1、第 1 页 共 22 页 2019-2020 学年山东省青岛胶州市高一下学期期末考试数学学年山东省青岛胶州市高一下学期期末考试数学 试题试题 一、单选题一、单选题 1 已知复数已知复数z的共轭复数为的共轭复数为z， 且， 且(12 )43zii （其中（其中i是虚数单位） ， 则是虚数单位） ， 则z （ ） A2 i B2i C1 2i D1 2i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由复数的除法求z，根据共轭复数的概念即可求得z 【详解】 43 2 12 i zi i 2zi 故选：B 【点睛】 本题考查了复数， 应用复数的除法求复数， 并由共轭复数的概念求所得复数的共轭复数， 属于简单题
2、 2某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统 名志愿者服用此药，体重变化结果统 计如下：计如下： 体重变化体重变化 体重减轻体重减轻 体重不变体重不变 体重增加体重增加 人数人数 600 200 200 如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ） A0.1 B0.2 C0.5 D0.6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由表中数据，用频率估计概率求解. 【详解】 由表中数据得： 估计这个人体重减轻的概率约为 600 0.6 1000 p 第 2 页 共 2
3、2 页 故选：D 【点睛】 本题主要考查用频率估计概率，属于基础题. 3若圆锥若圆锥W的底面半径与高均为的底面半径与高均为1，则圆锥 ，则圆锥W的表面积等于（的表面积等于（ ） A( 21) B2 C2 D 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据圆锥W的底面半径与高均为1，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由 圆锥的表面积公式求解. 【详解】 因为圆锥W的底面半径与高均为1， 所以圆锥的母线长为 2l ， 所以圆锥W的表面积等于 2 21Srlr， 故选：A 【点睛】 本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题. 4随机掷两枚骰子，记随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数向上
4、的点数之和是偶数”为事件 为事件A，记，记“向上的点数之差为奇向上的点数之差为奇 数数”为事件为事件B，则（，则（ ） AAB BAB C,A B互斥但不对立互斥但不对立 D,A B对立对立 【答案】【答案】D 【解析】【解析】把事件A、B的情况一一列出，即可判断. 【详解】 解：A包括：两枚骰子都出现偶数点，其和是偶数；两枚骰子都出现奇数点，其和是偶 数； B包括：一枚骰子出现偶数点，另一枚骰子出现奇数点，其差是奇数；故事件A、B对 立. 故选：D. 【点睛】 考查两个事件之间关系的判断，基础题. 5在在ABC中，中，30B ，31AC ，45C，则，则AB （ ） 第 3 页 共 22 页
5、 A62 B6 C62 D 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题意，过点A作ADBC交BC于点D，在RtACD中，根据三角函 数关系求出AD，再在RtABD中，由sin AD B AB ，即可求出AB的值. 【详解】 解：由题可知，在ABC中，30B ，31AC ，45C， 如图，过点A作ADBC交BC于点D， 在RtACD中，sin AD C AC ， 则 2 sinsin4531 2 ADACCAC ， 在RtABD中，sin AD B AB ， 则 2 31 2 62 1 sinsin30 2 ADAD AB B . 故选：A. 【点睛】 本题考查利用三角函数关系解直角三角形，
6、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形， 属于基础题. 6在三棱柱在三棱柱 111 ABCABC中，上下底面中，上下底面均为等腰直角三角形，且均为等腰直角三角形，且 1 22,ABBCAA平面平面ABC，若该三棱柱存在内切球，则，若该三棱柱存在内切球，则 1 AA （ ） A2 B22 C2 2 D 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】易知， 2AB ，1BCAC，由三角形内切圆的半径公式，可得ABC 第 4 页 共 22 页 内切圆的半径r，而内切球的半径Rr，棱柱的高2hR，再由 1 AA 平面ABC， 可推出该三棱柱为直三棱柱，故 1 AAh 【详解】 由题可知，ABC为等腰直角三角形
7、， 22ABBC，2AB，1BCAC， ABC内切圆的半径 22 22 BCACAB r ， 此三棱柱存在内切球， 内切球的半径 22 2 Rr ，且棱柱的高222hR， 1 AA 平面ABC，该三棱柱为直三棱柱， 1 22AAh 故选：B 【点睛】 本题考查棱柱中的简单计算，牢记三角形内切圆的半径公式是解题的关键，考查学生的 空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 7甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 1 1 , 3 2 ，则密码被破译的概率为，则密码被破译的概率为 （ ） A 1 6 B 2 3 C 5 6 D1 【答案】【
