1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年山东省烟台市高一下学期期末学业水平诊断学年山东省烟台市高一下学期期末学业水平诊断 数学试题数学试题 一、单选题一、单选题 1若复数若复数z满足满足(1 ) i zi（i为虚数单位） ，则为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点位于（在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用已知化简复数z，可得z在复平面内对应的点以及所在的象限 【详解】 1111 (1) , 111222 iiii i zizi iii ， 则z在复平面内对应的点位于第二象
2、限 故选：B 【点睛】 本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题 2抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A “ “第一枚硬币正面向上第一枚硬币正面向上”，设事件，设事件B “第第 二枚硬币正面向上二枚硬币正面向上”，则（，则（ ） A事件事件A与与B互为对立事件互为对立事件 B件件A与与B为互斥事件为互斥事件 C事件事件A与事件与事件B相等相等 D事件事件A与与B相互独立相互独立 【答案【答案】D 【解析】【解析】 事件A发生与否与事件B无关， 事件B发生与否与事件A无关， 从而事件A与 事件B相互独立 【详解】 解：抛掷两枚质地均匀的硬币， 设事件A “第一枚硬
3、币正面向上”， 设事件B “第二枚硬币正面向上”， 事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关， 事件A与事件B相互独立 故选：D 【点睛】 本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义 第 2 页 共 19 页 等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 3为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向 各学校开展了一次随机调查， 并绘制得到如下统计图， 则采用各学校开展了一次随机调查， 并绘制得到如下统计图， 则采用“直播录播直播录播”方式进行方式进行
4、 线上教学的学校占比约为（线上教学的学校占比约为（ ） A22.5% B27.5% C32.5% D375%. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据统计图中直播和录播的学校数量，求出直播所占百分比，即可得出“直播 录播”所占比例. 【详解】 由题意，设直播所占的百分比为x， 根据统计图可得： 3930 25%x ，解得32.5%x ， 因此采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为 1 325% 25% 15%=27.5%. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查统计图的实际应用，属于基础题型. 4ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c， 若， 若ABC的面积为
5、的面积为 222 4 3 abc ， 则则C （ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由已知利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式可得 3 tan 3 C =，结合范围 (0, )C ，可得C的值 【详解】 第 3 页 共 19 页 由题意可得 222 12cos sin 24 34 3 abcabC abC ， 可得 3sincosCC ，可得 3 tan 3 C =， 由于(0, )C， 可得 6 C 故选：D 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式在解三角形中 的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的
6、关键，属于基础题 5在在ABC中，中，AD为为BC边上的中线，边上的中线，E为 为AD的中点，则的中点，则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 11 22 BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 BCBAAC ，之后将其合并，得到 31 44 BEBAAC，下一步应用相反向量，求 得 31 44 EBABAC，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBAB
7、AAC 11131 24444 BABAACBAAC， 第 4 页 共 19 页 所以 31 44 EBABAC，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中 线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程 中，需要认真对待每一步运算. 6某市从某市从 2017 年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生 物、政治、历史、地理六门课中任选物、政治、历史、地理六门课中任选 3 门作为等级考科目门作为等级考科目.已知该市高中已知该市高中 201
8、7 级全体学级全体学 生中，生中， 81%选考物理或历史，选考物理或历史，39%选考物理，选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史，则该市既选考物理又 选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（ ） A9% B19% C59% D69% 【答案】【答案】A 【解析】【解析】画出示意图，根据各自所占的比例即可求解结论 【详解】 解： ； 由题可得：81%ABC； 51%AB； 39%BC； 51%39%81%9%； 故选：A 【点睛】 本题考查简单随机抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 7已知三条不重合的直线已知三条不重合的直线m，n，
