1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第3 3讲讲 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 第四章 平面向量 考纲解读 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的 数量积与向量投影的关系(重点) 2掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量 积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (重点、 难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内 容 预测 2021 年高考将考查向量数量积的运算、 模的最值、 夹角的范围 题
2、型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几 何交汇出现于解答题中. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.两个向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向 量 a 和 b， 作OA a，OB b，则01 _就是 a 与 b 的夹角 设 是 a 与 b 的夹 角，则 的取值范 围是02 _ 0 或 03 _， 04 _ ab 0， ab 2 AOB 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量01 _叫做 a 与 b 的数量积，记作 a b 投影 02 _叫做向量 a 在 b 方向上的投影， 03 _叫做向量 b 在 a 方
3、向上的投影 几何 意义 数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影04 _ 的乘积 |a|b| cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角，则 (1)e aa e|a|cos. (2)ab01 _. (3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|； 当 a 与 b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a02 _或|a|03 _. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|04 _. a b0 |a|2 a a |a|b| 4平面向量数量积满足的运算律 (1)a b
4、01 _； (2)(a) b02 _03 _ ( 为实数)； (3)(ab) c04 _. b a (a b) a (b) a cb c 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a(x1， y1)， b(x2， y2)， 则 a b01 _， 由此得到： (1)若 a(x，y)，则|a|202 _或|a|03 _； (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB |04 _； x2y2 x2x12y2y12 x1x2y1y2 x2y2 (3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab05 _； (4)设两个非零向量 a，b，a(
5、x1，y1)，b(x2，y2)， 是 a 与 b 的夹角， 则 cos x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 . x1x2y1y20 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 答案答案 1概念辨析 (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是 向量( ) (2)若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a b0)，则 C(m2，n)，因此 BC 边的 中点 E m6 2 ，n 2 .则AC (m2，n)，AE m6 2 ，n 2 . 又由 BCDA2， 得 m242n22， m2n22， 所以 m1， n23.则AC AE (m2) m6 2
6、 n 2 2 37 2 3 212.故选 D. 解析解析 计算向量数量积的三种方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解， 即 a b|a|b|cos( 是 a 与 b 的夹角) (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律， 最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明 2 的解法一 (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算 形式进行求解如举例说明 2 解法二 1已知 RtABC，点 D 为斜边 BC 的中点，|AB |6 3，|AC |6，AE 1 2ED ，则AE EB 等于( ) A14 B9 C9 D14 解析 如图
7、，以点 A 为原点，分别以边 AC，AB 所在直 线为 x轴、 y轴， 建立平面直角坐标系， 则 A(0,0)， B(0,6 3)， C(6,0)，D(3,3 3)AE 1 2ED ，AE 1 3AD 1 3(3,3 3) (1， 3)，E(1， 3)，EB (1,5 3)，AE EB 11514.故选 D. 答案答案 解析解析 2(2019 上饶模拟)设 D，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分 点，且 BC2，则AD AE 等于( ) A.4 9 B.8 9 C.26 9 D.26 3 解析 如图，|AB |AC |2， AB ，AC 60 ， D，E 是边 BC 的两个三等
8、分点， AD AE AB 1 3BC AC 1 3CB 2 3AB 1 3AC 1 3AB 2 3AC 2 9|AB |25 9AB AC 2 9|AC |22 94 5 922 1 2 2 94 26 9 . 答案答案 解析解析 角度 1 平面向量的模 1已知平面向量 a，b 的夹角为 6，且|a| 3，|b|2，在ABC 中，AB 2a2b，AC 2a6b，D 为 BC 的中点，则|AD |等于( ) A2 B4 C6 D8 题型二题型二 平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 解析 因为AD 1 2(AB AC )1 2(2a2b2a6b)2a2b，所以|AD |2 4(ab)24(a
9、22b ab2)4 322 3cos 64 4，则|AD |2. 故选 A. 答案答案 解析解析 2 已知|a|2， |b|3， a与b的夹角为2 3 ， 且abc0， 则|c|_. 解析 因为 abc0，所以 cab，所以 c2a2b22a b22 32223cos2 3 4967.所以|c| 7. 7 解析解析 角度 2 平面向量的夹角 3已知 a，b 为单位向量，且 a b0，若 c2a 5b，则 cosa，c _. 解析 解法一： 本题考查利用向量的数量积求夹角的余弦值， 依题知|a| |b|1，且 a b0.c2a 5b，a ca (2a 5b)2a2 5a b2， |c| 2a 5
10、b2 4a24 5a b5b23，cosa，c a c |a|c| 2 3. 解法二：依题意，设 a(0,1)，b(1,0)，c( 5，2)，a c2. 又|a|1，|c|3，cosa，c a c |a|c| 2 3. 2 3 解析解析 4已知向量 a(，6)，b(1,2)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_ 解析 向量 a 与 b 的夹角为钝角，a b(，6) (1,2) 1212.当 a 与 b 共线时，设 akb(k0)，可得 k， 62k， 解 得 3， k3， 即当 3 时，向量 a 与 b 共线且反向，此时 a b0，但 a 与 b 的夹角不是钝角综上， 的取值范围是
