1、第 1 页 共 22 页 2019-2020 学年山东省济宁市高一下学期质量检测期末考试学年山东省济宁市高一下学期质量检测期末考试 数学试题数学试题 一、单选题一、单选题 1已知向量已知向量,1ax r ，1,2b ，且，且2ab与与b共线，则实数共线，则实数 x的值是（的值是（ ） A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】首先求出221,4abx，然后根据2ab与b共线建立方程求解即可. 【详解】 因为,1ax r ，1,2b ，所以221,4abx 因为2ab与b共线，所以212 1 40 x ，解得 1 2 x 故选：A 【点睛】 本题考查的是
2、向量共线在坐标形式下的表示，属于基础题. 2一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OABC 的面积为的面积为 1，则原梯形，则原梯形 的面积为（的面积为（ ） A1 B2 C2 D2 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角梯形，从而可求出其面积 【详解】 解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示， 设原来梯形的上底为a，下底为b，高为h， 则直观图中等腰梯形的高为 1 sin45 2 hh， 因为直观图的面积为 111 ()()sin451 222 ab habh ， 第 2 页 共 22
3、页 所以 14 ()2 2 22 ab h ， 所以原梯形的面积为2 2， 故选：D 【点睛】 此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题， 掌握斜二测画法的作图规则是解题的 关键，属于基础题 3设设 m，n是不同的直线，是不同的直线， ，是不同的平面，下列命题正确的是（是不同的平面，下列命题正确的是（ ） A若若/m，n，则，则/m n B若若 /m， ，n/，m，n，则，则/ C若若 ，m，则，则/m D若若 ，m， n ，则，则mn 【答案】【答案】D 【解析】【解析】A. 由/m n或异面判断；B.由/ 或相交判断；C.由则/m或m判断； D. 由面面垂直的性质判断. 【详解】 A.
4、若/m，n，则/m n或异面，故错误； B.若 /m，n/ ，m，n，则/ 或相交，故错误； C.若 ，m，则/m或m，故错误； D. 若 ，m，则m，又 n ，所以mn，故正确. 故选：D 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了空间 第 3 页 共 22 页 想象和逻辑推理的能力，属于中档题. 4 已知某人射击每次击中目标的概率都是已知某人射击每次击中目标的概率都是 0.5， 现采用随机模拟的方法估计其 ， 现采用随机模拟的方法估计其 3 次射击次射击 至少至少 2 次击中目标的概率：先由计算器产生次击中目标的概率：先由计算器产生 0 到到 9 之
5、间的整数值的随机数，指定之间的整数值的随机数，指定 0，1， 2，3，4 表示击中目标，表示击中目标，5，6，7，8， ，9 表示未击中目标；因为射击表示未击中目标；因为射击 3 次，故每次，故每 3 个随个随 机数为一组，代表机数为一组，代表 3 次射击的结果，经随机模拟产生了次射击的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数；组随机数； 162966151525271932592408569683 471257333027554488730163537039 据此估计，其中据此估计，其中 3 次射击至少次射击至少 2 次击中目标的概率约为（次击中目标的概率约为（ ） A0.45 B0.5 C0
6、.55 D0.6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】这是一个古典概型，已知基本事件的总数为 20 种，然后从中找出 3次射击至 少 2次击的基本事件的种数，代入公式求解. 【详解】 基本事件的总数为 20种， 其中 3 次射击至少 2次击的基本事件有 162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039 共 11 种， 所以 3 次射击至少 2次击中目标的概率约为 11 0.55 20 p 故选：C 【点睛】 本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题. 5将一个棱长为将一个棱长为 3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积的正方体铁块磨
7、成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积 为（为（ ） A 3 9 cm B 3 9 m 2 c C 3 9 2 cm D 3 27 3 cm 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意，球体最大体积的直径为棱长，利用球的体积公式即可求解. 【详解】 正方体的棱长为 3cm， 所以球体最大体积的半径 3 2 rcm， 所以球的体积： 33 49 32 Vrcm . 故选：B 第 4 页 共 22 页 【点睛】 本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6已知正四棱柱已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中，中， 3AB ， 1 1AA ，则直线，
