 本课结束本课结束
