1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高一下学期期学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高一下学期期 末数学试题末数学试题 一、单选题一、单选题 1tan2025 （ ） A-1 B1 C 3 3 D 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值可求tan2025的值. 【详解】 tan2025tan6 360135tan135tan451 , 故选：A 【点睛】 本题考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数值， 注意诱导公式的作用是把任意角的 三角函数值转化为锐角的三角函数值， 记忆的方法是“奇变偶不变”， 本题属于基础题 2复数复
2、数 2i 1+i 的共轭复数为的共轭复数为 A1+i B1 i C1+i D1i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：，故共轭复数为 【考点】复数运算 3在在ABC中，中，“AB”是是“coscosAB ”成立的（成立的（ ） A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若AB，因为0AB，而 cosyx 在0,上为减函数，故coscosAB， 若coscosAB，因为0,0AB， 第 2 页 共
3、17 页 根据 cosyx 在0,上为减函数得到0AB，故AB. 故 “A B”是“coscosAB”成立的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断， 此类问题可根据两者之间的推出关系结合充分条件必要 条件的定义来判断， 也可以根据两个条件对应的集合的包含关系来判断两者之间的条件 关系，本题属于基础题. 4已知等边已知等边ABC的边长为的边长为 1，则，则BC CA CA AB AB BC （ （ ） A3 B3 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系 【详解】 解：因为三角形ABC是等边
4、三角形，边长为 1，各内角为60， 所以 3 3 1 1 cos120 2 BC CA CA ABAB BC . 故选：D 【点睛】 本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或 者互补 5抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为 号和号和号） ，事件号） ，事件“号骰子的点数大于号骰子的点数大于号骰号骰 子的点数子的点数”发生的概率为（发生的概率为（ ） A 5 12 B 1 2 C 5 6 D 5 9 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数后利用古典概型的概 率公式可求概率. 【详解】 抛
5、掷两枚质地均匀的骰子，得到的两颗骰子的点数共有6 636 种情形， 设号骰子的点数为a，号骰子的点数的点数为b， 而随机事件“号骰子的点数大于号骰子的点数”含有的基本事件如下： 2,1 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 第 3 页 共 17 页 共15种， 故所求的概率为 155 3612 . 故选：A. 【点睛】 本题考查古典概型的概率计算， 此类问题关键是基本事件的总数的计算和随机事件中含 有的基本事件的个数的计算，可用列举法、树形图或排列组合的方法来计数，本题
6、属于 基本题. 6若若G是是ABC的重心，且的重心，且AGABAC uuu ruuu ruuu r （，为实数为实数） ，则） ，则 （ （ ） A 2 3 B1 C 4 3 D 5 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】若AC与BC边的交点为M,再由三角形中线的向量表示即可. 【详解】 若AC与BC边的交点为M，则AC为BC边上的中线， 所以 1 () 2 AMABAC， 又因为 22111 33233 AGAMABACABAC uuu ruuuruuu ruuu ruuu ruuu r ， 1 3 所以 2 3 故选:A 【点睛】 此题为基础题，考查向量的线性运算. 7先画出函数先画出函
7、数siny x xR的图象，再把图象向右平移的图象，再把图象向右平移 3 个单位长度，然后使图个单位长度，然后使图 象上各点的横坐标变为原来的象上各点的横坐标变为原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数解析式为，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数解析式为 （ ） A 1 sin 23 yx Bsin2 3 yx Csin 2 3 yx Dsin 2 3 yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用正弦型函数的平移变换以及伸缩变换求解即可. 【详解】 第 4 页 共 17 页 把函数 sinyx 的图象向右平移 3 个单位长度，得 sin 3 yx 的图象， 再把所得各点的横坐标伸