8、答案】B 【解析】【解析】密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲 乙都破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案. 【详解】 设 “甲独立地破译一份密码” 为事件 A， “乙独立地破译一份密码” 为事件 B， 则 1 3 P A ， 1 2 P B ， 12 1 33 P A ， 11 1 22 P B ， 设 “密码被破译” 为事件 C ， 则 P CP ABP ABP AB 1121112 3232323 ， 故选：B. 【点睛】 本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算， 考查分析问题 第 5 页 共 22 页 和解决问题的能
9、力，属于中档题. 8设设m m，n n是两条不同的直线，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是 （ ） A若若m，/mn， / /n，则 ，则 B若若 ，m，m，则，则/m C若若m ，m，则，则 D若若 ，m，n，则，则mn 【答案】【答案】D 【解析】【解析】选项 A 中，由于,/ /mmn，故n，又/ /n，故，A 正确； 选项 B中，由,m得/m或m，又m，故只有/m，故 B 正 确 选项 C中，由面面垂直的判定定理可得 C正确 选项 D中，由题意得 ,m n的关系可能平行、相交、垂直故 D不正确 综上可知选项 D不正确选
10、 D 二、多选题二、多选题 9如图，在四棱锥如图，在四棱锥BACDE中，中， /AECD， 2CDAE，点，点 ,M N分别为分别为,BE BA 的中点，若的中点，若DMCNP，DECAQ，则下述正确的是（，则下述正确的是（ ） ADM DEDB uuu u ruuu ruuu r B直线直线DE与与BC异面异面 C /MNCD D , ,B P Q三点共线三点共线 【答案】【答案】BCD 【解析】【解析】对于A， 1 () 2 DMDEDB ；对于B，由条件可知直线DE与BC是异面直 第 6 页 共 22 页 线；对于C，由/ /MNAE，/AECD，得/MNCD；对于D，B，P，Q是平面
11、ABC和平面BDE的公共点，从而B，P，Q三点共线 【详解】 解：在四棱锥BACDE中，/AECD，2CDAE， 点M，N分别为BE，BA的中点，DM CNP ，DE CAQ ， 对于A， 1 () 2 DMDEDB，故A错误； 对于B，DE 平面ACDE，BCI平面ACDE于C，CDE， 由异面直线判定定理得直线DE与BC是异面直线，故B正确； 对于C，点M，N分别为BE，BA的中点，/MNAE， /AECD，/MNCD，故C正确； 对于D， DMCNP ，DE CAQ ，平面ABC平面BDEB， B，P，Q是平面ABC和平面BDE的公共点， B，P，Q三点共线，故D正确 故选：BCD 【点
12、睛】 本题考查命题真假的判断，空间向量加法定理、异面直线判定定理、平行公式、平面的 基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 10 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况， 对随机抽出的编号为某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况， 对随机抽出的编号为11000 的的1000名学生进行了调查名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问：您的编号是否为奇数？问 题题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球 100个，红个
13、，红球球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答，若摸出红球则回答 问题问题2，共有，共有270人回答人回答“是是”，则下述正确的是（，则下述正确的是（ ） A估计被调查者中约有估计被调查者中约有520人吸烟人吸烟 B 估计约有估计约有20人对问题人对问题2的回答为的回答为“是 是” C估计该地区约有估计该地区约有4%的中学生吸烟的中学生吸烟 D估计该地区约有估计该地区约有2%的中学生吸烟的中学生吸烟 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为 1 2 ，其编号是奇数的概率也是 1 2 ，计算
