1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年河北省邢台市高一下学期期中数学试题学年河北省邢台市高一下学期期中数学试题 一、单选题一、单选题 1已知向量已知向量7, 3a ， ,6bm，若，若 /ab，则 ，则m（ ） A14 B14 C8 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】 解：因为7, 3a ，,6bm，且 /ab，所以7 6 3 0m ，解得14m. 故选：A 【点睛】 本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题. 2在等差数列在等差数列 n a中，中， 3 1a ， 9 13a ，则，则 1 a （ （ ） A5 B4
2、C3 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】用 1 a和d表示出 39 ,a a后可解得 1, a d 【详解】 由 31 21aad， 91 813aad，解得 1 3a ，2d . 故选：C 【点睛】 本题考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的通项公式是解题关键 3若若0ab，则下列不等式成立的是（，则下列不等式成立的是（ ） ） A 11 ab B 2 abb C 11 ab D 2 aab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由基本不等式的性质判断 【详解】 0ab时， 11 0 ab ，A 错误； 11 ab ， 11 ab ，C错误； 因为0ab，所以 2 aab，所以 B错
3、误，D 正确， 第 2 页 共 15 页 故选：D 【点睛】 本题考查不等式的性质， 属于基础题， 涉及到不等式的乘除法运算时， 需注意数的正负 4已知已知ABC的内角的内角 A，B，C的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，若，若 sin22bAa ，且，且ab， 则则B （ ） A 6 B 4 C 3 D 4 或或 3 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用正弦定理边化角可求得sinB的值，结合ab、0B，可求得结果. 【详解】 由正弦定理和 sin22bAa ， 得 sinsin22sinBAA ， 因为sin0A，所以 2 sin 2 B ， 又ab，0B，所以 4 B . 故
4、选：B. 【点睛】 本题考查正弦定理边化角的问题，属于基础题. 5在正项等比数列在正项等比数列 n a中，中， 2 3167 264aaaa，则，则 27 aa（ ） A4 B8 C12 D16 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用等比数列的下标和性质可得 2 27 64aa，从而可得结果. 【详解】 由 2 3167 264aaaa， 得 2 13367 264a aa aa， 则 22 2277 264aa aa，即 2 27 64aa. 又0 n a ，故 27 8aa. 故选：B. 第 3 页 共 15 页 【点睛】 本题主要考查等比数列的下标和性质的应用，属于基础题. 6下列式子
5、中最小值为下列式子中最小值为 4 的是（的是（ ） ） A 2 6 3 x x B 2 2 4 sin sin x x C ln1 3ln 2 x x D 4 5 5 x x 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对于 A，当0 x时， 2 6 3 x x 有最大值4；对于 B， 2 2 4 sin sin x x 等号取 不到， 最小值不是4； 对于 C， 当l n0 x时，ln 1 3ln 2 x x 有最大值4； 对于 D， 4 5 5 x x 最小值为 4 【详解】 对于 A，当0 x时， 22 62 64 33 xx xx ，不符合题意； 对于 B， 2 2 4 sin sin x x
6、 成立的条件为 2 sin21x，不符合题意； 对于 C，当ln0 x时， ln12 ln 4 3 x x ，不符合题意； 对于 D， 4 54 5 x x ； 故选：D 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查利用不等式求最值，属于中档题 7轮船甲和轮船乙在上午轮船甲和轮船乙在上午 11 时同时离开海港时同时离开海港 C，两船航行方向的夹角为 ，两船航行方向的夹角为135，两船，两船 的航行速度分别为的航行速度分别为 25 海里海里/ /小时、小时、20 2海里海里/ /小时，则当天下午小时，则当天下午 1 时两船之间的距离时两船之间的距离 为（为（ ） A10 95海里海里 B10 97海
7、里海里 C100 海里海里 D10 101海里海里 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先求出下午 1 时轮船甲、乙到海港 C的距离50CA， 40 2CB ，再求两 船之间的距离即可. 【详解】 设轮船甲、乙在下午 1 时所处的位置分别为 A和 B，由题可知50CA， 40 2CB ， 第 4 页 共 15 页 135ACB，则 2 2222 2 2cos5040 22 50 40 29700 2 ABCACBCA CBACB ，故10 97AB 海里. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解决距离测量问题，是基础题. 8已知已知1a ， 3b r ，且向量，且向量a与与b的夹角为的夹
8、角为60，则，则2ab（ ） A7 B3 C 11 D19 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求 解. 【详解】 因为1a ，3b r ，a与b的夹角为60， 所以 2 22 4424697aabbab ，则2 7ab. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数 量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9已知已知ABC的内角的内角 A，B，C的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，若，若coscosaABc，则，则 ABC的形状一定为（的形状一定为（ ）
