1、 20192019- -20202020 学年吉林省长春市农安县高一下学期期末考试数学试学年吉林省长春市农安县高一下学期期末考试数学试 题（必修题（必修 4 4） (必修必修 4) 说明：说明：1. 本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 2答卷前，务必将班级、姓名、座位号填在答题卡相应位置上答卷前，务必将班级、姓名、座位号填在答题卡相应位置上. 3考试结束后，只交答题卡考试结束后，只交答题卡. 第卷 选择题（共 60 分） 一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1 5 sin 6 等于（ ） A 3 2 B 3 2 C 1
2、2 D 1 2 2已知向量1,3, 2amb，且()abb ，则 m=（ ） A8 B6 C6 D8 3若扇形的面积为 3 8 、半径为 1，则扇形的圆心角为（ ） A 3 2 B 3 4 C 3 8 D 3 16 4先将 2sin 2 3 yx 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，再将其图像向 右平移 2 个单位，则（ ） A 2 2sin 36 x y B 22 2sin 33 x y C 2 2sin 3 x y D 22 2sin 39 x y 5函数 2f xsin x（0， 22 ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别 是（ ） 第 2 页 共 20 页 A2
3、, 3 B2, 6 C4, 6 D4, 3 6若() 60 60 51()1 5acossinbcossin， ，则 ab（ ） A 2 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 7下列函数中为奇函数的是（ ） A |sin|yx Bsinyxx Csin 4 yx Dsinyxx 8已知函数 sinyx 与 cosyx ，在下列区间内同为单调递增函数的是（ ） A0, 2 B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 9已知角的终边过点 1,2P ，则cos的值为（ ） A 5 5 B5 C 2 5 5 D 5 5 10已知 0, 2 ，tan3，则cos2（ ） A 3 5 B 4 5 C 3
4、 5 - D 4 5 11如图所示，已知在ABC中，D是边AB的中点，则CD （ ） 高一数学学科试卷 第 3 页 （共 20 页） A BABC 2 1 B BABC 2 1 C BABC 2 1 D BABC 2 1 12关于函数 y=sin2x，下列说法正确的是（ ） A函数在区间, 4 4 上单调递减 B函数在区间, 4 4 上单调递增 C函数图象关于直线 2 x 对称 D函数图象关于点,0 4 对称 第卷非选择题（共 90 分） 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13已知| 2,| 3ab，且(2)(2 )abab ，则 a b _ 14函数 y2si
5、n(3x) 2 图象的一条对称轴为直线 x 12 ，则 _ 15 2222 sin 1sin 2sin 88sin 89_. 16cos40 1 3tan10 _. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17已知向量(2,1),(3,1)ab （1）求a与b的夹角 （2）若kabb，求实数k的值 18已知 1 tan 3 ，求： （1）tan2； （2） 2sincos 2cossin 19已知函数( ) Asin()f xx （A0，0，）的一段图象如图所示 高一数学学科试卷 第 4 页 （共 20 页） （1）求函数 ( )f x的单调增
6、区间； （2）若 3 8 x ， 4 ，求函数 ( )f x的值域 20设向量a(cosx，1)，b ( 3，4sinx) （1）若ab，求 tanx 的值； （2）若(ab)b，且x0 4 ， ，求向量b的模 21已知向量( 3sin ,cos2)axx，(cos ,cos2)bxx ，设( )f xa b （1）求 ( )f x的解析式 （2）求 ( )f x的单调递增区间 （3）当, 63 x 时，求( )f x的最大值和最小值 22已知函数 4sin cos 3 3 f xxx . （1）求函数 f x的最小正周期及单调增区间； （2）求函数 f x在区间, 4 6 上的值域和取得最大
7、值时相应的 x 的值。 高一数学学科试卷 第 5 页 （共 20 页） 高一答案高一答案 1 5 sin 6 等于（等于（ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 5 sinsinsin 666 ，即可得到答案. 【详解】 51 sinsinsin 6662 故选：C 【点睛】 本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单. 2已知向量已知向量1, 3, 2amb，且，且()abb，则，则 m=( ) A8 B6 C6 D8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 由已知向量的坐标求出ab的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案 【详解