8、长到原来的 1 2 (纵坐标不变)，得到 sin 2 3 yx 的图象. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了求图象变化后的解析式，属于基础题. 8若若23 a ，34 b ，4cab，则，则abc（ ） A 1 2 B1 C2 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由23 a ，34 b 可得 , a b，并求出 2ab，进而可求出c，即可得解. 【详解】 由23 a 可得 2 log 3a ，由3 4 b 可得 3 log 4b ， 23 log 3 log 42ab=?， 42 c ab，可得 1 2 c ， 1 21 2 abc. 故选：B. 【点睛】 本题考查对数的计算，属于基础
9、题. 二、多选题二、多选题 9已知角已知角的终边过点的终边过点 3 ,0Pm mm，则，则sin的值可以是（的值可以是（ ） A 10 10 B 3 10 10 C 10 10 D 3 10 10 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】根据任意角三角函数，直接代入公式，进行分类讨论，即可得解. 【详解】 根据任意角三角函数公式可得： 第 5 页 共 17 页 2 2 10 sin= 10 3 ymm rm mm ， 当0m时，有 10 10 sin ， 当0m时，有 10 sin 10 ， 故选：AC. 【点睛】 本题考查了通过终边上的点求任意角三角函数，考查了分类讨论思想，属于简单题. 10
10、给出下列四个命题：给出下列四个命题： 若若ab且且 11 ab ，则，则0ab； 若若0cab，则，则 ab cacb ； 若若0abc，则，则 bbc aac ； 若若1ab，则，则 11 4 ab . 其中正确的命题是（其中正确的命题是（ ） A B C D 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】对于，举反例可说明其错误；对于，作差比较即可；对于，举反例 可说明其错误 【详解】 解：对于，当1,2ab 时，满足ab且 11 ab ，但0ab不成立，所以错误； 对于，因为0cab，所以0,0,0cacbab 所以 ()()() 0 ()()()() aba cbb cac ab cacbca
11、 cbca cb ， 所以 ab cacb ， 所以 正确； 对于，因为0abc，所以0ab 所以 ()()() 0 ()() bcba bcb acc ab acaa aca ac ，所以 bbc aac ，所以正确； 对于，当1,2ab 时， 1111 14 22ab ，所以错误， 故选：BC 第 6 页 共 17 页 【点睛】 此题考查判断不等式是否成立问题，考查推理能力，属于基础题 11已知在平面直角坐标系中，点已知在平面直角坐标系中，点 1 0,1P， 2 4,4P.当当P是线段是线段 12 PP的一个三等分点的一个三等分点 时，点时，点P的坐标为（的坐标为（ ） A 4 ,2 3
12、B 4 ,3 3 C2,3 D 8 ,3 3 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】设,P x y，则 12 ,1 ,4,4PPx yPPxy，然后分点 P 靠近点 1 P， 靠近点 2 P两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设,P x y，则 12 ,1 ,4,4PPx yPPxy， 当点 P靠近点 1 P时， 12 1 2 PPPP， 则 1 4 2 1 14 2 xx yy ， 解得 4 3 2 x y ， 所以 4 ,2 3 P ， 当点 P靠近点 2 P时， 12 2PPPP， 则 2 4 12 4 xx yy ， 解得 8 3 3 x y ， 所以 8 ,3 3 P
13、， 故选：AD 【点睛】 第 7 页 共 17 页 本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12已知两条不同的直线已知两条不同的直线a，b与三个不同的平面与三个不同的平面， ，.给出下面四个命题：给出下面四个命题： 甲甲. 若若a，b，/ /，则，则/ab； 乙乙. 若若/ /， a ，b，则，则/ab； 丙丙. 若若/a，b / ，/ /，则，则/ab； 丁丁. 若若，a，b，则，则a b rr . 其中其中错误错误 的是（的是（ ） A甲甲 B乙乙 C丙丙 D丁丁 【答案】【答案】CD 【解析】【解析】直接利用线面垂直和线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性
14、质进行分析 判断 【详解】 解：对于甲，a，b，/ /，由于/ /，所以/ab，所以正确； 对于乙，由于/ /， a ，b，由面面平行的性质定理可得/ab，所 以正确； 对于丙，/a，b / ，/ /，由a和b可能平行，也可能异面，也可能相交，故 错误； 对于丁，a，b，则a和b可能异面，但是不一定垂直，只有a在 内且垂直于交线才有a b rr ，故错误， 故选：CD 【点睛】 此题线面垂直和线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，属于基础题 三、填空题三、填空题 13已知已知0a，0b，且，且24abab ，则，则ab的最小值为 的最小值为_. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】 利用