9、 A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形 C等腰直角三角形等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为coscosaABc， 所以sincoscossinsinsincoscossinAABCABABAB， 整理得cossinsin0AAB，即cos0A或sinsin0AB，则 2 A 或 第 5 页 共 15 页 AB， 故ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】 本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用，属于基础题. 10 已知等比数列
10、已知等比数列 n a的前的前 n项和与前项和与前 n项积分别为项积分别为 n S， n T， 公比为正数， 且公比为正数， 且 3 16a ， 3 112S ，则使，则使1 n T 成立的成立的 n的最大值为（的最大值为（ ） A8 B9 C12 D13 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先求出 1 64a ， 1 2 q ，再求出 7 2 n n a ，接着求出 n T并建立不等式 13 0 2 n n ，最后求解即可. 【详解】 解：因为 3 16a ， 3 112S ，公比为正数显然不为 1，所以 2 31 3 1 3 (1) 1 0 aa q aq S q q ，解得 1 64a ，
11、 1 2 q ， 所以 7 2 n n a ，则 13 2 1 1 2 n n n nn aTa ， 要使1 n T ，则 13 0 2 n n ，解得013n， 故 n的最大值为 12. 故选：C. 【点睛】 本题考查等比数列的基本量法，是基础题. 11如图，四边形如图，四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，E是是 BC的中点，点 的中点，点 F在线段在线段 CD 上，且上，且 2CFDF，AE与与 BF交于点交于点 P，若，若AP AE ，则，则（ ） 第 6 页 共 15 页 A 3 4 B 5 8 C 3 8 D 2 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设出11APmABm
12、 AFmABmADDF，求得 21 1 3 m APABm AD ，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接 AF，因为 B，P，F三点共线， 所以11APmABm AFmABmADDF， 因为2CFDF，所以 11 33 DFDCAB， 所以 21 1 3 m APABm AD . 因为 E是 BC的中点， 所以 11 22 AEABBCABAD. 因为AP AE ， 所以 211 1 32 m ABm ADABAD ， 则 21 3 1 1 2 m m ， 解得 3 4 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 12已知已知0a，0
13、b，且，且347ab，则，则 94 32abab 的最小值为（的最小值为（ ） A 43 12 B 41 12 C 25 7 D 23 7 第 7 页 共 15 页 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用”1”的代换，以及基本不等式求出最小值 【详解】 因为0a，0b，且347ab， 94194 32() 32732 abab abababab 9 243125 13 7327 abab abab ，当且仅当 9 243 32 abab abab ，即 21 25 a ， 28 25 b 时，等号成立. 故选：C 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题 二、
14、填空题二、填空题 13已知向量已知向量8,ak，3,4b ，若，若ab ，则，则a _. 【答案】【答案】10 【解析【解析】利用向量垂直的性质求出参数，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】 因为8,ak，3,4b ，且ab， 所以8 3 40k ， 得6k ， 则366410a 故答案为：10 【点睛】 本题主要考查向量垂直的性质以及向量模的公式，属于基础题. 14 已知不等已知不等式式 2 0axbxc的解集为的解集为 31xx ， 则不等式， 则不等式 2 0bxcxa的的 解集为解集为_. 【答案】【答案】|1x x或 1 2 x 【解析】【解析】由3,1是一元二次方程 2 0axb
15、xc的解，根据韦达定理得 , ,a b c的关系， 第 8 页 共 15 页 由不等式的解集形式得0a ，用a表示, b c后代入不等式 2 0bxcxa可求解 【详解】 由不等式 2 0axbxc的解集为 31xx ， 知0a ，3 1 b a ，3 1 c a ， 得2ba，3ca， 则不等式 2 0bxcxa等价于 2 2310 xx ，故不等式 2 0bxcxa的解集为 |1x x或 1 2 x . 故答案为：|1x x或 1 2 x . 【点睛】 本题考查解一元二次不等式，解题关键是掌握三个二次：一元二次方程，二次函数，一 元二次不等式之间的关系 15ABC的内角的内角 A，B，C的