8、则直线 1 AC和和 1 BC所所 成的角的余弦值为（成的角的余弦值为（ ） A 7 7 B 2 7 7 C 42 7 D 6 7 【答案】【答案】A 【解析】【解析】以D点为原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 然后利用向量求出答案即可. 【详解】 如图，以D点为原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 因为正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 3AB ， 1 1AA ， 所以 11 3,0,1 ,0, 3,0 ,3, 3,0 ,0, 3,1ACBC 所以 11 3, 3, 1 ,3,0,1AC
9、BC 所以 11 3 17 cos, 77 2 AC BC ，所以直线 1 AC和 1 BC所成的角的余弦值为 7 7 故选：A 【点睛】 本题考查的是异面直线所成角的求法，考查了学生的基础水平，属于基础题. 7 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，3 DECE uuu ruur ， 若， 若AE交交BD于点于点 M.且且AMABAD， 则则 （ （ ） 第 5 页 共 22 页 A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据已知找到相似三角形，用向量AB、AD线性 表示向量AM. 【详解】 如图，平行四边形ABCD中， 3DECE uuu ruu
10、r ，ABMEDMV: V， 33 22 DEDCAB uuu ruuu ruuu r ， 2222332 3555255 AMMEAEADDEADABABAD uuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruu u ruuu r . 3 2 故选：B 【点睛】 此题考查平面向量的线性运算，属于中档题. 8“幸福感指数幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用 常用 区间区间0,10内的一个数来表示，该数越接近内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意度越高表示满意度越高.甲、乙两
11、位同学分别随甲、乙两位同学分别随 机抽取机抽取 10 位本地市民调查他们的幸福感指数位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为，甲得到十位市民的幸福感指数为 5，6， 6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为 8、方差为 、方差为 2.2， 则这则这 20 位市民幸福感指数的方差为（位市民幸福感指数的方差为（ ） A1.75 B1.85 C1.95 D2.05 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设乙得到十位市民的幸福感指数分别为 111220 ,xxx，根据这 10 个数据的平 均数为 8、方差为 2.2可得
12、 22 1120 662xx，再根据方差的公式可求 20 个数据的方 差. 【详解】 设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为 1210 ,x xx， 乙得到十位市民的幸福感指数分别为 111220 ,xxx， 第 6 页 共 22 页 故这 20 位市民的幸福感指数的方差为 2 22222 12101120 1 20 xxxxxx， 因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为 8、方差为 2.2， 111220 8 1080 xxx ， 故 5667777889 10 8 7.5 20 x ， 而 22 1120 1 642.2 10 xx，故 22 1120 662xx， 而 222222222
13、 1210 5664 72 89502xxx ， 故所求的方差为 2 1 5026627.51.95 20 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查方差的计算，注意样本数据 12 , n x xx的方差为 2 1 1 n i i xx n ，也可以是 2 2 1 1 n i i xx n ，本题属于中档题. 二、多选题二、多选题 9若复数若复数 z满足满足 13zii，则（，则（ ） A1zi Bz的实部为的实部为 1 C1zi D 2 2zi 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】先利用复数的运算求出复数 z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由13zii，得 3 12(1)2(1) 1 1(1
14、)(1)2 ii zi iii ， 所以 z的实部为 1，1zi ， 2 2zi ， 故选：BC 【点睛】 此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础 题 10ABC是边长为是边长为 2 的等边三角形，已知向量的等边三角形，已知向量a， ，b满足满足 2ABa ， 2ACab ， 第 7 页 共 22 页 则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ） Aa是单位向量是单位向量 B /BC b C 1a b D4BCab 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】A. 根据ABC是边长为 2 的等边三角形和 2ABa 判断；B.根据 2ABa ， 2ACab ，利