9、l，三个不重合的平面 ，三个不重合的平面，则（，则（ ） A若若/m n，n，则，则/m B若若l，m ，lm，则，则/ C若若 ，l ，则，则l D若若m ，n，/m，n/，则，则/ 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定 A、B 项；利用面面垂直 第 5 页 共 19 页 的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得 C正确；由面面平行的判定定理，可判定 D 不正确. 【详解】 对于 A中，若/m n，n，则/m或m，所以 A项不正确； 对于 B中，若l，m，lm，则/ 或与相交，所以 B项不正确； 对于 C中，设, ab，在平面内任取一点P，作,PA
10、a PBa，垂 足分别为,A B，由面面垂直的性质定理，可得,PAl PBl， 又因为PAPBP，可得l，所以 C 项正确； 对于 D中，若m，n，/m，n/，只有 ,m n相交时，才有 / ，所以 D项不正确. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明， 其中解答中熟记空间中的直线与直 线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考 查推理与论证能力，属于中档试题. 8人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作 ，隐性基因记作 b：成对的基因中，只要出
11、现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮双眼皮”的的 充要条件是充要条件是“基因对是基因对是BB，bB或或Bb”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来） 也是由一对基因对决定的也是由一对基因对决定的.分别用分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现 了显性基因了显性基因D，就一定是卷舌的，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不 干扰干扰.若有一对夫妻，两若有一对夫妻，两人
12、决定眼皮单双和舌头形态的基因都是人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd，不考虑基因突，不考虑基因突 变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ） A 1 16 B 3 16 C 7 16 D 9 16 【答案】【答案】B 【解析】【解析】两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd，不考虑基因突变，基本事件 总数 4 216n ，利用列举法求出他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有 3 种情 况，由此能求出他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率 【详解】 解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰有一对夫妻， 两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd， 第 6
13、页 共 19 页 不考虑基因突变，基本事件总数 4 216n ， 他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有 3种情况，分别为： ()bbDD，()bbDd，(,)bb dD， 他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为 3 16 P 故选：B 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基 础题 二、多选题二、多选题 9下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A若复数若复数zR，则，则z R B若复数若复数z满足满足 2 z R，则 ，则zR C若复数若复数z满足满足 1 R z ，则，则zR D若复数若复数 1 z，
14、 2 z满满足足 1 2 z zR，则，则 12 zz 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A选项，设复数 ( ,)zabi a bR ，则( i,)zab a bR，因为zR，所以0b， 因此z aR ，即 A正确； B选项，设复数 ( ,)zabi a bR ，则 2 222 2zabiababi， 因为 2 z R，所0ab ，若0,0ab，则zR；故 B错； C选项，设复数 ( ,)zabi a bR ，则 222222 11abiab i zabiababab ， 因为 1 R z ，所以 22 0 b ab
15、，即0b，所以zaR；故 C 正确； D选项，设复数 1 ( ,)zabi a bR ， 2 ( ,)zcdi c dR ， 则 1 2 z za bicdiac bdadbc i， 因为 1 2 z zR， 所以0adbc， 若 1 1 a b ， 2 2 c d 能满足0adbc， 但 12 zz， 故 D 错误. 故选：AC. 第 7 页 共 19 页 【点睛】 本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型. 10给定一组数给定一组数 5，5，4，3，3，3，2，2，2， ，1，则（，则（ ） A平均数为平均数为 3 B标准差为标准差为 8 5 C众数为众数为 2
16、 和和 3 D第第 85 百分位数百分位数 为为 4.5 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】根据平均数，方差、标准差的计算公式，可判定 A、B项；由众数和百分位数 的概念，可判定 C、D，即可求解. 【详解】 由平均数的计算公式，可得数据的平均数为 1 (554333222 1)3 10 x ，所以 A 项正确； 由方差的公式，可得 22222 13 (53)(53)(43)(1 3) 102 s ， 所以标准差为 6 2 s ，所以 B 项不正确； 根据众数的概念，可得数据的众数为2和3，所以 C 项正确； 根据百分位数的概念，可得第 85百分位数：从大到小排序的第 8和第 9个数据的平