8、】 (1,),(3, 2),(4,2)am babm，又()abb， 34+（2）（m2）0，解得 m8 故选 D 高一数学学科试卷 第 6 页 （共 20 页） 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题 3若扇形的面积为若扇形的面积为 3 8 、半径为、半径为 1，则扇形的圆心角为（，则扇形的圆心角为（ ） A 3 2 B 3 4 C 3 8 D 3 16 【答案【答案】B 【解析】【解析】 设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为 3 8 ，半径为 1， 2 313 824 l 故选 B 4先将先将 2sin 2 3 yx 的图像上各点的横坐标伸长到原来的的图像上
9、各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，再将其图像向倍（纵坐标不变） ，再将其图像向 右平移右平移 2 个单位，则（个单位，则（ ） A 2 2sin 36 x y B 22 2sin 33 x y C 2 2sin 3 x y D 22 2sin 39 x y 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据三角函数的图象变换的规则，准确运算，即可求解. 【详解】 由题意，将2sin 2 3 yx 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3倍（纵坐标不变） ， 可得函数 2 2sin() 33 yx ， 再将函数 2 2sin() 33 yx 向右平移 2 个单位，可得 2 2sin
10、 () 323 2 2sin 3 yx x . 故选：C. 高一数学学科试卷 第 7 页 （共 20 页） 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换及其应用，其中解答中熟记三角函数图象变换的规则，准确运 算是解答的关键，注重考查运算、求解能力. 5函数函数 2f xsin x（0， 22 ）的部分图象如图所示，则）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别的值分别 是（是（ ） A2, 3 B2, 6 C4, 6 D4, 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 利用 115 212122 T ，求出，再利用 5 2 12 f ，求出即可 【详解】 115 212122 T ， 2 T
11、w ，2，则有 22f xsinx，代入 5 12 x 得 55 222 1212 fsin ，则有 5 1 6 sin ， 5 2, () 62 kkz ， 2 3 k ，又 22 ， 3 故答案选 A 【点睛】 本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题 高一数学学科试卷 第 8 页 （共 20 页） 6若若() 60 60 51()1 5acossinbcossin， ， ，则，则 ab( ) ( ) A 2 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【详解】 cos60 cos15sin60 sin15cos 6015cos45a b 2
12、 2 .故选 A. 7下列函数中为奇函数的是（下列函数中为奇函数的是（ ） ） A|sin |yx Bsinyxx Csin 4 yx D sinyxx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 根据奇偶性定义判断 【详解】 记每个函数为( )yf x，A 中()sin()sin( )fxxxf x，是偶函数，错； B中 ()sin()sin( )fxxxxxf x ，是偶函数，错； C中函数原点不是对称中心，y轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错； D中函数 ()sin()()sin( )fxxxxxf x ，是奇函数，正确 故选：D 【点睛】 本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的
