1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年河南名校联盟基础联考高一下学期期末考试学年河南名校联盟基础联考高一下学期期末考试 数学数学 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 224 x Ax， 2 log,By yx xA，则下列关系中正确的是，则下列关系中正确的是 （ ） AAB BAB CAB DAB 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分别求出集合,A B，进而可选出答案. 【详解】 由题意， 12 222 x Ax12xx， 又 2 log,12By yxx， 所以 222 0logloglog212x ，即02Byy. 则12xx02yy，即AB，且ABA. 故选：A. 【
2、点睛】 本题考查集合的包含关系，考查对数函数的值域、指数函数单调性的应用，考查学生的 计算求解能力，属于基础题. 2已知函数已知函数 1 xx f xaaa ，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ） A函数函数 f x在在R上既是奇函数，也是增函数上既是奇函数，也是增函数 B函数函数 f x在在R上既是奇函数，也是减函数上既是奇函数，也是减函数 C函数函数 f x在在R上既是偶函数，也是增函数上既是偶函数，也是增函数 D函数函数 f x在在R上既是偶函数，也是减函数上既是偶函数，也是减函数 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性可得选项 【详解】
3、因为 xx f xaa，所以 xx fxaaf x ，所以函数 f x是奇函 第 2 页 共 19 页 数， 因为 1 1 xxx x f xaaaa a ，且1 x yaa与 1 1 x ya a 均为增函 数， 所以 f x在R上是增函数， 故选：A. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的判断，指数函数的单调性的应用，属于基础题 3某大学安排毕业生某大学安排毕业生实习分配，参加分配的大学生中女大学生实习分配，参加分配的大学生中女大学生 720 人，男大学生 人，男大学生 120 人，某高中需要实习生人，某高中需要实习生 14 人，现按照分层抽样，则该大学需要向此高中派出男大学生人，现按照分层抽
4、样，则该大学需要向此高中派出男大学生 （ ） A1 人人 B2 人人 C3 人人 D4 人人 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据分层抽样的方法计算即可得答案. 【详解】 解：根据题意，该大学需要向此高中派出男大学生为： 120 142 720 120 . 故选：B. 【点睛】 本题考查分层抽样计算样本数，是基础题. 4执行如图所示的程序框图，若输出的执行如图所示的程序框图，若输出的i为 为 7，则输入，则输入n的值可能为（的值可能为（ ） 第 3 页 共 19 页 A139 B117 C55 D25 【答案】【答案】B 【解析】【解析】依次执行程序框图，由已知条件判断可得出选项 【详解】
5、 执行程序框图可得，0S ，1i ； 1S ，2i ； 4S ，3i ； 11S ，4i ； 26S ，5i ； 57S ，6i ； 120S ，7i ，此时需满足Sn，输出7i ， 故选：B. 【点睛】 本题考查补全程序框图，属于基础题 5在直角坐标系在直角坐标系xOy中，角中，角的终边经过点的终边经过点 ,0,0P m nmn，且，且 5 sin 5 ， 则则 n m （ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用三角函数的定义可得出关于m、n的齐次等式，进而可求得 n m 的值. 【详解】 根据任意角的三角函数定义，得 22 5 sin 5 n
6、 mn ，化简得 22 4mn， 0m，0n，2mn，因此， 1 2 n m . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用三角函数的定义求参数，考查计算能力，属于基础题. 6已知一根已知一根 3 米长的绳子，现将其任意剪成两段，则两段长度差的绝对值小于米长的绳子，现将其任意剪成两段，则两段长度差的绝对值小于 1 米的 米的 概率为（概率为（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 2 D 2 3 【答案】【答案】A 第 4 页 共 19 页 【解析】【解析】根据题意，满足条件的剪断的位置距左右端点大于 1 米，由线段比可求概率. 【详解】 根据题意，满足条件的剪断的位置距左右端点大于 1 米，所以所求概
7、率为 1 3 故选：A. 【点睛】 本题考查了几何概型，考查了数形结合思想和计算能力，属于一般题目. 7已知某几何已知某几何体的正视图、侧视图及俯视图都是如图所示的几何图形，该图形由边长体的正视图、侧视图及俯视图都是如图所示的几何图形，该图形由边长 为为 2 的正方形及其两条对角线构成，则该几何体的体积为（的正方形及其两条对角线构成，则该几何体的体积为（ ） A 4 2 3 B 8 2 3 C 4 3 D 32 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据三视图可知，该几何体为正八面体，由两个正四棱锥组成，求出四棱锥的 体积，进而可求出八面体的体积. 【详解】 由题意，图中正方形的对角线长为2