14、可得随机抽出的1000名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数， 由此 求出回答第二个问题且为是的人数，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而估 计出被调查者中吸烟的人数，判断选项可得结论 第 7 页 共 22 页 【详解】 随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是 1 2 ， 其编号是奇数的概率也是 1 2 ， 所以回答问题1且回答是的人数为 11 1000250 22 ； 所以回答第二个问题，且为是的人数27025020； 由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为 20 4% 500 ； 估计被调查者中约有1000 4%40人吸烟； 故表述正确的是 BC 故选：BC 【点睛】
15、本题考查了简单随机抽样方法的应用问题，是中档题 11 如图， 在平行四边形如图， 在平行四边形ABCD中，中， ,E F分别为线段分别为线段,AD CD的中点，的中点，AFCEG， 则（则（ ） A 1 2 AFADAB B 1 () 2 EFADAB C 21 33 AGADAB D 3BGGD 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得 1 2 AFADAB、 1 () 2 EFADAB、 21 33 AGADAB、 2BGGD ，即可判断选项的正误 【详解】 11 22 AFADDFADDCADAB ，即 A正确 11 ()() 22 EFEDDFADDC
16、ADAB，即 B正确 连接 AC，知 G 是ADC的中线交点， 如下图示 第 8 页 共 22 页 由其性质有 |1 |2 GFGE AGCG 211121 () 333333 AGAEACADABBCADAB，即 C 错误 同理 21212 ()() 33333 BGBFBABCCFBAADAB 211 () 333 DGDFDAABDA，即 1 () 3 GDADAB 2BGGD ，即 D 错误 故选：AB 【点睛】 本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分 中线为 1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系 12如图，线段如图，
17、线段AB为圆为圆O的直径，点的直径，点E，F在圆 在圆O上，上，/EFAB，矩形，矩形ABCD所所 在平面和圆在平面和圆O所在平面垂直，且所在平面垂直，且2AB ，1EFAD，则下述正确的是（，则下述正确的是（ ） A/OF平面平面BCE BBF 平面平面ADF C点点A到平面到平面CDFE的距离为的距离为 21 7 D三棱锥三棱锥CBEF外接球的体积为外接球的体积为5 【答案】【答案】ABC 【解析】【解析】由1EFOB，/EFOB，易证/OF平面BCE，A 正确； 第 9 页 共 22 页 B， 由所矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直， 易证AD 平面ABEF，所以 ADBF，由线段A
18、B为圆O的直径，所以BFFA，易证故 B 正确. C，由 C DAFA CDF VV 可求点A到平面CDFE的距离为 21 7 ，C正确. D，确定线段DB的中点M是三棱锥CBEF外接球心，进一步可求其体积，可判断 D错误. 【详解】 解：1EFOB，/EFOB，四边形OFEB为平行四边形，所以/ /OFBE， OF 平面BCE，BE 平面BCE，所以/OF平面BCE，故 A 正确. 线段AB为圆O的直径，所以BFFA， 矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，平面ABCD平面ABEFAB，AD 平面 ABCD，所以AD 平面ABEF，BF 平面ABEF，所以ADBF AD 平面ADF，AF
19、平面ADF，ADAFA， 所以BF 平面ADF，故 B正确. 1OFOEEF，OFE是正三角形，所以 1EFBEAF， /DABC，所以BC平面ABEF，BCBF， 3BF ， 22 3 12CFCBBF ， 22 1 12DFDAAF ， 2ABCD，CDF是等腰三角形，CDF的边DF上的高 2 2 22 214 2 222 DF CF ， 1147 2 222 CDF S ， /DABC，AD 平面ADF，BC 平面ADF， / /BC平面ADF，点C到平面ADF的距离为 3BF ， 11 1 1 22 DAF S ， C DAFA CDF VV ， 设点A到平面CDFE的距离为h， 第
20、10 页 共 22 页 11 33 ADFCFD SFBSh ， 1117 3 3232 h， 所以 21 7 h ，故 C正确. 取DB的中点M，则/MOAD， 1 2 MO ，所以MO平面CDFE， 所以 2 15 1 22 MEMFMBMC 所以M是三棱锥CBEF外接球的球心，其半径 5 2 ， 三棱锥CBEF外接球的体积为 3 3 4455 5 3326 Vr ，故 D 错误， 故选：ABC. 【点睛】 综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题. 三、填空题三、填空题 13已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为 120120，且，且 1a，3b ，则
