1、 N M O A B P 2图 4 3 2 1 A C P B D A B C 图 1 A B D C A B D C P P O N M B A 第二章第二章 角平分线四大模角平分线四大模型型 模型模型 1 1 角角平分线上的点向两边作垂线平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型分析模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为 边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例模型实例 （1）如图，在ABC 中，C=90，AD
2、平分CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是 ； （2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP 平分BAC。 热搜热搜精练精练 1如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。 2如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。 模型模型 2 2 截取构造对称全等截取构造对称全等 如图，P 是MON 的平分线上一点，点 A 是射线OM 上任意一点，在 ON 图 2 D P A BCD C 1 图 P B A A BC D A B C D E D CB
3、A P O N M B A 上截取 OB=OA，连接 PB。 结论：OPBOPA。 模型分析模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对 应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题 技巧。 模型实例模型实例 （1）如图所示，在ABC 中，AD 是ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图所示， AD 是ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练热搜精练 1已知，在ABC 中，A=2B，
4、CD 是ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段 BC 的长。 2已知，在ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分ABC。 求证：BC=AB+CD。 3如图所示，在ABC 中，A=100，A=40，BD 是ABC 的平分线，延 长 BD 至 E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。 模型模型 3 3 角平分线角平分线+ +垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形 如图，P 是MO 的平分线上一点，APOP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：AOB 是等腰三角形。 ED CB A 2 1 E D C B A E D C B A Q P O N M 模型分析模型分析 构造此模型可
5、以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直 角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联 系了起来。 模型实例模型实例 如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足为 E。求证：BD=2CE。 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，BE 是角平分线，ADBE，垂足为D。 求证：2=1+C。 2如图，在ABC 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于点 E。 求证：BE= 1 2 （AC-AB）。 模型模型 4 4 角平分线角平分线+ +平行线平行线 如图，P 是MO 的平分线上一点，过
6、点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。 模型分析模型分析 F A E B C D 2 图 A E B D F C 1 图 F G E 图 3 D C N M B A A E B C N M F D A E B C DA E B C 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形， 为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例模型实例 解答下列问题： （1）如图所示，在ABC 中，EFBC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分 ABC、ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图
7、所示，BD 平分ABC、CD 平分ACG，DEBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图所示，BD、CD 分别为外角CBM、BCN 的平分线，DEBC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关 系？ 热搜精练热搜精练 1 如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交 于点 E，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长 为 。 2如图，在ABC 中，AD 平分BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，EFAB， 且 DE=CD。求证：EF=AC。 3 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分BAD，BE 平分ABC。 求证：AD=AB-BC。