16、对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，若，若 3 cos 4 A ， 2 2a ，则，则 bc 的最大值为的最大值为_. 【答案】【答案】16 【解析】【解析】由余弦定理及基本不等式可得结论 【详解】 由 222 31 2 c22 2 os Aabcbcbcbcbc，得16bc，当且仅当4bc时等 号成立，故 bc的最大值为 16. 故答案为：16 【点睛】 本题考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题 16已知等差数列已知等差数列 n a的前的前 n项和项和 n S满足满足 3 18S ， 3 180 n S ，270 n S ，则，则 n_. 【答案】【答案】15 【解析】【解析】根据
17、等差数列的前n项和与等差数列的性质求解， 【详解】 因为 32 318Sa，所以 2 6a ，又 2311 390 nnnnnn aaSSaa ， 所以 1 30 n a .故 121 270 22 nn n n aan aa S ，解得15n . 第 9 页 共 15 页 故答案为：15 【点睛】 本题考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计 算量 三、解答题三、解答题 17ABC的内角的内角 A，B，C的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，已知，已知 222 bcabc . （1）求）求 A； （2）若）若 5 12 B ，2a，求，求 c. 【答案】【
18、答案】 （1） 3 ； （2） 2 6 3 . 【解析】【解析】 （1）由余弦定理可求得A； （2）由正弦定理可求得c 【详解】 （1）由余弦定理及题设知， 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 又因为0A，所以 3 A . （2）因为 3 A ， 5 12 B ，所以 4 C =. 由正弦定理知， sinsin aC AC ， 则 sin sin 2 2 2 6 2 33 2 C A a c . 【点睛】 本题考查余弦定理和正弦定理，属于基础题，解题时注意余弦定理和正弦定理适用的类 型 18某企业用某企业用 6750 万元购得一块空地，计划在该块地建造一万元购得一块空地，
19、计划在该块地建造一栋至少 栋至少 12 层，且每层面积层，且每层面积 为为 1500 平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为 * 12,Nx xx 层，则每平方米的层，则每平方米的 平均建筑费用为平均建筑费用为950 50 x（单位：元）（单位：元）. （1）若楼房建）若楼房建 12 层，则楼房每平方米的平均综合费用为多少元？层，则楼房每平方米的平均综合费用为多少元？ （2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？（注：平均综合）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？（注：平均综合 第 10 页 共 15 页 费用费用平均建筑
20、费用平均建筑费用平均购地费用平均购地费用.平均购地费用平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 ） 【答案】【答案】 （1）5300元； （2）30层. 【解析】【解析】 （1）求出建筑总面积，总的费用，即可得答案； （2）记楼房每平方米的平均综合费用为 y 元，可得 4 6750 10 95050 1500 yx x ，再利 用基本不等式进行求最值及取最值的条件； 【详解】 （1）由题设，知建筑总面积为12 150018000平方米， 总的费用为 4 6750 10950 50 1218000元， 故楼房每平方米的平均综合费用为 4 6750 1095050 1218000 5300 18000
21、 元. （2）记楼房每平方米的平均综合费用为 y 元， 由题设得 4 6750 10 95050 1500 yx x 45000 509503950 x x ， 当且仅当 45000 50 x x ，即30 x 时取等号. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建 30 层. 【点睛】 本题考查函数模型及不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立条件. 19如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分 BAC，且，且3CDBD . （1）求）求 sin sin B C 的值；的值； （2）若）若2AB ， 3 B ，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）3； （2
22、） 3 113 2 . 【解析】【解析】 （1）在ABD和ACD中用正弦定理得， sinsin BDAD BADB 和 第 11 页 共 15 页 sinsin CDAD CADC 作比即可得解； （2）由正弦定理可得 sin sin 3 AC AB B C ，再求得sin,cosCC，从而可得sinBAC， 最后由面积公式求解即可. 【详解】 （1）在ABD中， sinsin BDAD BADB ， 在ACD中， sinsin CDAD CADC . 因为 AD 平分BAC，且3CDBD， 所以3 sin sin B C CD BD . （2）由正弦定理及（1）可知 sin sin 3 AC
23、 AB B C . 因为2AB ， 3 B ，所以6AC ， 2 1333 sin,cos1sinsin 366 CBCC . 因为sinsinsincoscossinBACBCBCBC 333133 113 262612 ， 所以 13 113 sin 22 ABC SACABBAC . 【点睛】 本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 20已知数列已知数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S，且，且 2 23 n Snn . （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若 2 n n n a b ，求数列，求数列 n b的前的前 n项和项和 n T .