21、，则5ab_ 【答案】【答案】7 【解析】【解析】由题意得， 2 33 cos ,(5)2591049 22 a ba ba bab 则5ab7 14在三棱锥在三棱锥ABCD中，若平面中，若平面ABC 平面平面BCD， ，BDCD且且BDCD.则直则直 线线CD与平面与平面ABC所成角的大小为所成角的大小为_. 【答案】【答案】 4 ； 第 11 页 共 22 页 【解析】【解析】 过D作DOBC， 交BC于O， 推导出O是BC中点，且DO 平面ABC， 从而直线CD与平面ABC所成角为DCB， 由此能求出直线CD与平面ABC所成角 的大小 【详解】 过D作DOBC，交BC于O， 在三棱锥AB
22、CD中，平面ABC 平面BCD，BDCD且BDCD， BCD为等腰直角三角形，O是BC中点，且DO 平面ABC， 直线CD与平面ABC所成角为DCB， 在等腰直角三角形BCD中 4 DCB ， 直线CD与平面ABC所成角的大小为 4 故答案为： 4 【点睛】 本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 15设角设角 , ,A B C是 是ABC的三个内角，已知向量的三个内角，已知向量sinsin,sinsinmACBA， sinsin,sinnACB，且，且m n .则角则角C的大小为的大小为_. 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】
23、先利用 0m n 得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cosC， 即得角C. 【详解】 因为sinsin,sinsinmACBA，sinsin,sinnACB，且m n 所以 sinsinsinsinsinsinsin0m nACACBAB 即 222 sinsinsinsinsinABCAB 根据正弦定理得 222 abcab 第 12 页 共 22 页 故根据余弦定理知 222 cos 1 22 abc C ab ，又因为 0,C 得 3 C 故答案为： 3 . 【点睛】 本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题. 四、双空题四、双空题 16某人
24、有某人有3把钥匙，其中把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打 开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为_；如果试过的钥匙又；如果试过的钥匙又 混进去，第二次才能打开门的概率为混进去，第二次才能打开门的概率为_. 【答案】【答案】 1 3 2 9 【解析】【解析】 不能打开门的钥匙扔掉， 第二次才能打开门， 即为第一次取了开不了门的钥匙， 余下两把则一定可以开门，即可求出概率；试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门， 即为两次取钥匙互为独立事件，即可求出概率 【详解】 有3把
25、钥匙，其中2把能打开门，随机地取一把钥匙试着开门 1、把不能打开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为 1 3 ，第二 次一定能打开，所以它的概率是 1 3 2、试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为 1 3 ，第二次能 打开的概率 2 3 ，所以它的概率是 122 339 故答案为： 1 3 ； 2 9 【点睛】 本题考查了有放回与不放回试验的概率，不放回：前后事件是相关事件，即后发生事件 的概率随前一事件的发生而改变；而有放回：前后事件相互独立，概率始终保持不变 五、解答题五、解答题 17已知已知i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 1234 1 ii
26、i,1 i, i1 i ZZZZ . （1）求）求 1234 |,|,|,|ZZZZ； 第 13 页 共 22 页 （2）随机从复数）随机从复数 234 ,ZZ Z中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积 等于等于1的概率的概率. 【答案】【答案】 （1） 1 1Z ； 2 2Z； 3 2Z ； 4 2 2 Z； （2） 4 9 . 【解析】【解析】 （1）化简 34 ,Z Z，再根据复数的模的公式计算即可得答案； （2） 根据古典概型的方法列举基本事件及两个复数的模之积等于1包含的事件， 再根据 公式计算即可. 【详解】 解： （1
27、）由题意知： 1 1Z 2 1 12Z 3 1 11Zi i ， 3 1 12Z 2 4 2 (1)1 1(1)(1)12 iiiiii Z iiii ， 4 112 442 Z （2）设随机从复数 234 ,ZZ Z中有放回的任取两个复数的样本点为( , )a b， 则该随机试验的样本空间为 2223243233 (,),(,),(,),(,),(,),Z ZZ ZZ ZZ ZZ Z 34424344 (,),(,),(,),(,)Z ZZ ZZ ZZ Z 所以( )9n 设事件A “所取两个复数的模之积等于1”， 则事件 24344243 (,),(,),(,),(,)AZ ZZ ZZ Z