15、用平面向量的减法运算得到BC判断；C. 根据 1 , 2 aAB bBC， 利用数量积运算判断；D. 根据b BC ， 1a b ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为ABC是边长为 2 的等边三角形，所以 2AB ，又 2ABa ，所以 a是单 位向量，故正确； B. 因为 2ABa ， 2ACab ，所以BC ACABb ，所以 /BC b，故正确； C. 因为 1 , 2 aAB bBC， 所以 11 2 2 cos1201 22 a bBCAB ， 故错误； D. 因为b BC ， 1a b ，所以 2 444440BCabbaba bb ，所以 4BCab，故正确. 故选：AB
16、D 【点睛】 本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 11分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为 1， ，2，3，4，5，6） ，设事） ，设事 件件M “第一枚骰子的点数为奇数第一枚骰子的点数为奇数”， 事件， 事件N “第二枚骰子的点数为偶数第二枚骰子的点数为偶数”， 则 （， 则 （ ） AM与与 N互斥互斥 BM与与 N不对立不对立 CM与与 N相互独立相互独立 D 3 4 P MN 【答案】【答案】BCD 【解析】【解析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判
17、断四个选项正误. 【详解】 对于选项 A：事件M与N是可能同时发生的，故M与N不互斥，选项 A 不正确； 对于选项B：事件M与N不互斥，不是对立事件，选项B正确； 对于选项C：事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响，M与N相互独立. 第 8 页 共 22 页 对于选项D：事件M发生概率为 1 () 2 P M ，事件N发生的概率 1 () 2 P N ， 113 1() ()1 224 P MNP M P N ，选项D正确. 故选：BCD 【点睛】 本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础 题. 12已知正方体已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长
18、为的棱长为 2，点，点 O为为 11 AD的中点，若以的中点，若以 O为球心，为球心， 6为半径的球面与正方体 为半径的球面与正方体 1111 ABCDABC D的棱有四个交点的棱有四个交点 E，F，G，H，则下列，则下列 结论正确的是（结论正确的是（ ） A 11/ AD平平面面EFGH B 1 AC 平面平面EFGH C 11 AB与平面与平面EFGH所成的角的大小为所成的角的大小为 45 D平面平面EFGH将正方体将正方体 1111 ABCDABC D分成两部分的体积的比为分成两部分的体积的比为1:7 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】如图，计算可得,E F G H分别为所在棱的中
19、点，利用空间中点线面的位置关 系的判断方法可判断 A、 B的正确与否， 计算出直线AB与平面EFGH所成的角为45 后可得 C 正确，而几何体BHE CGF为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断 D 正确与否. 【详解】 如图，连接OA，则 2 1 15OAAA ，故棱 1111 ,A A AD D D AD与球面没有交点. 同理，棱 111111 ,AB BC C D与球面没有交点. 第 9 页 共 22 页 因为棱 11 AD与棱BC之间的距离为2 2 6 ，故棱BC与球面没有交点. 因为正方体的棱长为 2，而26， 球面与正方体 1111 ABCDABC D的棱有四个交点 E，F，G，
20、H， 所以棱 11 ,AB CD CC B B与球面各有一个交点， 如图各记为,E F G H. 因为OAE为直角三角形，故 22 6 51AEOEOA ，故E为棱AB的中 点. 同理,F G H分别为棱 11 ,CD CC B B的中点. 由正方形ABCD、,E F为所在棱的中点可得/EF BC， 同理/GH BC，故/EF GH，故,E F G H共面. 由正方体 1111 ABCDABC D可得 11/ ADBC，故 11/ ADEF 因为 11 AD 平面EFGH，EF 平面EFGH，故 11/ AD平面EFGH，故 A正确. 因为在直角三角 1 BAC中， 1 2 2AB ，2BC
21、， 1 90ABC， 1 AC与BC不垂直，故 1 AC与GH不垂直，故 1 AC 平面EFGH不成立，故 B错误. 由正方体 1111 ABCDABC D可得BC平面 11 AAB B，而 1 AB 平面 11 AAB B， 所以 1 BCAB，所以 1 EFAB 在正方形 11 AAB B中，因为,E H分别为 1 ,AB BB的中点，故 1 EHAB， 因为EFEHE，故 1 AB 平面EFGH， 所以BEH为直线AB与平面EFGH所成的角，而45BEH， 故直线AB与平面EFGH所成的角为45， 因为 11 /AB AB，故 11 AB与平面EFGH所成的角的大小为 45 .故 C 正