13、定义是解题关键 8已知函数已知函数 sinyx 与与 cosyx ，在下列区间内同为单调递增函数的是，在下列区间内同为单调递增函数的是( )( ) A0, 2 B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 高一数学学科试卷 第 9 页 （共 20 页） 【分析】 分别写出正弦函数与余弦函数的增区间，结合选项取 k1，可得正弦函数与余弦函数的单调增区间 的子集得答案 【详解】 ysinx 的单调增区间为22 22 kkkZ ， ycosx 的单调增区间为2k- -，2k，kZ， 结合选项，当 k1 时， 3 2 ，2为正弦函数与余弦函数的单调增区间的子集， 即
14、能使函数 ysinx 与函数 ycosx同时单调递增的是 3 2 ，2（闭区间或开区间均可） 故选：D 【点睛】 本题考查正弦函数与余弦函数的单调性，关键是熟记正弦函数与余弦函数的单调区间，是基础题 9已知角已知角的的终终边过点边过点 1,2P ，则，则cos的值为（的值为（ ） A 5 5 B 5 C 2 5 5 D 5 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 利用三角函数的定义即可求解. 【详解】 由角的终边过点1,2P ， 所以 2 2 15 cos 5 12 . 故选：D 【点睛】 本题考查了三角函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 10已知已知 0, 2 ，t
15、an3，则，则cos2（ ） 高一数学学科试卷 第 10 页 （共 20 页） A 3 5 B 4 5 C 3 5 - D 4 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 根据倍角公式以及同角三角函数关系，将2cos转化为关于tan的齐次式，代值计算即可. 【详解】 因为 22 2cossincos 22 22 cossin sincos a 2 2 1tan tan1 194 915 . 故选：D. 【点睛】 本题考查倍角公式、同角三角函数关系的使用，属基础题. 11如图所示，已知在如图所示，已知在ABC中，中，D是边是边AB的中点，则 的中点，则CD （ ） A 1 2 BCBA
16、uuu ruur B 1 2 BCBA uuu ruur C 1 2 BCBA uuu ruur D 1 2 BCBA uuu ruur 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 由题易知： 1 2 BDBA，再根据向量的加法法则计算即可. 【详解】 D是边AB的中点， 1 2 BDBA， 1 2 CDCBBDBCBA . 高一数学学科试卷 第 11 页 （共 20 页） 故选：B. 【点睛】 本题考查向量的加法法则，考查运算求解能力，属于基础题. 12关于函数关于函数y y=sin2=sin2x x，下列说法正确的是（，下列说法正确的是（ ） A函数在区间函数在区间 , 4 4 上单调
17、递减上单调递减 B函数在区间函数在区间, 4 4 上单调递增上单调递增 C函数图象关于直线函数图象关于直线 2 x 对称对称 D函数图象关于点函数图象关于点,0 4 对称对称 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 结合正弦函数的单调性可判断 A，B，结合正弦函数的对称轴即对称中心的性质可判断 C，D 【详解】 解：ysin2x， 令 13 222 22 kxk ，kz， 可得， 3 44 kxk ，kz， 令 k0 可得，单调递减区间 3 44 ， ，结合选项可知 A 错误； 令 11 222 22 kxk可得， 44 kxk ， 令 k0 可得 44 x ，可得函数在 4 4 ，上
18、单调递增，故 B正确； 当 x 1 2 时 y0 不符合对称轴处取得最值的条件，C错误； 当 x 4 时，y 1 2 ，不符合正弦函数对称中心函数值为 0 的条件，D错误 故选 B 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题 评卷人 得分 二、填空题二、填空题 高一数学学科试卷 第 12 页 （共 20 页） 13已知已知| 2,| 3ab，且，且(2)(2 )abab ，则，则 a b _ 【答案】【答案】 10 3 【解析】【解析】 【分析】 根据向量垂直化简条件，结合向量的模，解得结果. 【详解】 (2)(2 )(2) (2 )0abababab rrrr rrrr
19、Q 222222 1110 2320(22)(2 22 3 ) 333 aa bba bab rrrr rrrr 故答案为： 10 3 【点睛】 本题考查向量垂直、由向量的模求数量积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14函数函数 y2sin(3x) 2 图象的一条对称轴为直线图象的一条对称轴为直线 x 12 ，则，则 _ 【答案】【答案】 4 【解析】【解析】 【分析】 将对称轴方程代入解析式，结合的范围可求得结果. 【详解】 由 y2sin(3x)的对称轴为x 12 (kZ)， 可知 3 12 k 2 (kZ)， 解得k 4 (kZ)， 又| | 2 ， 所以k0，故 4 故答案为 4 .