24、 【答案】【答案】 （1） 6,1 41,2 n n a nn ； （2） 1747 22 n n n T . 【解析】【解析】(1) 当2n时，利用 1nnn aSS 求出 n a的通项公式； (2)利用错位相减法求出数列 n b的前 n项和 【详解】 第 12 页 共 15 页 （1）因为 2 23 n Snn，所以 11 6aS. 当2n时， 1nnn aSS 2 2 232113nnnn 41n. 综上， 6,1 41,2 n n a nn . （2）由（1）知 3,1 41, 2 2 n n n b n n ， 当2n时， 234 7111541 3 2222 n n n T ， 则
25、 3451 37111541 222222 n n Tn . 得 2341 3711141 4 2222222 nn nn 1 11 11 13411747 22 4 1 4242 1 2 nn nn nn ， 则 1747 22 n n n T . 又 11 174 1 7 3 22 Tb ， 故 1747 22 n n n T . 【点睛】 本题考查求数列的通项公式，考查数列求和，属于中档题 21如图，扇形如图，扇形 OAB 的圆心角为的圆心角为90，2OA ，点，点 M为线段为线段 OA的中点，点的中点，点 N为弧为弧 AB上任意一点上任意一点. （1）若）若30BON，试用向量，试用向
26、量OA，OB表示向量表示向量ON； （2）求）求MB ON 的取值范围的取值范围. 第 13 页 共 15 页 【答案】【答案】 （1） 13 22 ONOAOB； （2） 2,4. 【解析】【解析】 （1）以 O 为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，求得0,2OA，2,0OB ， 3,1ON ， 根据ONxOAyOB，列出方程组，求得 , x y的值，即可求解； （2）设090BON，则2cos ,2sinN，根据向量的数量积的运算 公式，求得2 5cosMB ON， 结合三角函数性质，即可求解. 【详解】 （1）如图，以 O为坐标原点，建立直角坐标系 xOy， 则0,0O，0,2A，2,0
27、B，3,1N， 所以0,2OA，2,0OB ，3,1ON . 设ONxOAyOB，则 21 23 x y ，解得 1 2 3 2 x y ， 所以 13 22 ONOAOB . （2）设090BON，则2cos ,2sinN，0,1M， 则2, 1MB ，2cos ,2sinON， 所以4cos2sin2 5cosMB ON， 其中 2 5 cos 5 ， 5 sin 5 （为锐角）. 因为090，所以90， 则 max 2 5 coscos 5 ， min 5 coscos 90sin 5 ， 所以MB ON 的取值范围为2,4. 第 14 页 共 15 页 【点睛】 本题主要考查了平面向量
28、的基本定理，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记 平面向量的基本定理和向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键， 着重考查推理与运 算能力. 22已知等差数列已知等差数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S，且，且 36 7,48aS. . （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若 1 25 2 n n nn n b a a ，求数列，求数列 n b的前的前 n项和项和 n T. . 【答案】【答案】 （1）21 n an； （2） 11 32 (23) n n T n . 【解析】【解析】 （1）根据所给等式列出方程组求解 1 a、d，写出数列的通项公式； （2）利用 裂项相消法求和. 【详解】 （1）由题意知， 3161 27,61548aadSad， 解得 1 3a ，2d ， 所以 * 3(1) 221 n annnN，. （2）因为 1 2525 22 (21)(23) n nn nn nn b a ann 1 11 2 2 (21)2(23) nn nn ， 所以 12nn Tbbb 12231 111111 2 3 25 25 2722 (21)2(23) nn nn 1 11 2 62(23) n n 第 15 页 共 15 页 11 32 (23) n n . 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中档题.