11、(12,3)(3，) (12,3)(3，) 解析解析 角度 3 平面向量的垂直 5 (2019 华南师大附中一模)已知向量|OA |3， |OB |2， BC (mn)OA (2nm1)OB ，若OA 与OB 的夹角为 60 ，且OC AB ，则实数m n 的值为 ( ) A.8 7 B.4 3 C.6 5 D.1 6 答案答案 解析 由题意得，OC OB BC (mn)OA (2nm)OB ，AB OB OA ，OA OB 32cos60 3. 又因为OC AB ， 所以OC AB (mn)OA (2nm)OB (OB OA )(mn)OA 2(2m 3n)OA OB (2nm) OB 29
12、(mn)3(2m3n)4(2nm)0， 整理得 7m8n0，故m n 8 7. 解析解析 1求向量模的常用方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a| x2y2. (2)若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2 a2a a，或|a b|2(a b)2a2 2a bb2，先求向量模的平方，再通过向 量数量积的运算求解如举例说明 1. 2求向量夹角的方法 (1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 ，需求出 a b 及|a|，|b| 或得出它们之间的关系 (2)若已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cosa
13、，b x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 . 如举例说明 3 的解法二 3解答向量垂直问题的两个策略 (1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量 的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量 积为 0 即可 (2)根据两个向量垂直的充要条件 a b0，列出相应的关系式如举例 说明 5. 1已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析 本题考查平面向量的数量积运算设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 由(ab)b， 得(ab) ba bb2
14、|a|b|cos|b|22|b|2cos|b|20， 所以 cos1 2，所以 3，故选 B. 答案答案 解析解析 2(2018 北京高考)设向量 a(1,0)，b(1，m)，若 a(mab)，则 m_. 解析 由已知，得 mab(m1，m)，又 a(mab)，所以 a (ma b)1(m1)0(m)0，解得 m1. 1 解析解析 3如图，已知两点 A，B 在单位圆上，yOB60 ，xOA30 ，则 |2OA 3OB |_. 解析 解法一：由题意可得 AOB120 ，|OA |OB |1，所以|2OA 3OB | 2OA 3OB 2 4OA 212OA OB 9OB 2 4|OA |212|O
15、A |OB |cos120 9|OB |2 7. 7 解析解析 解法二： 易知 A 3 2 ，1 2 ， B 3 2 ，1 2 ， 所以OA 3 2 ，1 2 ， OB 3 2 ，1 2 ， 所以 2OA 3OB 3 2 ，5 2 ，所以|2OA 3OB | 3 2 2 5 2 2 7. 解析解析 角度 1 向量在平面几何中的应用 1 已知AB ， AC 是非零向量， 且满足(AB 2AC )AB ， (AC 2AB )AC ， 则ABC 的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 题型三题型三 向量数量积的综合应用向量数量积的综合应用 答案答案 解析 (AB
16、2AC )AB (AB 2AC ) AB 0，即AB AB 2AC AB 0， (AC 2AB )AC (AC 2AB ) AC 0，即AC AC 2AB AC 0，AB AB AC AC 2AB AC ，即|AB |AC |，则 cosA AB AC |AB |AC | 1 2，A60 ， ABC 为等边三角形 解析解析 角度 2 向量在解析几何中的应用 2已知AB BC 0，|AB |1，|BC |2，AD DC 0，则|BD |的最大值为 _ 解析 由AB BC 0 可知，AB BC . 故以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面 直角坐标系(图略)，
17、 5 解析解析 则由题意，可得 B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)设 D(x，y)， 则AD (x1，y)，DC (x,2y) 由AD DC 0，可得(x1)(x)y(2y)0， 整理得 x1 2 2(y1)25 4. 所以点 D 在以 E 1 2，1 为圆心，半径 r 5 2 的圆上 因为|BD |表示 B，D 两点间的距离， 而|EB | 1 2 212 5 2 . 所以|BD |的最大值为|EB |r 5 2 5 2 5. 解析解析 解 (1)因为 ab，所以 2sincos2sin，于是 4sincos； 当 cos0 时，sin0，与 sin2cos21 矛盾， 所以 cos0
18、，故 tan1 4， 所以 sin cos 13cos2 sin cos sin24cos2 tan tan24 4 65. 解解 角度 3 向量与三角函数的综合应用 3已知向量 a(sin，cos2sin)，b(1,2) (1)若 ab，求 sin cos 13cos2的值； (2)若|a|b|,0，求 的值 (2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25， 即 14sincos4sin25， 从而2sin22(1cos2)4， 即 sin2cos21， 于是 sin 2 4 2 2 ， 又由 0 知， 42 40，所以 2 3，选 A. 解析解析 4(2020 青岛摸底)已知向量 a
19、，b 的夹角为 60 ，|a|1，|b|2，若(a b)(2ab)，则 _；若(ab)(2ab)，则 _. 解析 因为(ab)(2ab)，所以存在唯一实数 n，使得 abn(2a b)，所以 12n，n，解得 1 2.因为(ab)(2ab)，且向量 a，b 的 夹角为 60 ，|a|1，|b|2，所以(ab) (2ab)2a2(12)a bb22 1240，解得 1 2. 1 2 解析解析 1 2 5在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60 ，P，Q 分别是 BC，BD 的中点，如图，则向量AP 与AQ 夹角的余弦值为_ 3 21 14 解析 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立
20、直角坐标系(图略)，则 A(0,0)，B(2,0)，C(3， 3)，D(1， 3)， 所以 P 5 2， 3 2 ，Q 3 2， 3 2 ，所以AP 5 2， 3 2 ，AQ 3 2， 3 2 ，所以 cos AP ，AQ AP AQ |AP |AQ | 15 4 3 4 7 3 3 21 14 . 解析解析 6如图所示，半圆的直径 AB6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PA PB ) PC 的最小值为 _ 9 2 解析 因为PA PB 2PO ，所以(PA PB ) PC 2PO PC 2|PO |PC |. 又 因 为 | PO | | PC | 32|PO |PC | ， 所 以 | PO | PC | 9 4 当且仅当|PO |PC |3 2时等号成立 .所以(PA PB ) PC 2PO PC 2|PO |PC |9 2 当且仅当|PO |PC |3 2时等号成立 . 解析解析 本课结束本课结束