8、 2， 根据三视图可知，该几何体为如图所示的八面体，可看作两个正四棱锥，每个四棱锥的 底面都是边长为 2的正方形，高都为 2点，所以该八面体的体积为 第 5 页 共 19 页 2 18 2 222 33 V . 故选：B. 【点睛】 本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档 题. 8函数函数 sinsin 2 2 f xxx 的最大值为（的最大值为（ ） A2 B1 C 1 8 D 9 8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】 因为 sinsin 2sincos2 2 f xxxxx
9、 ， 2 2 19 sin1 2sin2 sin 48 xxx 所以 f x的最大值为 9 8 ， 故选:D. 【点睛】 本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础 题. 9高三年级高三年级 7 位体育老师的身高位体育老师的身高( (单位： 单位：cm) )数据如茎叶图所示，其中一位老师的身数据如茎叶图所示，其中一位老师的身 高记录看不清了，但他们的平均身高为高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm，若从中任选，若从中任选 2 位老师参加年级的教职位老师参加年级的教职 工篮球赛，则身高均高于工篮球赛，则身高均高于177cm的概率为（的概率为（ ） A 2
10、7 B 3 7 C 10 21 D 11 21 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由平均数求出8x ，进而可得 7 人中身高高于177cm的有 5 人，用古典概型 第 6 页 共 19 页 求出概率即可. 【详解】 根据题意，得 180 181 170 173 170178 179 177 7 x ，解得8x ， 这7人中取2人的情况共 2 7 21C 种， 身高高于177cm的5人中取2人的情况共 2 5 10C 种， 所以身高的高于177cm的概率为 10 21 故选：C. 【点睛】 本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 10在直角梯形在直角梯形A
11、BCD中，中，0 AD AB ，30B ，2 3AB ，2BC ， 1 3 BEBC，则（，则（ ） A 11 63 AEABAD B 12 63 AEABAD C 51 63 AEABAD D 51 66 AEABAD 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先根据题意得1AD ，3CD ，进而得 2ABDC ，再结合已知和向量 的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】 由题意可求得1AD ，3CD ， 所以 2ABDC ， 又 1 3 BEBC， 则 11 33 AEABBEABBCABBAADDC 111 1 333 ABADDC 111 1 336 ABADAB 1151 1 6363 A
12、BADABAD . 故选：C. 【点睛】 本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题. 第 7 页 共 19 页 11已知函数已知函数 2 20,1 x g xttt 的图象过定点的图象过定点, a b，则函数，则函数 2 log27 b f xaxax在区间在区间1,2上的值域为（上的值域为（ ） A0,1 B 1,2 C 0,2 D1,3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求出函数过定点(2，3)，进而求出 2 3 log247f xxx，换元求函数 的值域即可. 【详解】 函数 2 20,1 x g xttt 的图象过定点(2，3)，由题意知 2a，3b，所以 函数 2 3 log
13、247f xxx，令 2 247mxx， 1,2x ，则1,9m， 所以 f x在区间1,2上的值域为0,2 故选：C. 【点睛】 本题考查了函数过定点和函数的值域问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般 题目. 12 设设 2 121f xaxa x， 若函数， 若函数 f x在区间在区间3,6上的图象恒位于上的图象恒位于x轴轴 的上方，则实数的上方，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 4 , 5 B 23 ,1 30 C1, D 23 , 30 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意得不等式恒成立，利用变量分离法转化为求对应函数最值，再根据函 数单调性求最值，即得结果.