15、基本不等式可将24abab 转化为ab的不等式， 求解不等式可得ab 的最小值 【详解】 第 8 页 共 17 页 0a，0b， ， 可得224abab，当且仅当ab时取等号 120abab， 2ab 或1ab （舍去） ， 4ab 故ab的最小值为 4. 故答案为：4 【点睛】 本题考查基本不等式， 将24abab 转化为不等式是关键， 考查等价转化思想与方 程思想，属于中档题. 14若若，都是锐角，且都是锐角，且 1 tan 7 ， 10 sin 10 ，则，则 tan2_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，利用二倍角的正切公式，求得 tan2
16、，再利用两角和的正切公式，求得tan2的值 【详解】 110 tan,sin, ,0, 7102 2 3 10 cos1sin 10 ， sin1 tan cos3 ， 2 2tan3 tan2 1 tan4 ， tantan2 tan21 1 tantan2 . 故答案为：1. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，属于 基础题 15已知已知M是长方体是长方体 1111 ABCDABC D的棱的棱 1 BB的中点，底面的中点，底面ABCD为正方形且为正方形且 1 2AAAB，则，则AM与与 11 B D所成角的大小用弧度制可以表示为所成角的大小用弧
17、度制可以表示为_. 【答案】【答案】 3 第 9 页 共 17 页 【解析】【解析】取 1 AA中点 N，连接 11 ,B N D N，可判断 11 D B N即为AM与 11 B D所成角，求 出即可. 【详解】 如图，取 1 AA中点 N，连接 11 ,B N D N，设 1 2=2AAAB， ,M N是中点，可知 1 / /ANB M且 1 ANBM=， 四边形 1 AMB N是平行四边形， 1 / /AMB N, 则 11 D B N即为AM与 11 B D所成角， 可知 1111 2,2,2B NBDDN=， 11 3 D B N p ?，即AM与 11 B D所成角为 3 . 故答
18、案为： 3 . 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题. 16已知集合已知集合 2 |1Ax yx， 2 |0Bx xaxa ，若，若 12 ,x xAB且且 12 xx，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 1 ,0 2 【解析】【解析】先利用函数定义域的求法化简集合A，根 12 ,x xAB且 12 xx，则集合B 中有仅有两个元素，且都在1,1内，由方程根的分别求解. 【详解】 第 10 页 共 17 页 集合 2 |1| 11 Ax yxxx， 因为 12 ,x xAB且 12 xx， 所以集合B中有仅有两个元素，且都在1,1内， 则 2 2 2
19、11 2 40 110 110 a aa aa aa ， 解得 1 0 2 a， 所以实数a的取值范围是 1 ,0) 2 故答案为： 1 ,0) 2 【点睛】 本题主要考查定义域的求法，一元二次方程的根的分别问题，还考查了转化求解问题的 能力，属于基础题. 四、解答题四、解答题 17 如图， 在棱长为如图， 在棱长为 1 的正方体的正方体 1111 ABCDABC D中，中，M，N，E，F分别是棱分别是棱 11 AB， 11 AD， 11 BC， 11 C D的中点的中点. （1）计算棱台）计算棱台 1 EFCBDC的体积；的体积； （2）求证：平面）求证：平面/AMN平面平面DBEF . 【
20、答案】【答案】 （1） 7 24 ； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）根据棱台的体积公式求解. （2）连接 11 B D，则 11 / / /MNB DEF，利用线面平行的判定定理得到/MN平面 BDFE，同理/AM平面BDFE，利用面面平行的判定定理证明. 第 11 页 共 17 页 【详解】 （1）由题可知， 1 1 8 C EF S ， 1 2 BCD S，1h . 根据棱台的体积公式，可得 111117 1 3882224 V . （2）如图所示: 连接 11 B D，则 11 / / /MNB DEF. 又MN 平面BDFE， EF 平面BDFE 所以/MN平面BDFE
21、连接MF，则 1111 / / /,ADADMF ADADMF. 所以四边形ADFM为平行四边形， 所以/AMDF. 又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE， 所以/AM平面BDFE 因为AMMNM， 所以平面/AMN平面DBEF. 【点睛】 本题主要考查几何体的体积求法以及线面平行和面面平行的判定定理， 还考查了空间想 象和逻辑推理的能力，属于中档题. 18疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒.某小区 某小区 为了调查为了调查“宅宅”家居民的运动情况， 从该小区随机抽取了家居民的运动情况， 从该小区
