1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年湖北省襄阳市宜城市第二中学高一下学期期学年湖北省襄阳市宜城市第二中学高一下学期期 中数学试题中数学试题 一、单选题一、单选题 1设复数设复数z满足：满足：(1 )2i zi，则，则z的虚部为（的虚部为（ ） A 1 2 i B 1 2 C 3 2 i D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据复数的四则运算，化简复数z，即可求得其虚部. 【详解】 因为(1)2i zi，故可得 2113 11122 iii zi iii . 则z的虚部为： 3 2 . 故选：D. 【点睛】 本题考查复数的运算，以及复数虚部的辨识，属基础题. 2天气预报
2、说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率 一天下雨的概率 均为均为 40% 现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率： 用 现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率： 用 1， 2， 3， 4 表示下雨， 从下列随机数表的第表示下雨， 从下列随机数表的第 1 行第行第 2 列开始读取直到末尾从而获得列开始读取直到末尾从而获得N个数据 据个数据 据 此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） 19 07 96 61 91 92 52 71 9
3、3 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A 6 23 B 6 21 C 1 4 D 非非ABC的结果的结果 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先经随机模拟产生了 20组随机数，再确认三天中恰有两天下雨的随机数 5 组， 最后求概率即可 【详解】 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共 5组随 第 2 页 共 17 页 机数， 所以所求概率为 5 0.25 20 故
4、选：C. 【点睛】 本题考查随机抽样的概率，是基础题. 3下图是我国第下图是我国第 2430 届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和 统计图，以下描述正确的是（统计图，以下描述正确的是（ ） ） 金牌金牌 （块）（块） 银牌银牌 （块）（块） 铜牌铜牌 （块）（块） 奖牌奖牌 总数总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 30 38 27 23 88 A中国代表团的奥运奖牌总数一直保
5、持上升趋势中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势 B折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义 C第第 30 届与第届与第 29 届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降 D统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是 54.5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】 A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29
6、届最多，错误； 第 3 页 共 17 页 B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正 确； C.30 届与第 29 届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升， 错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为 5459 56.5 2 ,不正确； 故选：B 【点睛】 此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目. 4若若 1 a 1 b 0，给出下列不等式：，给出下列不等式： 1 ab 1 ab ；|a|b0；a 1 a b 1 b ； lna2lnb2.其中正确的不等式是（其中正确的不等式是（ ） A B
7、 C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析， 即可判断和选择. 【详解】 由 1 a 1 b 0，可知 ba0. 中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab 0， 1 ab 0.故有 1 ab 1 ab ，即正确； 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又 1 a 1 b 0，则 1 a 1 b 0，所以 a 1 a b 1 b ，故正 确； 中，因为 ba0，根据 yx2在(，0)上为减函数，可得 b2a20， 而 ylnx 在定义域(0，)上为增函数，所以 lnb2lna2，故