28、Z Z，所以( )4n A 所以 ( )4 ( ) ( )9 n A P A n . 【点睛】 本题考查复数的运算与古典概型问题，考查运算能力，是基础题. 18如图，在几何体如图，在几何体ABCDEF中，四边形中，四边形ABCD为平行四边形， 为平行四边形，G为为FC的中点，的中点， 平面平面ABFE平面平面CDEFEF，M为线段为线段CD上的一点，上的一点，BMFC，BFC是是 等边三角形等边三角形. 第 14 页 共 22 页 （1）证明：）证明：/AF平面平面BDG； （2）证明：）证明：/AB EF； （3）证明：平面）证明：平面BGM平面平面BFC . 【答案】【答案】 （1）证明见
29、解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）连接AC交BD于O点，连接OG，根据线面平行的判定定理，即可证明 结论成立； （2）根据线面平行的性质定理，即可判定线线平行； （3）根据线面垂直的判定定理，证明FC 平面BGM，再由面面垂直的判定定理， 即可证明面面垂直. 【详解】 （1）在平行四边形ABCD中，连接AC交BD于O点， 则O为AC的中点，连接OG， 因为点G为CF中点， 所以OG为AFC的中位线， 所以/OG AF； 所以AF 平面BDG，OG 平面BDG， 所以/AF平面BDG； （2）因为/AB CD，AB平面CDEF，CD 平面CDEF， 所以/A
30、B平面CDEF， 因为AB平面ABFE，平面ABFE平面CDEFEF 第 15 页 共 22 页 所以/AB EF； （3）因为BFC为正三角形，点G为CF中点，所以BGFC； 又因为BMFC，BGBMB， 所以FC 平面BGM； 又因为FC 平面BFC； 所以，平面BGM平面BFC. 【点睛】 本题主要考查证明线面平行，证明线线平行，证明面面垂直，熟记判定定理以及性质定 理即可，属于常考题型. 19在在 1 sinsin 4 BC ； 2 3 tantan 3 BC这两个条件中任选一个，补充到下这两个条件中任选一个，补充到下 面问题中，并进行作答面问题中，并进行作答. 在在ABC中， 内角中
31、， 内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c， 1 tantan 3 BC ， 2 3a ， . （1）求角）求角, ,A B C的大的大小；小； （2）求）求ABC的周长和面积的周长和面积. 【答案】【答案】选择见解析； （1） 2 3 A ； 6 BC ； （2）周长为4 2 3 ；面积3. 【解析】【解析】 （1）若选择，首先得出 3 coscos 4 BC ，然后算出cos()BC和cos()BC 即可，若选择，求出 3 tantan 3 BC即可； （2）由正弦定理算出2bc即可. 【详解】 （1）若选择： 因为 1 tantan 3 BC ， 1 sinsin
32、4 BC ，所以 3 coscos 4 BC 所以 1 cos()coscossinsin, 2 BCBCBC 因为(0, )BC，所以 3 BC ， 2 3 A 又因为cos()coscossinsin1BCBCBC，(,) 3 3 BC 第 16 页 共 22 页 所以0BC， 6 BC 若选择： 设tan,tanBC为方程， 2 2 31 0 33 xx的两根 解得 3 tantan 3 BC，且 ,(0, )B C 所以 6 BC 所以 2 () 3 ABC （2）由正弦定理知： sinsinsin abc ABC 因为 2 3 A ， 6 BC ， 2 3a 所以2bc 所以ABC的
33、周长为42 3 所以ABC的面积 1 sin3 2 ABC SbcA 【点睛】 本题考查的是三角恒等变换、正弦定理和三角形的面积公式，考查了学生对基础知识的 掌握情况和计算能力. 20如图，在半圆柱如图，在半圆柱W中，中，AB为上底面直径，为上底面直径，DC为下底面 为下底面直径，直径，AD为母线，为母线， 2ABAD，点，点F在在AB上，点上，点G在在DC上，上，1BFDG，P为为DC的中点的中点. （1）求三棱锥）求三棱锥A DGP的体积；的体积； （2）求直线）求直线AP与直线与直线BF所成角的余弦值；所成角的余弦值； （3）求二面角）求二面角A GCD的正切值的正切值. 第 17 页
34、共 22 页 【答案】【答案】 （1） 3 6 ； （2） 5 10 ； （3）2. 【解析】【解析】 （1）求出底面面积与高，然后求解 A DGP V （2）过F点作圆柱的母线FH交DC于H，说明APG为直线AP与BF所成的角， 通过求解三角形推出结果 （3）说明AGD为二面角A GCD的平面角，通过求解三角形推出二面角 A GCD的正切值 【详解】 解： （1）由题意知，DPG为正三角形，1DPDGPG 所以 13 =1 1 sin60 24 DGP S 因为AD为圆柱的母线， 所以AD 平面DCG 所以 A DGP V 13 36 DGP SAD （2）过F点作圆柱的母线FH交DC于H
35、因为FH与BC均为圆柱的母线，所以/FHBC且FHBC， 所以四边形BCHF为平行四边形， 所以/FBHC且1FBHC， 所以PCH为正 三角形 又因为DPG为正三角形，所以60HCPGPD，/CHGP 所以/BFCHGP，所以APG为直线AP与BF所成的角 在APG中，5,1,5AGGPAP 第 18 页 共 22 页 所以由余弦定理知： 222 15 cos 2102 5 APGPAG APG AP GP 所以直线AP与直线BF所成角的余弦值为 5 10 （3）因为AD 平面DCG，CG 平面DCG，所以CGAD 又因为,CGDG ADDGD， 所以CG 平面ADG 所以,CGAG CGD