20、 高一数学学科试卷 第 13 页 （共 20 页） 【点睛】 本题考查了利用正弦函数的性质求解解析式，考查了正弦函数图象及性质，属于基础题 15 2222 sin 1sin 2sin 88sin 89_. 【答案】【答案】 89 2 【解析】【解析】 【分析】 分组求和，分组后根据诱导公式及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】 原式 2222222 sin 1sin 89sin 2sin 88sin 44sin 46sin 45 2222222 (sin 1cos 1sin 2cos 2sin 44cos 44)sin 45 189 44 22 . 故答案为： 89 2 【点睛】 本题主要考
21、查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于容易题. 16cos40 13tan10 _. . 【答案】【答案】1 【解析】【解析】 2cos 6010cos103sin10 cos40 13tan10cos40cos40 cos10cos10 ， 2cos502sin40sin80cos10 cos40cos401 cos10cos10cos10cos10 . 故答案为 1 点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角， 这是重要一环， 通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用 的公式，常见的有切化弦；三看结构特
22、征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到 分式要通分等. 评卷人 得分 三、解答题三、解答题 高一数学学科试卷 第 14 页 （共 20 页） 17已知向量已知向量(2,1),(3,1)ab （1）求）求a与与b的夹角的夹角 （2）若）若kabb，求实数，求实数k的值的值 【答案】【答案】 （1） 4 （2）2k 【解析】【解析】 【分析】 （1）由cos a b a b ，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由kabb，可得()0kabb，进而由坐标运算可得解. 【详解】 （1）设a与b的夹角为 2222 215,3( 1)10ab ，2 3 1 ( 1)5a b
23、， 52 cos 2510 a b a b ，又(0,)， 4 （2）(23,1)kabkk，又kabb，()0kabb ()3(23)(1)5100kabbkkk，2k. 【点睛】 本题主要考查了向量数量积的坐标运算及向量垂直数量积为 0 的应用，属于基础题 18已知已知 1 tan 3 ，求：，求： （1）tan2； （2） 2sincos 2cossin 【答案】【答案】 （1） 3 4 （2）1 【解析】【解析】 【分析】 高一数学学科试卷 第 15 页 （共 20 页） （1）利用倍角公式展开代入可求得结果； （2）分子分母同时除以cos，代入求值即可. 【详解】 （1） 2 2 1
24、 2 2tan3 3 tan2 1 1tan4 1 ( ) 3 （2） 2 1 2sincos2tan1 3 1 1 2cossin2tan 2 3 【点睛】 本题主要考查倍角公式和同角三角函数的切弦互换求值问题，属于基础题. 19已知函数已知函数 ( )Asin()f xx（A0，0，）的一段图象如图所示）的一段图象如图所示 （1 1）求函数）求函数 ( )f x的单调增区间 的单调增区间； （2 2）若）若 3 8 x ， 4 ，求函数求函数 ( )f x的值域 的值域 【答案】【答案】 （1）函数 ( )f x的单调增区间为 5 8 k ， 8 k ，kZ； （2）函数( )f x的值域
25、为 2，2. 【解析】【解析】 【分析】 （1）由函数的图象，可求得函数的解析式为 3 ( )2sin(2) 4 f xx，进而利用三角函数的图象与 性质，即可求解函数的单调递增区间； （2）由 3 8 x ， 4 ，则 3 20 4 x， 5 4 ，利用三角函数的性质，即可求解函数的最 大值与最小值，得到函数的值域. 高一数学学科试卷 第 16 页 （共 20 页） 【详解】 （1）求得 3 2sin 2 4 f xx 3 222 242 kxk ，kZ 5 88 kxk ，kZ 函数 f x的单调增区间为 5 8 k ， 8 k ，kZ （2） 3 8 x ， 4 3 20 4 x， 5
26、4 当 4 x 时， min 2fx ，当 8 x 时， max 2fx 函数 f x的值域为2，2 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解 析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题. 20.20.设向量设向量a(cosx，1)，b( (3，4sinx) （1 1）若）若ab，求，求 tanx的值；的值； （2 2）若）若( (ab)b，且，且x 0 4 ， ，求向量，求向量b的模的模 【答案】【答案】 （1） 3 4 ； （2） 7. 【解析】【解析】 【分析】 （1）由ab，建立等式关系进而