8、错误. 由以上分析，知正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查利用不等式的基本性质比较代数式的大小，涉及对数函数的单调性，属综合基 础题. 5已知已知zC，若，若| |1 2zzi ，则，则z ( )( ) 第 4 页 共 17 页 A 3 2 2 i B 3 2 2 i C 3 2 2 i D 3 2 2 i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设( ,)zabi a bR由|1 2zzi ，可得 22 ()12ababii ， 22 1aba ，2b，解得b，a 【详解】 解：设zabi(), a bR. |12 ,zzi 22 ()1 2ababii ， 22 1,aba2b ， 解得2,
9、b 3 2 a .则 3 2 2 zi， 故选：B. 【点睛】 本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6下列命题中为真命题的是（下列命题中为真命题的是（ ） ） A 2 000 ,220 xR xx B 2 000 ,1xR xx C 2 1 ,0 4 xR xx D 2 ,10 xRx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对每个命题进行判断，注意存在命题与全称命题证明方法的不同 【详解】 22 000 22(1)1 1xxx ，A为假命题； 22 000 133 1() 244 xxx ，B为假命题； 22 11 () 42 xxx，当 1 2 x 时，
10、2 1 ()0 2 x，C为假命题； 2 110 x 恒成立，D为真命题 故选：D 【点睛】 本题考查命题的真假判断存在命题要说明它是假命题必须证明，要证明它是真命题， 只要举一例即可，而全称命题要证明它是真命题，必须给出证明，要说明它是假命题， 只要举一反例 第 5 页 共 17 页 7某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件 A=“ “出现的点数为奇数出现的点数为奇数”，B=“出现的点数出现的点数 不大于不大于 3”，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ） A事件事件 A与与 B对立对立 B( )( )( )P ABP AP B C事件事件 A与与 B互斥互
11、斥 D( ) ( )P AP B 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断 【详解】 因为骰子的点数 1 至 6 共 6 个正整数，因此事件A和B可能同时发生（如出现点数 1） ， 也可能同时不发生（如出现点数 6） ，因此它们不互斥也不对立，A，B，C 均错， 但 31 ( ) 62 P A ， 31 ( ) 62 P B ，D 正确. 故选：D 【点睛】 本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属 于基础题 8如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切） ，若内切球的体积为如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切） ，若内
12、切球的体积为 4 3 ，则圆，则圆 柱的侧面积为柱的侧面积为 A B2 C4 D8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 设球的半径为r，则 3 44 33 r，解得1r ， 所以圆柱的底面半径1r ，母线长为22lr， 所以圆柱的侧面积为224Srl ，故选 C 9“1a ”是是“0 x ， 2 1x a x ”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不既不充分也不 必要条件必要条件 第 6 页 共 17 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据基本不等式的性质可得充分性成立，根据特殊值判断不是必要条件，即可 得解.
13、【详解】 0 x ， 2 111 22 x xx xxx ，当且仅当 1 x x ，即1x 时取等号. 若1a 时，则0 x ， 2 1 21 x a x ， 因此“1a ”是“0 x ， 2 1x a x ”的充分条件； 若0 x ， 2 1x a x ，则 2 min 1x a x ，即2a，推不出“1a ”， 因此“1a ”不是“0 x ， 2 1x a x ”的必要条件. 故“1a ”是“0 x ， 2 1x a x ”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题考查了充分性与必要性的判断与应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题. 10若若 6 cos 25 4 ，则，则 sin