36、G，因此AGD为二面角A GCD的平面角 在Rt ADG中，2AD ，1DG ，tan2 AD AGD DG 所以二面角A GCD的正切值为2 【点睛】 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，考 查空间想象能力以及计算能力，属于中档题 21有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百 （即百 万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检条鱼，检 验鱼体中的汞含量验鱼体中的汞含
37、量与其体重的比值（单位：与其体重的比值（单位：ppm） ，数据统计如下：） ，数据统计如下： 0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.82 0.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.20 1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68 （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；分位数； （2）有）有A，B两个水池，两水池之间有两个水池，两水池之间有10
38、个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在 水下，且可以同时通水下，且可以同时通过过2条鱼条鱼. （）将其中汞的含量最低的）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入条鱼分别放入A水池和水池和B水池中，若这水池中，若这2条鱼的游动条鱼的游动 相互独立，均有相互独立，均有 1 3 的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概 率；率； （） 将其中汞的含量最低的） 将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入条鱼都先放入A水池中， 若这水池中， 若这2条鱼均会独立地且等可条鱼均会独立地且等可 能地从其中任意一个小
39、孔由能地从其中任意一个小孔由A水池进入水池进入B水池且不再游回水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同水池，求这两条鱼由不同 小孔进入小孔进入B水池的概率水池的概率. 【答案】【答案】 （1）中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分 第 19 页 共 22 页 位数约为1.34； （2） （） 4 9 ； （） 9 10 . 【解析】【解析】(1)由中位数排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数出现频 率最高的数、极差最大数与最小数的差；p百分比位数数据集中有 n 个数：当 np 为整数时 1 2 npnp xx ， 当 np 不为整数时 1np x ； 即
40、可求出对应值； (2) （） 记A： “两 鱼最终均在A水池”； B：“两鱼最终均在B水池”求出概率，由它们的互斥性即可 求得两条鱼最终在同一水池的概率； （）记 n C：“两鱼同时从第 n个小孔通过”且鱼 的游动独立，知 1 () 100 n P C，而 10 个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的 概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率 【详解】 解： （1）由题意知，数据的中位数为 0.98 1.02 1 2 数据的众数为0.82 数据的极差为1.68 0.071.61 估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.34 2 （2） （）记“两
41、鱼最终均在A水池”为事件A，则 212 ( ) 339 P A 记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则 212 ( ) 339 P B 事件A与事件B互斥， 两条鱼最终在同一水池的概率为 224 ()( )( ) 999 P ABP AP B （）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件 1 C，“两鱼同时从第二个小孔通过” 为 事件 2 C，依次类推；而两鱼的游动独立 12 111 ()() 1010100 P CP C 记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C，则C与 1210 .CCC对立，又由 第 20 页 共 22 页 事件 1 C，事件 2 C， 10 C互斥 1210 11 ( )(.