22、确. 因为,E F G H分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF为三棱柱， 其体积为 1 1 1 21 2 ，而正方体的体积为 8， 故平面EFGH将正方体 1111 ABCDABC D分成两部分的体积的比为1:7，故 D 正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定 第 10 页 共 22 页 哪些棱与球面有交点，本题属于中档题. 三、填空题三、填空题 13在平行四边形在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点 相交于点 O，若向量，若向量OA，OB对应的对应的 复数分别是复数分别是1i，1 2i ，则向
23、量，则向量CD对应的复数是对应的复数是_. 【答案】【答案】23i 【解析】【解析】利用复数的几何意义，由OA OB BACD 求解. 【详解】 因为向量OA，OB对应的复数分别是1i，1 2i ， 所以 11 223OA OBBACDiii 故答案为：23i 【点睛】 本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题. 14若一个圆锥的侧面展开图是面积为若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】【答案】 【解析】【解析】 【详解】 由面积为的半圆面， 可得圆的半径为 2， 即圆锥的母线长为 2.圆锥的底面周长为. 所以底面半径
24、为 1.即可得到圆锥的高为3.所以该圆锥的体积为 3 3 . 15如图，要计算某湖泊岸边两景点如图，要计算某湖泊岸边两景点 B与与 C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上的距离，由于受地形的限制，需要在岸上 选取选取 A和和 D两点，现测得两点，现测得5kmAB ，7kmAD，60ABD，15CBD， 120BCD，则两景点，则两景点 B与与 C的距离为的距离为_km. 【答案】【答案】 8 6 3 第 11 页 共 22 页 【解析】【解析】在ABD中，根据5kmAB ，7kmAD，60ABD，由余弦定理 解得8BD，然后在BCD中，利用正弦定理 sinsin BDBC BCDBDC 求解.
25、 【详解】 在ABD中，因为5kmAB ，7kmAD，60ABD， 由余弦定理得 222 2cosADABBDAB BDABD， 整理得 2 49255BDBD， 解得8BD或3BD（舍去） ， 在BCD中，因为15CBD，120BCD， 所以45BDC， 由正弦定理得： sinsin BDBC BCDBDC ， 所以 sin458 6 sin1203 BD BC . 故答案为： 8 6 3 【点睛】 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16在在ABC中，中，ABAC，E，F是边是边BC的三等分点，若 的三等分点，若 3ABACABAC，则，则cosEA
26、F_ 【答案】【答案】 13 14 【解析】【解析】以 AB，AC为邻边作平行四边形 ABCD，根据3ABACABAC，得 到3ADCB， 再根据ABAC，得到平行四边形 ABCD是菱形，则CBAD， 设3CB ，利用勾股定理分别求得EF，,AE AF的长度，在AEF中利用余弦定 理求解. 【详解】 如图所示： 第 12 页 共 22 页 以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABCD，则,ABACAD ABACCB， 因为3ABACABAC， 所以3ADCB，设3CB ，则3AD uuu r ， 因为ABAC，所以平行四边形 ABCD 是菱形， 所以CBAD， 所以 2 2 333 3, 22
27、3 ABACEF ， 所以 2 2 3321 263 AEAF ， 所以 222 21211 13 993 cos 2142121 2 33 AEAFEF EAF AE AF . 故答案为： 13 14 【点睛】 本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用， 还考查了数形结合的思 想和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17ABC的内角的内角 A， B， C的对边分别为的对边分别为 a， b， ， c， 若， 若4coscoscos0bA aCcA . （1）求）求cosA的值；的值； （2）若）若4a， 3 2 AB AC ，求，求ABC的周长的周长. 【答案】【
28、答案】 （1） 1 cos 4 A ； （2）9. 【解析】【解析】 （1） 由正弦定理以及两角和的正弦公式， 再结合sin0B， 即可得cosA的值. 第 13 页 共 22 页 （2）利用向量数量积的定义知 13 cos 42 AB ACbcAbc ，可得6bc ， 再利用余弦定理，可求5bc ，即可得周长. 【详解】 （1）由正弦定理，得sin4cossincosC sincos0BAACA. sin4cossin0BAA C，即sin4cossin0BAB 又sin0B， 1 cos 4 A . （2） 13 cos 42 AB ACbcAbc 6bc 由余弦定理，得 2 222 2c
29、os21cosabcbcAbcbcA 即 2233 166 22 bcbcbc 解得5bc . ABC的周长为4 59a b c . 【点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，向量数量积的定义，属于中档题. 18某中学高一年级举行了一次某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计， 这批学生的成绩全部介于这批学生的成绩全部介于 50 至至 100 之间，将数据按照之间，将数据按照50,60，60,70，70,80， 80,90，90,100的分组作出频率分布直方图如图所示的分组作出频率分布直方图如图所示.