14、 【详解】 由题意， 2 1210axa x 对任意3,6x恒成立， 即 22 21xx axx对任意 3,6x恒成立， 因为3,6x，所以 2 0 xx，问题等价于 2 2 21xx a xx 对任意3,6x恒成立， 即 2 1 1 x a xx 对任意3,6x恒成立， 第 8 页 共 19 页 令1tx，则1xt 且4,7t，则 22 11 32 11 tt aa tt tt ， 所以 1 1 2 3 a t t 对任意4,7t恒成立， 因为函数 2 g tt t 在 2, 上是单调递增函数， 所以当7t 时， 2 1 32 t tt 取得最大值 23 30 ， 因此实数a的取值范围是 2
15、3 , 30 ， 故选：D 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题、利用函数单调性求函数最值，考查综合分析求解能力，属 中档题. 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量2,1a r ，, 1bm，且，且/ 2bab，则，则b为为_. 【答案】【答案】5 【解析】【解析】由(2,1)a ，( , 1)bm，求得2(4,3)abm，利用向量平行的坐标运 算，即可求出m，再结合向量的数量积运算，即可求出结果. 【详解】 根据题意,得24,3 abm ，/ 2bab，43mm，即2m，则 22 215b . 故答案为：5 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算， 以及向量平行的坐标运算和向量的数量积，
16、属于基础题. 14已知直线已知直线 220 xy 与圆与圆 22 )4xay（相交，且直线被圆所截得的弦长为相交，且直线被圆所截得的弦长为 2 3，则实数 ，则实数a_. 【答案】【答案】25 【解析】【解析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式 第 9 页 共 19 页 可求得答案 【详解】 因为圆 22 )4xay（的圆心为0a，半径为2，所以圆心,0a到直线 220 xy 的距离为 2 2 2 3 21 2 ， 则 2 1 5 a ，解得 25a . 故答案为：25 【点睛】 本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题 15已
17、知已知 2 log,0 1,0 x x f x xx ，则，则 2ffx 的解集为的解集为_. 【答案】【答案】 1 4 3 2, 4 【解析】【解析】令 2f t ，根据分段函数的表达式，可求出 1 4 t ，进而令 1 4 f x ，可 求出x的值，即可求出答案. 【详解】 令 2f t ， 当0t 时，可得 2 log2t，解得 1 4 t ，符合题意； 当0t 时，可得12t ，解得1t ，不符合题意，舍去. 所以 1 4 t ，则 1 4 f x ， 当0 x时，可得 2 1 log 4 x，解得 1 4 2x ，符合题意； 当0 x时，可得 1 1 4 x ，解得 3 4 x ，符
18、合题意. 所以 2ffx 的解集为 1 4 3 2, 4 . 第 10 页 共 19 页 故答案为： 1 4 3 2, 4 . 【点睛】 本题考查分段函数的性质，考查求方程的解集， 考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16在三棱柱在三棱柱 111 ABCABC中，中，BA，BC， 1 BB两两垂直，且两两垂直，且 1 4BABCBB， 点点E在侧面在侧面 11 BBCC内内( (含边界含边界) )，若，若 1 2BEEB，则，则AE长度的最大值为长度的最大值为_. 【答案】【答案】 4 21 3 【解析】【解析】作 1 EHBB于H，设04()BHxx，04EHyy，进而可得 2 3216
19、33 AEx，即可求出最大值. 【详解】 作 1 EHBB于H，设04()BHxx，04EHyy， 因为 1 2BEBE， 所以 2 222 24xyxy ， 整理得 22 3264 33 yxx ， 故 2 2 1664 39 xy ，所以 04 8168 333 x x ，故 8 4 3 x. 而 222222 3216 16 33 AEABBHHExyx，所以当4x时， AE长度最大为 4 21 3 . 故答案为： 4 21 3 【点睛】 本题考查了立体几何两点间的距离问题，考查了计算能力和空间想象能力，属于一般题 第 11 页 共 19 页 目. 三、解答题三、解答题 17已知已知 s
20、in 0,0,0f xAxA的部分图象如图所示的部分图象如图所示. （）求函数）求函数 f x的解析式；的解析式； （）已知）已知 2 23 f ， 3 , 2 2 a ，求，求sin的值的值. 【答案】【答案】 （） 2sin 2 3 f xx ； （） 2 61 6 . 【解析】【解析】 （）由图像即可求得A和T,进而得.得到函数 ( )f x的解析式,将最高点 ,2 12 代入解析式，即可求得的值,即可求得函数 f x的解析式； （）将 2 代入解析式,即可得 1 sin 33 ，利用正弦的和角公式变形即可求 得sin的值. 【详解】 ()由图可知2A， 33 44 T，即T，则 2 2