17、均 数值，即为 22 2 2 ，所以 D项不正确. 故选：AC. 【点睛】 本题主要考查了平均数，标准差的计算，以及众数与百分位数的概念及应用，其中解答 中熟记平均数和方差的计算公式，以及众数与百分位数的概念是解答的关键，属于基础 题. 11如图，在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABCD中，点中，点P为线段为线段 1 BC上一动点，则（上一动点，则（ ） A直线直线 1 BD 平面 平面 11 AC D 第 8 页 共 19 页 B异面直线异面直线 1 BC与与 11 AC所成角为所成角为45 C三棱锥三棱锥 11 PADC的体积为定值的体积为定值 D平面平面 11 AC D与底面与
18、底面ABCD的交线平行于的交线平行于 11 AC 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】由直线与平面垂直的判定及性质得到 111 ACBD， 11 DCBD，得到直线 1 BD 平面 11 AC D，判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行 说明P到平面 11 AC D的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确 【详解】 1111 ACB D， 111 ACBB， 1111 BDBBB， 11 AC平面 11 BB D，则 111 ACBD，同理 11 DCBD， 1111 ACDCC ，直线 1 BD 平面 11 AC D，故A正确； 11/ / ABCD，
19、 11 ABCD，四边形 11 DABC为平行四边形， 则 11 / /BCAD，则 11 DAC为异面直线 1 BC与 11 AC所成角，为60，故B错误； 11 / /BCAD， 1 AD 平面 11 AC D， 1 BC 平面 11 AC D， 1 / /BC平面 11 AC D 可得P到平面 11 AC D的距离为定值，即三棱锥 11 PADC的体积为定值，故C正确； 11/ / AC 平面ABCD， 11 AC 平面 11 AC D，设平面 11 AC D与底面ABCD的交线为l， 由直线与平面平行的性质，可得平面 11 AC D与底面ABCD的交线平行于 11 AC，故D正 确 故
20、选：ACD 【点睛】 第 9 页 共 19 页 本题考查空间图形中直线与直线成角、线面平行的性质与判断，线面垂直的判断以及锥 体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题 12已知甲罐中有四个相同的小球，标号为已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 1， ，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，；乙罐中有五个相同的小球， 标号为标号为 1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，记事件个小球，记事件A “抽取抽取 的两个小球标号之和大于的两个小球标号之和大于 5”， 事件， 事件B “抽取的两个小球标号之积大于抽取的两个小球标号之积大于 8”，
21、 则 （， 则 （ ） A事件事件A发生的概率为发生的概率为 1 2 B事件事件AB发生的概率为发生的概率为 11 20 C事件事件AB发生的概率为发生的概率为 2 5 D从甲罐中抽到标号为从甲罐中抽到标号为 2 的小球的概率为的小球的概率为 1 5 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】根据题意，分别列举出事件A和事件B所包含的基本事件，再逐项判断，即 可得出结果. 【详解】 由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 11 45 20C C 个基本事件； “抽取的两个小球标号之和大于 5”包含的基本事件有：1,5，1,6，2,5，2,6， 3,3，3,5，3,6，4,2，4,3
22、，4,5，4,6，共11个基本事件； “抽取的两个小球标号之积大于 8”包含的基本事件有：2,5，2,6，3,3，3,5， 3,6，4,3，4,5，4,6，共8个基本事件； 即事件B是事件A的子事件； 因此事件A发生的概率为 11 20 ，故 A 错； 事件AB包含的基本事件个数为11个， 所以事件AB发生的概率为 11 20 ； 故 B正确； 事件AB包含的基本事件个数为8个，所以事件AB发生的概率为 82 205 ，故 C 正确； 从甲罐中抽到标号为 2的小球，包含的基本事件为：2,1，2,2，2,3，2,5， 2,6共5个基本事件，故从甲罐中抽到标号为 2 的小球的概率为 1 5 ，即
23、D 错误. 故选：BC. 【点睛】 第 10 页 共 19 页 本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型. 三、填空题三、填空题 13若向量若向量(1,1)a ，(1,2)b ，且，且()abb ，则实数，则实数的值为的值为_ 【答案】【答案】 3 5 【解析】【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数的值 【详解】 解：向量(1,1)a ，(1,2)b ，且()abb， 2 ()(12)50ab ba bb， 则实数 3 5 ， 故答案为： 3 5 【点睛】 本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题 14某工厂有某工厂有A，B，C三个车间，三个车间，A车间
24、有车间有 600 人， 人，B车间有车间有 500 人人.若通若通过比例分过比例分 配的分层随机抽样方法得到一个样本量为配的分层随机抽样方法得到一个样本量为 30 的样本， 其中的样本， 其中B车间车间 10 人， 则样本中人， 则样本中C车车 间的人数为间的人数为_ 【答案】【答案】8 【解析】【解析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中A车间的人数，进而可求出 C车间的人数. 【详解】 因为B车间有 500 人，样本中B车间 10 人，所以抽样比为 101 50050 ， 因此A车间抽取的人数为 1 60012 50 ， 所以样本中C车间的人数为30 10 128. 故答案为：8.