27、可以得到 tanx 的值；（2）由(ab)b，建立等式关系可以 得到sin2x的值，结合x0 4 ， 可以求出向量b，进而得到答案 【详解】 （1）因为ab，所以3cos4sin0 xx 高一数学学科试卷 第 17 页 （共 20 页） 因为cos0 x，所以 sin3 cos4 x x ，即 3 tan 4 x . （2）因为 / / abb,即cos3,1 4sin )/ /3,4sinxxx（ 所以4sincos33 1 4sinxxx，即4sin cos3xx ，所以 3 sin2 2 x ， 因为0, 4 x ，所以20, 2 x ，所以2 3 x ，即 6 x ， 此时3 2b （
28、，），所以 22 327b （）. 【点睛】 本题考查了平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，向量的模，考查了三角函数的化 简与求值，属于中档题 21已知向量已知向量( 3sin ,cos2)axx，(cos ,cos2)bxx ，设，设( )f xa b （1）求）求 ( )f x的解析式 的解析式 （2）求）求 ( )f x的单调递增区间 的单调递增区间 （3）当）当, 63 x 时，求时，求( )f x的最大值和最小值的最大值和最小值 【答案】【答案】 （1） 7 ( )sin(2) 62 f xx （2）单调递增区间为,() 36 kkkZ （3）最 大值和最小值分别为 5
29、,4 2 【解析】【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简即得 ( )f x的解析式； （2）解不等式222, 262 kxkkZ ，即得函数的单调递增区间； （3）求出 5 2, 666 x ，即得函数的最值. 【详解】 解： （1）由条件得( )3sincos(cos2) (cos2)f xa bxxxx 所以 2 ( )3sincoscos4f xxxx， 高一数学学科试卷 第 18 页 （共 20 页） 所以 31 cos27 ( )sin24sin(2) 2262 x f xxx . 所以 7 ( )sin(2) 62 f xx . （2）由（1）得 7 ( )sin(2) 6
30、2 f xx ， 所以 ( )f x单调递增时，222, 262 kxkkZ ， 化简得, 36 kxkkZ . 所以 ( )f x的单调递增区间为,() 36 kkkZ . （3）当, 63 x 时， 5 2, 666 x ， 所以当 2 66 x+=-时， min 7 ( )sin()4 62 f x ， 当2 62 x 时， max 75 ( )sin 222 f x 所以 ( )f x的最大值和最小值分别为 5 ,4 2 . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间和最值的求法，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平和分析推理能力. . 22已知函数已知函数 4sin
31、 cos3 3 f xxx . （1）求函数）求函数 f x的最小正周期及单调增区间；的最小正周期及单调增区间； （2）求函数）求函数 f x在区间在区间, 4 6 上的值域和取得最大值时相应的上的值域和取得最大值时相应的 x 的值的值. 【答案】【答案】 （1）， 5 , 1212 kkkZ ； （2）1,2， 12 x 时， max2f x . 【解析】【解析】 【分析】 高一数学学科试卷 第 19 页 （共 20 页） （1）化简函数得 2sin 2 3 f xx ，利用 2 T 可得周期，令 222 232 kxk ，解不等式可得单调增区间； （2）根据 46 x ，得到 2 2 63
32、3 x ，借助sinyt的单调性可得结果. 【详解】 （1） 4sincos cossin sin3 33 f xxxx 2 2sin cos2 3sin3xxx sin23 1 cos23xx sin23cos2xx 2sin 2 3 x . 2 2 T . 由222 232 kxk ，kZ 得： 5 1212 kxk ，kZ 单调增区间为 5 , 1212 kkkZ . （2） 46 x ， 2 2 633 x . 1 sin 21 23 x ，即12sin 22 3 x . 函数 f x在区间, 4 6 上的值域为1,2 且当2 32 x ，即 12 x 时， max2f x. 【点睛】 高一数学学科试卷 第 20 页 （共 20 页） 本题主要考查三角函数的图像及性质，属于中档题.