21、 T ，又函数 f x的图象过点 ,2 12 ， 所以2sin 22 12 ，得 3 ，则函数 2sin 2 3 f xx ； () 2 2sin 233 f ， 1 sin0 33 . 又 3 , 2 2 ， 511 636 ，又 11 32 ， 7 36 ， 第 12 页 共 19 页 2 2 cos 33 ， sinsinsincoscossin 333333 112 23 3232 2 61 6 . 【点睛】 本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用，属于中 档题. 18已知函数已知函数 22R xx f xmm 为奇函数为奇函数. （）求实数）求实数m的值
22、；的值； （）若方程）若方程 1 2xf xa 至少有一个实根，求实数至少有一个实根，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （）1； （）2,. 【解析】【解析】 （）根据奇函数的定义 fxf x 代入运用恒成立的思想可求得m. （）将原问题转化为4210 xx a 至少有一个实根.令20 x t ，则方程 2 10tat 至少有一个正根.由一元二次方程的根的分布可求得a的取值范围. 【详解】 （）因为 22 xx f xm 是奇函数，所以 fxf x，xR，即 2222 xxxx mm ， 所以 2 11 20 x mm对一切xR恒成立， 所以1m. （）方程 1 2xf xa
23、，即方程 1 222 xxx a 至少有一个实根，即方程 4210 xx a 至少有一个实根. 令20 x t ，则方程 2 10tat 至少有一个正根. 令 2 1h ttat，由于 010h ， 所以只需 0 0 2 a ，解得2a. 第 13 页 共 19 页 所以a的取值范围为2,. 【点睛】 本题考查由函数的奇偶性求函数的解析式，根据方程的根的个数求参数的范围，属于中 档题 19在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD， ，/BC AD，90CDA， 22ADBC， 2CD ，2PMMC . （1）求证：）求证：BMAC； （2）若）若PAAD，求直线，求直线BD与平
24、面与平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 3 【解析】【解析】 （1）设ACBDN，连接MN，分别证明ACMN，ACBD，从而 可证明AC 平面MBN，进而可得出ACBM； （2）设点D到平面PBC的距离为d，直线BD与平面PBC所成的角为，可知 D PBCP BCD VV ，计算可得 2 PBC d S ，又sin d BD ，求出BD，即可求出sin. 【详解】 （1）设ACBDN，连接MN， /BC AD，BNCDNA，:2:1AN NCAD BC， 又2PMMC，即:2:1PM MC ， /MN PA，MN 平面ABCD， 又AC
25、平面ABCD，MNAC. 1 2 BCCD CDAD ，tantanBDCCAD， BDCCAD，90CADBDA，ACBD. 第 14 页 共 19 页 又ACMN，且MNBDN，AC 平面MBN， 又BM 平面MBN，ACBM. （2） 由题知2PAAD， 设点D到平面PBC的距离为d， 直线BD与平面PBC所 成的角为. 112 12 222 BCD SBCCD ， D PBCP BCD VV ， 11 33 PBCBCD SdPA S ，即 2 2 2 2 PBCPBC d SS . 如图，作/AE DC交CB的延长线于E，连结PE. ADCE是矩形，易知,PAAE PAAB，则 2
26、222 226PEPAAE ， 222222 22 17PBPAABPAAEEB ，1EB=， 则 222 PEEBPB ，即90PEB， 所以 116 16 222 PBCPEB SSBEPE ， 22 3 36 2 d ， 22 1 23BDBCCD ， 2 3 2 3 sin 33 d BD . 故直线BD与平面PBC所成角的正弦值为 2 3 . 【点睛】 第 15 页 共 19 页 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能 力，属于中档题. 20某高校在某高校在A省自主招生，对初审通过的省自主招生，对初审通过的 1000 人进行复试（ 人进行复试（2
27、0 道客观题，每题道客观题，每题 10 分，满分分，满分 200 分分) )，按分数从高到低录取，按分数从高到低录取 100 人认定复试通过，不低于人认定复试通过，不低于 140 分的分的各分数各分数 对应人数如下表：对应人数如下表： 分数分数x 140 150 160 170 180 人数人数y 29 15 9 5 2 1 120 t x 1 20 1 30 1 40 1 50 1 60 （）已知）已知y关于关于t的回归方程为的回归方程为814.311.6yt，求，求y关于关于x的回归方程的回归方程 ybxa $； ； （）已知）已知y关于关于x的相关系的相关系数为数为0.95，试求出，试求
28、出y关于关于t的相关系数的相关系数r（小数点后保（小数点后保 留两位小数） ，通过比较，判断哪个回归方程拟合效果更好； （注：留两位小数） ，通过比较，判断哪个回归方程拟合效果更好； （注：r越大，拟合性越越大，拟合性越 好好) ) （） 根据 （） 根据 （） 中拟合性更好的回归方程， 预报得分为） 中拟合性更好的回归方程， 预报得分为 130 的考生能否全部通过复试的考生能否全部通过复试? ? 相关公式和数据：相关公式和数据： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，a ybx $ ， 11 2222 1111 nn iiii