22、随机抽取了 100 位居民， 记录了他们某天的位居民， 记录了他们某天的 锻炼时间，其频率分布直方图如下：锻炼时间，其频率分布直方图如下： 第 12 页 共 17 页 （1）求）求a的值；的值； （2）估计这）估计这 100 位居民锻炼时间的平均值位居民锻炼时间的平均值x； （同一组中的数据用该组区间的中点值代； （同一组中的数据用该组区间的中点值代 表）表） （3）求中位数的）求中位数的估计值估计值. 【答案】【答案】 （1）0.03a ； （2）30.2分钟； （3） 6 30 7 . 【解析】【解析】 （1）利用各矩形的面积和为 1 可求a的值. （2）利用组中值可求x. （3）设中位数
23、的估计值为30 x，过该值且垂直于横轴的直线把诸矩形的面积一分为 二，故可得关于x的方程，从而得到中位数. 【详解】 解： （1）由题意，得(0.0050.0120.0350.0150.003) 101a. 解得0.03a . （2）估计这 100位居民锻炼时间的平均值 5 0.005 10 15 0.012 1025 0.03 10 35 0.035 10 x 45 0.015 10 55 0.003 1030.2（分钟）. （3）设中位数的估计值为30 x. 由(0.0050.0120.03) 100.0350.035(10)(0.0150.003) 10 xx， 得 6 7 x ，所以中
24、位数的估计值为 6 30 7 . 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用、 均值与中位数的计算， 注意均值与中位数的合理计算， 本题属于基础题. 19新冠肺炎波及全球，我国计划首先从新冠肺炎波及全球，我国计划首先从 3 个亚洲国家（伊朗、巴基斯坦、越南）和个亚洲国家（伊朗、巴基斯坦、越南）和 2 个欧洲国家（意大利、塞尔维亚）中选择个欧洲国家（意大利、塞尔维亚）中选择 2 个国家进行对口支援个国家进行对口支援. 第 13 页 共 17 页 （1）若从这）若从这 5 个国家中任选个国家中任选 2 个，求这个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；个国家都是亚洲国家的概率； （2）若从亚洲国家和欧洲
25、国家中各任选）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这个，求这 2 个国家包括伊朗但不包括意大利个国家包括伊朗但不包括意大利 的概率的概率. 【答案】【答案】 （1） 3 10 ； （2） 1 6 . 【解析】【解析】 （1）设 3 个亚洲国家分别为 1 A（伊朗） ， 2 A（巴基斯坦） ， 3 A（越南） ，2个欧 洲国家分别为 1 B（意大利） ， 2 B（塞尔维亚），从 5 个国家中任选 2 个，利用列举法 求出这 2 个国家都是亚洲国家的概率； （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，利用列举法求解即可 【详解】 解： （1）设 3个亚洲国家分别为 1 A（伊朗） ， 2 A（
26、巴基斯坦） ， 3 A（越南） ，2个欧洲国 家分别为 1 B（意大利） ， 2 B（塞尔维亚）. 从 5个国家中任选 2个， 其可能的结果组成的基本事件有 12 ,A A， 13 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 23 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B， 12 ,B B，共 10个， 其中，选到的这 2个国家都是亚洲国家的基本事件有 12 ,A A， 13 ,A A， 23 ,A A， 共 3个.故所求事件的概率 3 10 P . （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，其可能的结果组成的基本事件有 11 ,A B， 12 ,A
27、 B， 21 ,A B， 22 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B，共 6 个， 其中， 选到的这 2个国家包括 1 A（伊朗） 但不包括 1 B（意大利） 的基本事件有 12 ,A B， 共 1个， 故所求事件的概率 1 6 P . 【点睛】 此题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等知识，属于基础题 20一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土 地占地费地占地费 1 y（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：（单位：km）成反比，每月库存货）成
28、反比，每月库存货 物费物费 2 y（单位：万元）与（单位：万元）与x成正比；若在距离车站成正比；若在距离车站2km处建仓库，则处建仓库，则 1 y和和 2 y分别为分别为 10 万元和万元和 1.6 万元万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之 第 14 页 共 17 页 和最小？并求出这个最小值和最小？并求出这个最小值. 【答案】【答案】5km处，最小值为 8万元. 【解析】【解析】设仓库建在距离车站kmx处时，两项费用之和为y万元，根据题设可得 204 0 5 yx x x ，利用基本等式可求何时取何最小值.