25、 【点睛】 本题主要考查分层抽样，属于基础题型. 15已知某运已知某运动员每次投篮命中的概率为动员每次投篮命中的概率为 0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三，现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率： 在次投篮恰有两次命中的概率： 在R软件的控制平台， 输入软件的控制平台， 输入“sample （0： 999， 50， replace F）”，按回车键，得到，按回车键，得到 0999 范围内的范围内的 50 个不重复的整数随机数，指定个不重复的整数随机数，指定 0，1，2， 第 11 页 共 19 页 3，4，5 表示命中，表示命中，6，7，8，9 表示未命中，再以每
26、个随机整数（不足三位的整数，其表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其 百位或十位用百位或十位用 0 补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰 有两次命中的概率为有两次命中的概率为_ 【答案】【答案】0.46 【解析】【解析】利用列举法求出得到0 999范围内的 50个不重复的整数随机数中表示该运动 员三次投篮恰有两次命中的随机数有 23 个，由此能求出该运动员三次投篮恰有两次命 中的概率 【详解】 解：按回车键，得到0 999范围内的 50个不重复的整数随机数， 其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的
27、随机数有 23 个，分别为： 560，61，271，128，182，262，830，655，285，27，473，635，390，653，702，258， 329，170，46，921，357，581，280， 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 23 0.46 50 P 故答案为：0.46 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基 础题 16 已知三棱锥已知三棱锥PABC内接于半径为内接于半径为 5 的球，的球，90ACB， ，7AC ，15BC =， 则三棱锥则三棱锥PABC体积的最大值为体积的最大值为_ 【答案】【答案】 28 15 3 【
28、解析】【解析】要使三棱锥PABC的体积最大，则平面PAB 平面ABC，且P在底面 ABC上的射影为AB中点O，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解 即可 【详解】 解：如图，在三角形ABC中，由90ACB，7AC ，15BC =， 得49158AB ， 第 12 页 共 19 页 要使三棱锥PABC的体积最大，则平面PAB 平面ABC，且P在底面ABC上的 射影为AB中点O， 连接PO并延长，交三棱锥PABC的外接球于D，则PD为球的直径， 设POh，则 (10)4 416hh ，解得2h（舍)或8h 三棱锥的体积的最大值为 1128 15 7158 323 故答案为： 28 15
29、 3 【点睛】 本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17已知点已知点 ,2A m ，1,1B，2,4C. （1）若）若|CACB最小，求实数最小，求实数m的值：的值： （2）若）若CA与与CB夹角的余弦值为夹角的余弦值为 5 5 ，求实数，求实数m的值的值. 【答案】【答案】 （1）3m； （2）4m或12m. 【解析】【解析】 （1）可得出(2, 2),( 1, 3)CAmCB ，从而得出 2 |(3)25CACBm，从而可得出|CACB取最小值时m的值； （2）根据题意即可得出 2 85 5 (2)410 m m ，然后解出m的值
30、即可 【详解】 解： （1）由题意，(2, 2)CAm，( 1, 3)CB 于是(3, 5)CACBm， 所以 2 |(3)255CACBm， 所以|CACB的最小值为 5， 第 13 页 共 19 页 此时3m； （2）由 2 8 cos, | | (2)410 CA CBm CA CB CACB m ， 得 2 85 5 (2)410 m m ， 化简得 2 8480mm，解得4m或12m . 【点睛】 本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹 角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题 18 已知已知ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a
31、， ，b，c， 且， 且coscos3cA aCa. （1）求）求 a b 的值：的值： （2）若）若1a ， 6c ，求，求ABC外接圆的面积外接圆的面积. 【答案】【答案】 （1） 1 3 a b ； （2） 27 10 . 【解析】【解析】 （1）利用余弦定理将角化边，计算可得 （2）利用余弦定理求出cosC，再根据同角三角函数的基本关系求出sinC，利用正弦 定理求出外接圆的半径，从而求出圆的面积 【详解】 解： （1）因为coscos3cA aCa，由余弦定理得 222222 3 22 bcaabc caa bcab ， 即3ba，所以 1 3 a b ； （2）因为1a ， 6c