14、402（ （ ） A 1 4 B 1 4 C 3 4 D 3 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】令2525，将sin 402转化为cos2，然后利用二 倍角的余弦公式求得sin 402的值. 【详解】 令25，则25，所以 6 coscos 25 4 . 因为 sin 402sin 40225sin 902cos2 ， 所以 2 1 sin 402cos22cos1 4 . 故选：A 第 7 页 共 17 页 【点睛】 本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力. 11若若 m n 1 0, 2 nnmm mnaeebeece ，则（，则（ ） Abac Bacb Ccba Dbca 【答案
15、】【答案】A 【解析】【解析】由基本不等式得出 2 mn mnmn ，再根据函数的单调性即可比较大小 【详解】 当0mn时， 2 mn mnmn ， 且 x ye是定义域R上的单调增函数， 2 m n mn aeee , 所以 2 m n mn ee ，即ac； 又 2 222 m n mnmnm n eeeeee ， 所以 2 1 () 2 m n mn eee ， 即ba； 所以bac 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题， 意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平 12如图在某观测塔塔顶如图在某观测塔塔顶A处测得信号站处测得信号站BC的俯角分别为 的
16、俯角分别为57和和45，已知观测塔的，已知观测塔的 高度高度100AOm，则信号站，则信号站,B C间的距离约为（间的距离约为（ ） （结果保留整数参考数据） （结果保留整数参考数据： sin 570.84, cos 570.54 ） A30m B32m C34m D36m 【答案】【答案】D 第 8 页 共 17 页 【解析】【解析】 首先根据题意结合三角函数得到 450 tan577 AO BOm ， 再计算BCCOBO即 可. 【详解】 由题意知，100AOCOm， cos570.54450 100 tan57sin570.847 AO BOAOm ， 所以 250 36 7 BCCOB
17、Om， 故选：D 【点睛】 本题主要考查正弦定理的实际应用，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 二、填空题二、填空题 13已知已知x，y的取值如表所示的取值如表所示, ,已知已知y与与x线性相关，且线性相关，且 0.85yxa ，则，则 a_ x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 【答案】【答案】2.8 【解析】【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归方程即可得结果. 【详解】 0 1 34 2 4 x ， 2.24.34.86.7 4.5 4 y ， 样本点的中心的坐标为2,4.5， 代入 0.85yxa ， 可得4.50.85 2a ，解得2.8a 故答案为：2.8 【点
18、睛】 第 9 页 共 17 页 本题主要考查样本中心点的性质，同时考查了平均数公式的应用，属于基础题. 14在正方体，在正方体， 1111 ABCDABC D中，中，E为棱为棱BC的中点，则异面直线的中点，则异面直线 1 D E， 1 AB所所 成角的正弦值为成角的正弦值为_. 【答案】【答案】 1 3 【解析】【解析】由异面直线所成角的定义，可得 1 EDC为异面直线 1 D E， 1 AB所成角，解三 角形即可得异面直线 1 D E， 1 AB所成角的正弦值. 【详解】 连 1 DC，因为 11 / /ABDC，所以 1 EDC为异面直线 1 D E， 1 AB所成角， 设正方体的棱长为
19、2， 在 1 Rt D EC中， 11 2 213，DCCEDE， 1 1 sin 3 EDC. 故答案为： 1 3 【点睛】 本题主要考查了利用平移法求异面直线所成角，考查了学生的空间想象能力. 15 在在ABC中， 内角中， 内角A BC， ，的对边分别为的对边分别为abc， ， 已知 已知 1 2,1,cos 4 cbC 则 则 ABC的中线的中线AD的长为的长为_ 【答案】【答案】 6 2 【解析】【解析】由余弦定理求出a的值，再利用余弦定理求出AD的值 【详解】 第 10 页 共 17 页 如图所示，在ABC中，2c ，1b， 1 cos 4 C ， 由余弦定理得， 222 2cos
20、cababC，即 2 1 4121 4 aa ， 整理得 2 260aa，解得2a或 3 2 a （舍去） ； 所以 1 1 2 CDa， 在ACD中，由余弦定理得， 222 13 112 1 1 42 AD ， 解得 6 2 AD ， 所以ABC的中线AD的长为 6 2 故答案为： 6 2 【点睛】 本题主要考查利用余弦定理解三角形，属基础题. 16若若a是从是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，四个数中任取的一个数，b是从 是从 1，2 两个数两个数中任取的一个数，中任取的一个数， 则关于则关于x的一元二次方程的一元二次方程 22 20 xaxb有实根的概率是有实根的概率是_ 【答案