29、ii nnnn iiii iiii xxyyx ynxy r xxyyxxyy ， 5 1 8960 ii i x y ， 5 2 1 129000 i i x ， 5 1 2.31 ii i t y ， 5 2 1 0.0049 i i t ， 0.029t ， 2 0.000841t ， 160 x ，12y ， 5 2 1 31.6 i i xx ， 5 2 1 0.027 i i tt ， 5 2 1 21.4 i i yy . 第 16 页 共 19 页 【答案】【答案】 （） 0.64114.4yx ； （）0.99，y关于t的方程拟合效果更好； （） 不能. 【解析】【解析】 （
30、）求出 a 、 b，进而求出 y关于x的回归方程y bxa $； （）根据求相关系数r的方程，代入相关数值即可求解；然后比较，判断出哪个回归 方程拟合效果更好； （）先根据（）中拟合性更好的回归方程求出预报得分为 130 的考生的人数；再根 据总录取人数为 100 人、 140 分以上有 60 人的条件来判断预报得分为 130 的考生能否全 部通过复试. 【详解】 解： （） 5 1 5 2 2 1 5 89609600 0.64 12900 12800 5 ii i i i x yxy b xnx ， 120.64160114.4aybx ， 所以，y关于x的回归方程是：0.64114.4y
31、x. () 5 1 5 22 11 5 2.31 1.74 0.99 0.027 21.4 ii i t ii ii t yxy r ttyy ， 比较相关系数：0.950.99，故y关于t的方程拟合效果更好. （）当130 x 时， 1 10 t ，代入回归方程 814.311.6yt ， 得预报值： 1 814.311.669.83 10 y ， 因为 140分以上有 60人，所以只需在 130 分的人中录取 40人， 故不能全部通过复试. 【点睛】 本题主要考查求解回归方程、求相关系数及根据回归方程求函数值等知识，考查运算求 解能力，属于中等题型. 21动圆动圆M满足：满足：圆心的横坐标
32、大于圆心的横坐标大于 0；与直线 与直线y x 相切；相切；与直线与直线y x 相相 交，且直线被圆截得的弦长为交，且直线被圆截得的弦长为 4. （）求证：动圆圆心）求证：动圆圆心M在曲线在曲线2xy 上；上； 第 17 页 共 19 页 （）求动点）求动点M与点与点2,2A 距离的最小值，并求出此时距离的最小值，并求出此时M点的坐标点的坐标. 【答案】【答案】 （）证明见解析； （）2 2，3 1, 3 1M. 【解析】【解析】 （1） 设动圆圆心,M x y， 半径为r， 由题得 2 yx r ， 2 2 4 2 xy r ， 化简即可得2xy ，故动圆圆心M在曲线2xy 上； （2） 结
33、合 （1） 得 222 22AMxy 2 22 2828 8x yx x ， 进而得AM的最小值为2 2，3 1, 3 1M. 【详解】 （）证明：设动圆圆心,M x y，半径为r， 则由题中得： 2 yx r ， （） 由题中得: 2 2 4 2 xy r ， （） 把（）式代入（）式，整理得：2xy ， 即动圆圆心M在曲线2xy 上. （）解：由（）得 222 22 2248AMxyxyxy 2 222 48228288xyxyxyxyx x ， 所以AM的最小值为2 2， 当且仅当 2 20 x x ，解得 3 1x ， 因为0 x，所以3 1x ，所以31y . 故3 1, 3 1M.
34、 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，弦长，轨迹等问题，考查运算能力，是中档题. 22如图所示，点如图所示，点P在圆在圆 22 1xy的一段圆弧的一段圆弧AB上，设上，设 0 6 AOP . 第 18 页 共 19 页 （）若）若 2 POB ，求，求OAOB的取值范围；的取值范围； （)设设 2 3 AOB， 过点， 过点P的直线的直线l与与x轴垂直交于轴垂直交于M点， 设曲边多边形点， 设曲边多边形BPMO的的 面积为面积为 f； （）求函数）求函数 f的解析表达式；的解析表达式； （）若不等式）若不等式 13 cos2 24 fm 恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围.
35、【答案】【答案】 （）1, 2 ； （） （） 111 sin2 342 f； （） 3 34 m . 【解析】【解析】 （）运用向量的模的计算 和向量的数量积的定义可得 2 22sinOA OB.再运用正弦函数的值域可求得OAOB的取值范围. （） （）由扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示 f. （）将问题转化为 1 sin 2 323 m ，由三角函数的值域和不等式的恒成立思 想可求得取值范围 【详解】 （） 2 22 21 12 1 1 cos22sin 2 OAOBOAOA OBOB . 因为0 6 ，所以22sin的值域为1,2，所以OAOB的取值范围为 1, 2 . （） （） 2 121111 1sincossin2 232342 f . （） 13 cos2 24 fm ，即 1 sin 2 323 m ， 第 19 页 共 19 页 因为0 6 ，所以2,0 33 ，所以 13 sin 2, 323343 ， 所以 3 34 m . 【点睛】 本题考查向量的数量积运算之求向量的模，正弦函数的值域，以及不等式的恒成立思想 的运用，属于较难题