29、 【详解】 解：设仓库建在距离车站kmx处时，两项费用之和为y万元. 根据题意可设 1 y x ， 2 yx. 由题可知，当2x时， 1 10y ， 2 1.6y ，则20， 4 5 . 所以 204 0 5 yx x x . 根据均值不等式可得 20 4 28 5 yx x ， 当且仅当 204 5 x x ，即5x 时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km处， 才能使两项费用之和最小， 且最小值为 8 万元. 【点睛】 本题考查基本不等式在实际问题中的应用， 注意根据题设条件合理构建数学模型并能根 据模型特征选择合适的方法求最值，本题属于基础题. 21在四棱锥在四棱锥PAB
30、CD中，底面中，底面ABCD为正方形，为正方形，PA 底面 底面ABCD，PAAB， E为线段为线段PB的中点，连接的中点，连接AE . （1）证明：）证明：AEPC； （2）连接）连接DE，求，求DE与底面与底面ABCD所成角的正切值；所成角的正切值； （3）求二面角）求二面角E CDA的平面角的正切值的平面角的正切值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 5 ； （3） 1 2 . 【解析】【解析】 （1）证明AE平面PBC即可； 第 15 页 共 17 页 （2）作EFAB于点F，则F是AB的中点，连接DF，则EDF为DE与底面 ABCD所成的角，即可求解； （3）作FGC
31、D，垂足为G，则G为CD的中点，连接EG，则CDEG，所以 EGF为所求二面角的平面角，即可求解. 【详解】 （1）证明：因为PA 底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PABC. 因为底面ABCD为正方形，所以BCAB，所以BC平面PAB. 因为AE 平面PAB，所以BCAE. 因为E为PB的中点，PAAB，所以AEPB. 又因为BCPBB，所以AE平面PBC. 因为PC 平面PBC，所以AEPC. （2）作EFAB于点F，则F是AB的中点，/EFPA，且 1 2 EFPA， EF 底面ABCD. 连接DF，则EDF为DE与底面ABCD所成的角. 设PAABa，在Rt EFD中， 1 2 E
32、Fa， 5 2 FDa， 所以 5 tan 5 EF EDF FD . （3）解：作FGCD，垂足为G，则G为CD的中点，连接EG，则CDEG， 所以EGF为所求二面角的平面角. 第 16 页 共 17 页 在Rt EFG中， 1 2 EFa，FGa，所以 1 tan 2 EF EGF FG . 【点睛】 本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题. 22已知函数已知函数 44 sin2sin coscosxxxfxx . （1）求）求 f x的最大值及取得最大值时相应的自变量的最大值及取得最大值时相应的自变量x的取值集合的取值集合. （2）若函数）若函数 g x
33、fx在区间在区间0,内恰有四个不同的零点内恰有四个不同的零点 1 x， 2 x， 3 x， 4 x . 求实数求实数的取值范围；的取值范围； 当当 1234 2 xxxx 时，求实数时，求实数的的值及相应的四个零点值及相应的四个零点. 【答案】【答案】 （1） max2f x， 3 8 xx xkkZ ； （2）13 17 88 ； 2，相应的四个零点分别是 16 ， 5 16 ， 9 16 ，13 16 . 【解析】【解析】 （1）利用二倍角公式、辅助角公式可把函数化为( )2sin 2 4 f xx ，利 用正弦函数的性质可求何时取最大值 2. （2）对于，令2, 4 xkkZ ，则, 2
34、8 k xkZ ，根据区间0,内恰 有四个不同的零点可得关于的不等式组，从而得到的取值范围，对于，可令 1 8 x ，就 2 x的不同取值可得的值，注意检验. 【详解】 解： （1）( )sin2cos22sin 2 4 f xxxx ， 第 17 页 共 17 页 当22 42 xk ，即 3 (Z) 8 xkk 时， max2f x， 此时 3 8 xx xkkZ . （2） 2sin 2 4 g xx . 对于，令2, 4 xkkZ ，则, 28 k xkZ ， 因为0,上有 4 个不同的零点，故 3 28 4 28 ，故13 17 88 . 对于，由可得0,上有 4个不同的零点分别为： 23 , 8282828 即 5913 , 8888 ， 不妨设 1 x为最小的根即 1 8 x ， 若 2 5 8 x ，则 5 882 ，故1，舍； 若 2 9 8 x ，则 9 882 ，故 2，符合； 若 2 13 8 x ，则 13 882 ，故 3，舍； 综上，2，此时 4 个零点分别为： 5913 , 16 16 1616 . 【点睛】 本题考查二倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的图象和性质，对于与后者有关的零点 问题，可利用整体法求出零点，再根据零点的分布求出参数满足的不等式或方程，本题 属于中档题.