21、】【答案】 5 8 【解析】【解析】利用列举法，结合一元二次方程判别式，以及古典概型概率计算公式，计算出 所求的概率. 【详解】 依题意，, a b的所有可能取值为 0,1 , 0,2 , 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2. 关于x的一元二次方程 22 20 xaxb有实根，则 2222 440,abab.所以使一 元二次方程 22 20 xaxb有实根的 , a b的取值为 1,1 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 共5种，所以关于x的一元二次方程 22 20 xaxb有实根的概率是 5 8 . 第 11 页 共 17 页 故答案为： 5 8
22、【点睛】 本小题主要考查古典概型的计算，考查一元二次方程有实数根的条件，属于基础题. 三、解答题三、解答题 17已知命题已知命题:11px “，不等式，不等式 2 xxm 成立成立”是真命题是真命题 (I)求实数求实数m的取值范围；的取值范围； (II)若若: 4 4qma 是是p的充分不必要条件，求实数的充分不必要条件，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （I）2,（II）6, 【解析】【解析】()根据命题 P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立, 即可得到; ()先化简命题: 44q ama,再根据q是p的充分不必要条件列式可解得. 【详解】 （I）由题意
23、 2 mxx在11x 恒成立，所以 2 max ()mxx( 11)x , 因为 2 2 11 24 xxx ， 所以 2 1 2 4 xx，即 2 max ()2xx, 2m， 所以实数 m的取值范围是2, （II）由q得44ama， 因为q p ，所以42a ，即6a 所以实数a的取值范围是6, 【点睛】 本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题. 18一微商店对某种产品每天的销售量（一微商店对某种产品每天的销售量（x件）进行为期一个月的数据统计分析，并得件）进行为期一个月的数据统计分析，并得 出了该月销售量的直方图 （一个月按出了该月销售量的直方图 （一个
24、月按 3030 天计算） 如图所示天计算） 如图所示. .假设用直方图中所得的频率假设用直方图中所得的频率 来估计相应事件发生的概率来估计相应事件发生的概率. . 第 12 页 共 17 页 （1 1）求频率分布直方图中）求频率分布直方图中a的值；的值； （2 2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3 3）若微商在一天的销售量超过）若微商在一天的销售量超过 2525 件（包括件（包括 2525 件） ，则上级商企件） ，则上级商企会给微商赠送会给微商赠送 100100 元的礼金，估计该微商在一年内获
25、得的礼金数元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数. . 【答案】【答案】 （1）0.02； （2）22.5； （3）10800 元 【解析】【解析】 （1）由频率分布直方图概率和为 1，列出方程求 a 的值； （2）由频率分布直方 图均值计算公式：每个条形图中点的坐标乘高，然后求和为平均值； （3）先根据频率分 布直方图计算出日销售量超过 25 件的天数，然后估计一年内获得的礼金数. 【详解】 （1）由题意可得 1 10.01 0.060.070.0450.02 5 a （2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为 12.5 0.01 17.5 0.0622.5 0.0727.5 0.
26、04 32.5 0.02522.5 . （3）根据频率分布直方图，日销售量超过 25 件（包括 25 件）的天数为 0.040.025 309 ，可获得的奖励为 900 元， 依次可以估计一年内获得的礼金数为900 12 10800元. 【点睛】 本题考查频率分布直方图的概念， 平均值的计算方法以及由频率估计整体， 属于基础题. 19某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入x（万元）与该 （万元）与该 产品年销售利润产品年销售利润y（万元）的近（万元）的近 5 年具体数据，如下表：年具体数据，如下表： 年宣传费用投入年
27、宣传费用投入x（万元）（万元） 1 3 5 7 9 年销售利润年销售利润y（万元）（万元） 2 4 8 11 15 第 13 页 共 17 页 （1）求线性回归方程）求线性回归方程 ybxa； （2）如果该产品明年宣传费用投入）如果该产品明年宣传费用投入 11 万元，顸测该产品明年销售利润为多少？万元，顸测该产品明年销售利润为多少？ 参考公式：回归直线方程参考公式：回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 , nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy baybx xxxnx ，x、y为样本平均为