30、 （1）求频率分布直方图中）求频率分布直方图中 a的值，并估计本次竞赛成绩的第的值，并估计本次竞赛成绩的第 80 百分位数；百分位数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在）若按照分层随机抽样从成绩在80,90，90,100的两组中抽取的两组中抽取 6 人，再从这人，再从这 6 第 14 页 共 22 页 人中随机抽取人中随机抽取 2 人，求至少有人，求至少有 1 人的成绩在人的成绩在90,100内的概率内的概率. 【答案】【答案】 （1）0.020a；85； （2） 3 5 . 【解析】【解析】 （1）根据小矩形的面积代表概率，所以所有小矩形面积之和等于1 ，即可得 a 的值， 成绩在以下的频率
31、为0.7， 成绩在90分以下的频率为0.9， 第 80百分位数80,90p， 0.80.7 80 1085 0.2 p . （2）先利用频率之比求出80,90，90,100的两组中应抽的人数，然后列出从这 6 人中随机抽取 2 人包括的基本事件，至少有 1 人的成绩在90,100内包括的基本事件， 利用概率公式即可求概率. 【详解】 （1）由题意可知，10 0.005 0.0300.0350.0101a 解得0.020a. 100.0050.05，10 0.0300.3，10 0.0350.35，10 0.020.2， 10 0.010.1 成绩在80分以下的频率为0.05 0.3 0.350
32、.70.8， 成绩在90分以下的频率为0.05 0.3 0.35 0.20.90.8， 第 80百分位数80,90p，. 0.80.7 80 1085 0.2 p . （2）80,90，90,100的频率之比为0.2:0.12:1 从80,90中随机抽取 2 64 3 人. 从90,100中随机抽取 1 62 3 人. 从80,90中随机抽取的 4人记为 1，2，3，4，从90,100中随凯抽取的 2 人记为 a， b， 从这 6 人中随机抽取 2 人的样木空间为 12,13,14,1 ,1 ,23,24,2 ,2 ,34,3 ,3 ,4 ,4 ,a baba bab ab，共有 15 个样本
33、点，. 设事件A “至少有 1人的成绩在90,100内”，则 1 ,1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,4 ,4 ,Aa ba b a ba b ab，共有 9个样本点. 第 15 页 共 22 页 93 155 P A . 至少有 1 人的成绩在90,100内的概率 3 5 . 【点睛】 本题主要考查了用样本估计总体，以及古典概率的计算，属于中档题. 19如图，在棱长为如图，在棱长为 2 的正方体的正方体 1111 ABCDABC D中，中，E，F分别为分别为 11 AD， 11 BC的中的中 点点. （1）求证：平面）求证：平面 1 /AB E平面平面 1 BDF； （2）求平面）求平面 1 A
34、B E与平面与平面 1 BDF之间的距离之间的距离. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 . 【解析】【解析】 （1）由 1 /B E 平面 1 BDF，AE平面 1 BDF，且 1 AEB EE，即可证得平 面 1 /AB E平面 1 BDF； （2） 先将平面 1 AB E与平面 1 BDF之间的距离转化为点 B 到面 1 AB E的距离， 然后把E 当作顶点求出总体积，再把B当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点B到平面 1 AB E的距离 【详解】 （1）证明：正方体 1111 ABCDABC D中 E，F分别为 11 AD， 11 BC的中点， 1 D E 1 B
35、 F， 1 D E= 1 B F 四边形 11 B FD E是平行四边形. 11 /B E DF. 又 1 B E 平面 1 BDF， 1 D F 平 1 BDF， 第 16 页 共 22 页 1 /B E平面 1 BDF. EFAB，EF=AB 四边形ABFE是平行四边形. /AE BF. 又AE 平向 1 BDF，BF 平面 1 BDF， AE平面 1 BDF. 又 1 AEB EE， 平面 1 /AB E平面 1 BDF. （2）平面 1 AB E与平面 1 BDF之间的距离也就是点 B 到面 1 AB E的距离，设为 h， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 1 5AE