32、，所以3b 所以 222 1 962 cos 22 1 33 abc C ab ， 所以 2 5 sin1 cos 3 CC， 由正弦定理得 63 30 2 sin55 3 c R C ， 第 14 页 共 19 页 所以 2 2 3 3027 1010 SR . 【点睛】 本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和面积公式的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题 19为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每 比赛共分为两轮，每 位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢
33、得比赛位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第已知在第 一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 3 5 ， 3 4 ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的 概率分别为概率分别为 2 3 ， 2 5 .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两）从甲、乙两人中选取人中选取 1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率）若甲、乙两人均参加比赛，求两
34、人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】【答案】 （1）派甲参赛获胜的概率更大； （2） 29 50 . 【解析】【解析】 （1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛 的概率，由此得解 （2）设C表示“甲赢得比赛”， D表示“乙赢得比赛”， C D表示“两人中至少 有一个赢得比赛”， ( )1()1( ) ()P CDP CDP C P D ，由此能求出两人中至少有 一人赢得比赛的概率 【详解】 解： （1）设 1 A “甲在第一轮比赛中胜出”， 2 A “甲在第二轮比赛中胜出”， 1 B “乙在第一轮比赛中胜出”， 2 B “乙在第二轮比赛中胜出”，则 12 A
35、A “甲赢得比赛”， 1212 322 535 P A AP A P A. 12 B B “乙赢得比赛”， 1212 323 4510 P B BP BP B. 因为 23 510 ，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C “甲赢得比赛”，D =“乙贏得比赛”， 则 12 23 ( )11 55 P CP A A ； 12 37 ()11 1010 P DP B B . 第 15 页 共 19 页 于是CD “两人中至少有一人赢得比赛” 3729 ()1()1( ) ()1 51050 P CDP CDP C P D . 【点睛】 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式
36、、对立事件概率计算公式等基础 知识，考查运算求解能力，属于中档题 20在三棱锥在三棱锥PABC中，中，D，E，F分别为棱分别为棱AB， ，CP，AC的中点的中点. （1）求证）求证/PA平面平面DEF； （2）若面）若面PAC 底而底而ABC，BCAC，ACP为等边三角形，求二面角为等边三角形，求二面角 EFDB的大小的大小. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）60. 【解析】【解析】 （1）由/EFPA，即可证明/PA平面DEF； （2）可得FEFD，FCFD，即可得CFE是二面角EFDB 的平面角， 解三角形EFC即可 【详解】 解： （1）证明：因为E，F分别为CP，CA的中点
37、，所以EF为CAP 的中位线， 所以/EF PA， 而EF 平面DEF，PA 平面DEF， 所以/PA平面DEF； （2）因为面PAC 面ABC，面PAC面ABCAC， BC 面ABC，BCAC，所以BC平面PAC， 而/DFBC，所以DF 平面PAC， 所以FEFD，FCFD， 所以CFE是二面角EFDB 的平面角 第 16 页 共 19 页 又ACP 为等边三角形，所以60PAC， 又/EF PA，所以60EFCPAC 所以，二面角EFDB的大小为60 【点睛】 本题考查了空间线面平行的判定、二面角的求解，属于中档题 21 为了解某市家庭用电辑的情况， 该市统计部门随机调查了为了解某市家庭
38、用电辑的情况， 该市统计部门随机调查了 200 户居民去年一年的月 户居民去年一年的月 均用电量 （单位：均用电量 （单位： kW h） ， 并将得到数据按如下方式分） ， 并将得到数据按如下方式分为为 9 组：组：0,40)，40,80)， ， 320,360，绘制得到如下的频率分布直方图：，绘制得到如下的频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在）试估计抽查样本中用电量在160,200)的用户数量；的用户数量； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯 电价，使电价，使75%的
39、居民缴费在第一档，的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费的居民缴费 在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍 五入取整数：范围用左开右闭区间表示）五入取整数：范围用左开右闭区间表示） （3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0,40)和和 320,360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访， 求走访对象来自不同分组的概率 的两组居民用户中随机抽取两户进