28、样本平均 【答案】【答案】 （1）1.650.25yx； （2）17.9万元 【解析】【解析】 （1）由已知数据求出x，y， b， a ，可求得线性回归方程； （2）将11x 代入到所求的线性回归方程中可得预测该产品明年销售利润. 【详解】 （1）因为 13579 5 5 x ， 24811 15 8 5 y ， 所以 5 1 5 2 1 66 1.65 40 ii i i i xxyy b xx ， 又因为 8 1.65 50.25aybx ，故线性回归方程为1.650.25yx. （2）当11x 时，1.65 110.2517.9y ， 故可预测该产品明年销售利润为 17.9 万元. 【点
29、睛】 本题考查线性回归方程的求法和由线性回归方程预测销售利润， 关键在于理解线性回归 方程中的量的含义和求法，属于中档题. 20已知函数已知函数 2 222 33 f xsinxsinxcos xxR ， （1）求函数）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数）求函数 f（x）在区间）在区间 4 2 ， 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 【答案】【答案】 （1）最小正周期为 ， 5 88 kk ，kZ； （2）最大值为 21 ， 第 14 页 共 17 页 最小值为 0 【解析】【解析】 （1）利用正弦、余弦的和差角公式以及辅助角公式化简得到
30、 f（x） 221 4 sinx ，利用正弦型函数的周期和单调性公式即得解. （2）可计算得到 5 2 444 x ，结合正弦函数的图像和单调性，可得解. 【详解】 （1） 2 222 33 f xsinxsinxcos x sin2 coscos2 sinsin2 coscos2 sincos21 3333 xxxxx sin2x+cos2x+1221 4 sinx 所以最小正周期为 因为当 3 222 242 kxk 时，f（x）单调递减 解得： 5 88 kxk 所以单调递减区间是 5 88 kk ，kZ （2）当 4 2 x ，时， 5 2 444 x ， 利用正弦函数的图像和单调性，
31、 当 2x 42 函数取得最大值为 21 ， 当 2x 44 或 5 4 时，函数取得最小值，最小值为 2 2 2 10 【点睛】 本题考查了三角函数的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力， 属于基础题. 21在在ABC中，中，120BAC， 21 sin 7 ABC，D是是CA延长线上一点，且延长线上一点，且 24ADAC . （1）求）求sinACB的值；的值； 第 15 页 共 17 页 （2）求）求BD的长的长. 【答案】【答案】 （1） 21 14 （2）13 【解析】【解析】 （1）首先利用同角三角函数的基本关系求出 2 7 cos 7 ABC，根据三角形 的内角
32、和性质可得sinsin 180120ACBABC，利用诱导公式以及两角差 的正弦公式即可求解. （2）在ABC中，利用正弦定理求出AB，在ABD中，利用余弦定理即可求解. 【详解】 解： （1）由 21 sin 7 ABC， 得 2 212 7 cos1 77 ABC ， 所以sinsin 180120ACBABC sin 60ABC sin60 coscos60 sinABCABC 32 712121 272714 . （2）由正弦定理，得 sinsin ABAC ACBABC ， 即 21 2 sin 14 1 sin21 7 ACACB AB ABC . 由余弦定理，得 22 2cosB
33、DABADAB ADBAD 22 1 142 1 413 2 . 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公 式，需熟记公式，属于基础题. 第 16 页 共 17 页 22已知已知 a，b，c分别为分别为ABC三个内角三个内角 A，B， ，C的对边，的对边，cos3sin bc CC a . （1）求）求 A； （2）若）若3a ，求，求ABC周长的取值范围周长的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 3 A （2）(2 3,3 3 【解析】【解析】 （1）根据正弦定理得到 sinsin cos3sin sin BC CC A ，化简得到 1 sin
34、62 A ，计算得到答案. （2）根据余弦定理得到 2 ()33bcbc，利用均值不等式得到2 3bc，得到周 长范围. 【详解】 （1）ABC中，cos3sin bc CC a ， 由正弦定理得， sinsin cos3sin sin BC CC A . 所以sincos3sinsinsinsinACACBC， 即 sincos3sinsinsin()sinsincossincossinACACACCACCAC， 所以3sinsinsincossinACCAC； 又0,C，所以sin0C ，所以3sincos1AA，所以 1 sin 62 A ， 所以 66 A ，所以 3 A ； （2）由余弦定理得， 222 2cosabcbcA，则 22 3bcbc， 2 ()33bcbc，即 2 2 1 3()33() 2 bcbcbc ， 化简得 2 ()12bc（当且仅当bc时取等号） ，则2 3bc，又3bca， 所以ABC的周长a b c 的取值范围是(2 3,3 3. 【点睛】 本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力. 第 17 页 共 17 页