36、BE， 1 2 2AB ， 1 AB E的面积 1 22 1 2 2526 2 AB E S 三棱锥 1 BAB E的体积 11 16 33 B AB EAB E VShh ，. 又三棱锥 1 EABB的体积 11 1 1112 2 2 1 3323 E ABBABB VSAE . 由 11 B ABE AEBB VV 可得， 62 33 h 解得 6 3 h . 平面 1 AB E与平面 1 BDF之间的距离为 6 3 . 【点睛】 此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理 能力和计算能力，属于中档题 20如图所示，在如图所示，在ABC中，点中，点 D为为
37、BC边上一点，且边上一点，且 2AD ， 2 7 cos 7 B ， 120ADB . 第 17 页 共 22 页 （1）求）求BD的长；的长； （2）若）若ADC为锐角三角形，求为锐角三角形，求ADC的面积的取值范围的面积的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1； （2） 3 ,2 3 2 . 【解析】【解析】 （1）在ABD中，首先利用两角差的正弦公式求出sinBAD，再利用正弦 定理即可求解. （2）ADC的面积 13 sin 22 ADC SAD CDADCCD ，设ACD， sin3 1 sintan ADCAD CD ACD ，由ADC为锐角角形，即3090，即求. 【详解】 解：
38、 （1）在ABD中， 2 7 cos 7 B 2 2 2 721 sin1 cos1 77 BB . 32 712121 sinsin 60 272714 BADB . 在ABD中，由正弦定理，得 sinsin ADBD BBAD ， 即 21 2 sin 14 1 sin21 7 ADBAD BD B . （2）由题设知ADC的面积 13 sin 22 ADC SAD CDADCCD . 第 18 页 共 22 页 在ADC中，由正弦定理，得 sinsin CDAD CADACD 设ACD， 则 2sin 120sin3cossin3 1 sinsinsintan ADCAD CD ACD
39、. ADC为锐角角形， 090，090CAD， 又120CAD， 3090. 3 tan, 3 . 14CD，从而 3 2 3 2 ADC S . ADC的面积的取值范围是 3 ,2 3 2 . 【点睛】 本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于中 档题. 21甲、乙两人组成甲、乙两人组成“星星队队”进行定点投篮比赛，在距篮筐进行定点投篮比赛，在距篮筐 3 米线内设一点 米线内设一点 M，在点，在点 M 处投中一球得处投中一球得 2 分，不中得分，不中得 0 分；在距篮筐分；在距篮筐 3 米线外设一点米线外设一点 N，在点，在点 N处投中一球得处投中一球得 3
40、 分，不中得分，不中得 0 分分.已知甲、乙两人在已知甲、乙两人在 M点投中的概率都为点投中的概率都为 p，在，在 N点投中的概率都为点投中的概率都为 q. 且在且在 M，N两点处投中与否互不影响两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在设定甲、乙两人先在 M处各投篮一次，然后在处各投篮一次，然后在 N 处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队星队”总得分总得分.已知在一次比赛中甲得已知在一次比赛中甲得 2 分的分的 概率为概率为 1 2 ，乙得，乙得 5 分的概率为分的概率为 1 6 . （1）求）求 p，q的值的值； （2）求）求“星队星队”在一次比赛
41、中的总得分为在一次比赛中的总得分为 5 分的概率分的概率. 【答案】【答案】 （1） 2 3 p ， 1 4 q ； （2） 1 6 . 【解析】【解析】 （1）设 0 A， 2 A， 3 A， 5 A分别表示在一次比赛中甲得分的事件， 0 B， 2 B， 3 B， 5 B分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得 2 分的概率为 第 19 页 共 22 页 1 2 ，乙得 5分的概率为 1 6 ，由 2 5 1 1 2 1 6 P Apq P Bpq 求解. （2）由题意知： 00 P AP B， 22 P AP B， 33 P AP B， 55 P AP B，设C “星队