40、行走访， 求走访对象来自不同分组的概率. 【答案】【答案】 （1）26； （2）(185,280； （3） 8 15 . 【解析】【解析】 （1）根据频率分布直方图，求出160,200)对应的频率，进而可得用户数量； （2）根据题意，分别求出75%和95%对应的用电量，进而可得出结果； （3）先由题意，得到样本中用电量在0,40)的用户有 4户，设编号分别为 1，2，3，4； 在320,360的用户有 2户，设编号分别为a，b，根据列举法得出总的基本事件个数， 以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】 （1）由直方图可得，样本落在0,40)，40,80)，80,120
41、)，120,160)的频率分别 第 17 页 共 19 页 为 0.02，0.15，0.27，0.23，落在200,240)，240,280)，280,320)，320,360的 频率分别为 0.09，0.06，0.04，0.01. 因此，样本落在160,200)的频率为 1 (0.020.150.270.230.090.060.040.01)0.13 样本中用电量在160,200)的用户数为200 0.1326. （2）因为0.02 0.15 0.27 0.230.67，0.02 0.15 0.27 0.23 0.130.8， 为了使75%的居民缴费在第一档，只需75%对应的用电量位于160
42、,200)内， 于是 0.750.67 16040185 0.80.67 ， 又0.02 0.15 0.27 0.23 0.13 0.09 0.060.95， 所以95%对应的用电量为 280. 所以第二档的范围可确定为(185,280. （3）由题可知，样本中用电量在0,40)的用户有 4户，设编号分别为 1，2，3，4；在 320,360的用户有 2 户，设编号分别为a，b，则从 6 户中任取 2 户的样本空间为： 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1, 1, 2,3 , 2,4 , 2, 2, 3,4 , 3, 3, 4, 4,ababababa b ，共有 15 个样本点. 设事件A
43、 “走访对象来自不同分组”， 则(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(4, ),(4, )Aabababab， 所以( )8n A ，从而 ( )8 ( ) ( )15 n A P A n . 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图的简单应用，考查求古典概型的概率，属于常考题型. 22如图，四边形如图，四边形ABCD是圆柱是圆柱 1 OO的轴截面，点的轴截面，点P为底面圆周上异于为底面圆周上异于A，B的点的点. （1）求证：）求证：PB 平面平面PAD； （2）若圆柱的侧面积为）若圆柱的侧面积为2，体积为，体积为，点，点Q为线段为线段DP上靠近点上靠近点D的三
44、等分点，是的三等分点，是 第 18 页 共 19 页 否存在一点否存在一点P使得直线使得直线AQ与平面与平面BDP所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正 弦值，并指出点弦值，并指出点P的位置；若不存在的位置；若不存在，说明理由，说明理由. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）存在；点P为两个半圆弧AB中点；正弦值为 1. 【解析】【解析】 （1） 由题意， APB90， 即 PBPA， 再由母线 AD底面圆 O， 得 ADPB， 由直线与平面垂直的判定可得 PB平面 PAD； （2）由已知求得圆柱底面半径为与母线长，在PAD中，过 A作 AMD
45、P 交 DP 于 M， 由（1）知 PB平面 PAD，可得 PBAM，进一步得到 AM平面 BDP若 M 不与 Q 重合， AQM 即为直线 AQ与平面 BDP所成角； 若 M 与 Q重合， 且直线 AQ 与平面 BDP 所成角为 90，求得点 P为两个半圆弧 AB 中点由此可得当点 P 为两个半圆弧 AB中 点时，直线 AQ与平面 BDP 所成角最大为 90，正弦值最大为 1 【详解】 解： （1）证明：因为AB是圆 O的直径，点 P 是圆周上一点， 所以90APB，即PBPA， 又在圆柱 1 OO中，母线AD 底面O，PB 底面O， 所以ADPB， 又PAADA，PA平面PAD，AD 平面
46、PAD， 所以PB 平面PAD， （2）设圆柱底面半径为r，母线为l，则 2 22rl r l ，解得 1 1 r l ， 在 PAD 中，过A作AMDP交DP于点M. 由（1）知PB 平面PAD， 因为AM 平面PAD，所以PBAM， 又DPPBP，所以AM 平面BDP. 若M与Q不重合，AQM即为直线AQ与平面BDP所成的角. 若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成的角为90， 设AOP，由对称性，不妨设(0, )， 则在AOP中，2sin 2 AP ， 在Rt ADP中， 2 2sin 2 14sin 2 AM ， 2 22 1 sin 21 2 333 AQADAP . 第 19 页 共 19 页 于是 22 3sin 2 sin 14sin1 sin 22 AM AQM AQ 22 22 33 1 11 4sin524sin5 22 sinsin 22 当且仅当 2 2 1 4sin 2 sin 2 ，即 2 sin 22 ， 2 时，等号成立. 此时，AMAQ，直线AQ与平面BDP所成的角为90，正弦值为 1， 点P为两个半圆弧AB的中点. 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中直线与 平面所成角的最值的求法，属于中档题