42、)10 10010 P CP CCC 即 1210 9 ( )1(.) 10 P CP CCC 【点睛】 本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概 念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一 个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生 22某学校高一某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到 分到100分之间分之间.学生成绩的频学生成绩的频 率分布直方图如图：率分布直方图如图： （1）估计这）估计这100名学生分数的中位数与平均数； （精确到名学生分数的中位数与平均数； （精确到0.
43、1） （2）某老师抽取了）某老师抽取了10名学生的分数：名学生的分数： 12310 ,.,x x xx，已知这，已知这10个分数的平均数个分数的平均数 90 x ，标准差，标准差6s ，若剔除其中的，若剔除其中的100和和80两个分数，求剩余两个分数，求剩余8个分数的平均数与个分数的平均数与 标准差标准差.（参考公式：（参考公式： 22 1 n i i xnx s n ） （3）该学校有）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为米，东西长均为60米，南北米，南北 宽均为宽均为20米米.其中其中1号教学楼在号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为号教
44、学楼的正南且楼距为40米，米，3号教学楼在号教学楼在2号教号教 学楼的正东且楼距为学楼的正东且楼距为72米米.现有现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 35,55,105米， 每个售价相应依次为 米， 每个售价相应依次为1500,2000,4000元元.若屏蔽仪可在地下及地上任若屏蔽仪可在地下及地上任 意位置安装且每个安装费用均为意位置安装且每个安装费用均为100元， 求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小元， 求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小 花费花费.（参考数据：（参考数据： 222 21044100,19236864,1
45、1012100） 第 21 页 共 22 页 【答案】【答案】（1） 中位数为71.4； 平均数为71；（2） 平均数为90； 标准差为2 5；（3）3700 元. 【解析】【解析】 （1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分； （2）由题意，求出剩余 8个分数的平均值，由 10个分数的标准差，能求出剩余 8个分 数的标准差； （3）求出将 3 座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小 直径和将 1 号教学楼与 2号教学楼完全包裹的球的最小直径， 由此能求出让各教学楼均 被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费 【详解】 （1）因为0.05 0.15 0.250.450.5 0.
46、05 0.15 0.25 0.350.80.5 所以中位数为x满足7080 x 由 80 () 0.350.1 0.10.5 10 x ，解得 60 8071.4 7 x 设平均分为y， 则0.05 450.15 550.25 650.35 750.1 850.1 9571y （2）由题意，剩余8个分数的平均值为 0 1010080 90 8 x x 因为10个分数的标准差 10 22 1 10 (90) 6 10 i i x s 所以 2222 110 .10 (6)10 (90)81360 xx 所以剩余8个分数的标准差为 22222 110 0 .)801008 (90) 8 xx s
47、（ 202 5 （3）将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为： 222 19280204366444100210 因此若用一个覆盖半径为105米的屏蔽仪则总费用为4100元； 将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为 222 2020604400490070 因此若用3个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为4800元； 第 22 页 共 22 页 将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为： 222 2080601040012100110 又因为 222 20806010400490070 因此若用1个覆盖半径为55米和1个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为3700元； 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3700元. 【点睛】 本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求