42、”在一次比赛屮的总得分为 5 分”，则 05233250 CA BA BA BA B，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式求解. 【详解】 （1）设 0 A， 2 A， 3 A， 5 A分别表示在一次比赛中甲得分的事件， 0 B， 2 B， 3 B， 5 B分 别表示在一次比赛中乙得分的事件. 因为在一次比赛中甲得 2分的概率为 1 2 ，乙得 5 分的概率为 1 6 ， 所以 2 5 1 1 2 1 6 P Apq P Bpq . 解得 2 3 p ， 1 4 q . （2）由已知得 00 211 11 344 P AP B ， 22 1 2 P AP B， 33 211 1 3412 P
43、AP B ， 55 1 6 P AP B， 设C “星队”在一次比赛屮的总得分为 5 分”， 则 05233250 CA BA BA BA B， 则 05233250 P CP A BP A BP A BP A B， 05233250 P A P BP A P BP A P BP A P B， 11111111 4621212264 ， 1 6 ， 第 20 页 共 22 页 所以“星队”在一次比赛中的总得分为 5 分的概率是 1 6 . 【点睛】 本题主要考查独立事件和互斥事件的概率， 还考查了分析求解问题的能力， 属于中档题. 22如图如图 1 所示，在直角梯形所示，在直角梯形ABCD中，
44、中，/BC AD， ，ADCD，2BC ，3AD， 3CD ，边，边AD上一点上一点 E满足满足1DE .现将现将ABE沿沿BE折起到折起到 1 ABE的位置，的位置， 使平面使平面 1 ABE 平面平面BCDE，如图，如图 2 所示所示. （1）求证：）求证： 1 ACBE； （2）求平面）求平面 1 ABE与平面与平面 1 ACD所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 21 7 . 【解析】【解析】 （1）连接CE，连接AC交BE于点 O，证明BE 平面 1 AOC即可； （2） 延长BE，CD， 设B E C D G， 连接 1 AG，
45、可得 1 AG是平面 1 ABE与平面 1 ACD 的交线，作 1 OHAG，垂足为 H，连接CH，然后证明OHC为平面 1 ABE与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角，然后求出即可. 【详解】 （1）证明：在图 1 中，连接CE，易求2CEBCBEAEAB. 四边形ABCE为菱形. 连接AC交BE于点 O，则ACBE. 在图 2中， 1 AOBE，OCBE. 又 1 AOOCO?， 第 21 页 共 22 页 BE 平面 1 AOC. 又 1 AC 平面 1 AOC， 1 ACBE. （2）解：在图 2中延长BE，CD，设BECDG，连接 1 AG. G平面 1 ABE，G平面 1 ACD
46、. 又 1 A 平面 1 ABE， 1 A 平面 1 ACD. 1 AG是平面 1 ABE与平面 1 ACD的交线. 平面 1 ABE 平面BCDE，OCBE，平面 1 ABE平面BCDEBE=， OC 平面 1 ABE. 又 1 AG 平面 1 ABE， 1 OCAG. 作 1 OHAG，垂足为 H，连接CH. 又OHOCO， 1 AG 平面OCH，又CH 平面OCH， 1 AGCH. OHC即为平面 1 ABE与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角. 由（1）知， 1 ABE，BCE为等边三角形， 3OC . 1 OHGBAG， 1 3 4 OHOG BABG ， 第 22 页 共 22 页 解得 3 2 OH 在Rt COH中， 22 921 3 42 CHOCOH . 3 21 2 cos 721 2 OH OHC CH 平面 1 ABE与平面 1 ACD所成锐二面角的余弦值 21 7 . 【点睛】 本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想 象能力和计算能力，属于较难题.
