1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（理）学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1如果如果0ab，则下列不等式中成立的为（，则下列不等式中成立的为（ ） ） A1 a b B1ab C1 a b D 11 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】 令2,1ab ，则21 a b ，所以 A错误， 令2,1ab ，则 11 21,ab ab ，所以 BD 选项错误. 由1 aab bb ，其中0,0abb，所以10 aab bb ，所以1 a b
2、成立. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法，属于基础题. 2已知已知2axij，3biy j （i，j不共线） ，若不共线） ，若 /a b，则 ，则xy的值为（的值为（ ） A6 B 2 3 C6 D 2 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题得,ab化简方程 3 , 2 x y 即得解. 【详解】 因为 /a b， 所以,2(3)abxijiy j 所以 3 ,6 2 x xy y . 故选：A 【点睛】 本题主要考查向量平行的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 第 2 页 共 17 页 3ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，
3、b，c，3a ，3b，30A， 则角则角B等于（等于（ ） A30 B30 或或 150 C60 D60 或或 120 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据等腰三角形的性质求得B. 【详解】 由于3ab，等腰对等角，所以AB30. 故选：A 【点睛】 本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题. 4如图，如图，ABC中，已知中，已知2CDDB ，则，则AD （ ） A 12 33 ABAC B 31 44 ABAC+ C 13 44 ABAC+ D 21 33 ABAC 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】 依题意 1121 3333 A
4、DABBDABBCABACABABAC. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 5不等式不等式 2 1 x x 0 的解集是的解集是( ) A 2, +） B,1(2, +） ） C(,1) D(,1)2,+) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为不等式 2 1 x x 0 等价于 (2)(1)0 1 xx x ，解得可知选(,1)2,+)， 选 D 第 3 页 共 17 页 6 数列数列 n a满足：满足： 1 3a ， 2 6a ， 当， 当2n时，时， 11 2 nnn aaa ， 则， 则 5 a的值为 （的值为 （ ） A12 B12 C1
5、5 D 15 【答案】【答案】C 【解【解析】析】由递推关系可知是等差数列即可. 【详解】 当2n时， 11 2 nnn aaa ， 1121 3 nnnn aaaaaa L 数列 n a是首项为 3，公差为 3 的等差数列， 5 35 13 15a 故选:C 【点睛】 此题为基础题，考查等差数列的含义. 7判断下列命题：判断下列命题： 两个有共同起点而且相等的非零两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；向量，其终点必相同； 若若 /a b rr ，则，则a与与b的方向相同或相反；的方向相同或相反； 若若 /a b rr 且且 /b c，则 ，则 /a c； ； 若若ab，则，则2a
6、b 其中正确的命题个数其中正确的命题个数为（为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数. 【详解】 ，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知 是正确的. ，若 /a b rr ，则可能b为零向量，方向任意，所以错误. ，若 /a b rr 且 /b c，则可能b为零向量，此时 , a c不一定平行，所以错误. ，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以错误. 故正确的命题有1个. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题. 第 4 页
7、共 17 页 8如图，底面为正方形的四棱锥如图，底面为正方形的四棱锥PABCD 中，四条侧棱相等，且中，四条侧棱相等，且PAAB，E，F 分别为棱分别为棱PA和和PC上的两点，上的两点，3PE ，6PF ，F处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的 侧面爬行到侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为（处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A3 5 B5 2 C3 7 D9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据四棱锥PABCD的结构特征， 沿 PA，PC 剪开展成平面时 EF最短，然 后在 PEF中，利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示： 因为底面为正方形的四棱锥PABCD中，四条侧
8、棱相等，且PAAB， 所以四棱锥PABCD是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿 PA，PC 剪开展成平面，EF最短， 在PEF中，3PE ，6PF ，120EPF， 由余弦定理得 222 2cosEFPEPFPE PFEPF 1 9362 3 663 2 ， 解得 3 7EF ， 第 5 页 共 17 页 所以蚂蚁爬行的最短距离为3 7 故选：C 【点睛】 本题主要考查四棱锥的结构特征以及展开图的应用， 还考查了空间想象和转化求解问题 的能力，属于基础题. 9已知正项等比数列已知正项等比数列 n a，向量，向量 3, 9 aa， 9,3 ba，若，若a b，则，则 3537 loglogaa，的
9、值为（，的值为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据ab，得到 39 27a a ，再根据数列 n a是正项等比数列，得到 3957 27a aa a，然后利用对数运算求解. 【详解】 已知向量 3, 9 aa， 9,3 ba， 因为ab， 所以 39 27a a ， 又因为数列 n a是正项等比数列， 所以 3957 27a aa a， 所以 35373573 loglogloglog 273aaa a， 故选：D 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及等等比数列的性质和对数运算， 还考查了运算 求解的能力，属于基础题. 10医院食堂用两种原料为手术
10、后医院食堂用两种原料为手术后的病人配制营养食品，甲种原料每的病人配制营养食品，甲种原料每 1 千克含 千克含 2 单位蛋单位蛋 白质和白质和 1 单位铁质，售价单位铁质，售价 30 元；乙种原料每元；乙种原料每 1 千克含千克含 1 单位蛋白质和单位蛋白质和 3 单位铁质，售单位铁质，售 价价 20 元若病人每餐至少需要元若病人每餐至少需要 3 单位蛋白质和单位蛋白质和 4 单位铁质，则所需最低费用为（单位铁质，则所需最低费用为（ ） A30 元元 B45 元元 C50 元元 D60 元元 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用线性规划的知识，结合图象求得最低费用. 第 6 页 共 17 页
11、 【详解】 设购买甲x千克，购买乙y千克，则 23 34 ,0 xy xy x y ，目标函数3020zxy. 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线30200 xy到可行域边界点 1,1A时，目标函数z取得最小值为30 1 20 1 50 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查线性规划求最值，属于基础题. 11 一个正方体内接于一个球， 过球心作一截面， 如图所示， 则截面的可能图形是 （一个正方体内接于一个球， 过球心作一截面， 如图所示， 则截面的可能图形是 （ ） ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 对截面与正方体的侧面与底面的位置关系进行分类讨论， 进而可
12、得出截面形状. 【详解】 如下图所示： 第 7 页 共 17 页 当截面平行于正方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD时，截面形状为； 当截面经过A、B、 1 C、 1 D时，截面形状为； 当截面经过正方体 1111 ABCDABC D的体对角线时，截面形状可能为； 对于截面， 截面需经过正方体 1111 ABCDABC D的四个顶点， 只可能是A、B、 1 C、 1 D或 1 A、 1 B、C、D四点，但四边形 11 ABC D和四边形 11 ABCD不是正方形， 所以，截面形状不可能为. 故选：A. 【点睛】 本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨
13、论，考 查空间想象能力，属于中等题. 12德国数学家科拉茨德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数著名的猜想：任给一个正整数t，如果 ，如果t是偶是偶 数，就将它减半（即数，就将它减半（即 2 t ） ；如果） ；如果t是奇数，则将它乘是奇数，则将它乘 3 加加 1（即（即31t ） ，不断重复这样） ，不断重复这样 的运算，经过有限步后，一定可以得到的运算，经过有限步后，一定可以得到 1.猜想的数列形式为：猜想的数列形式为： 0 a为正整数，当为正整数，当 * nN 时，当时，当 1n a 为偶数时为偶数时 1 2 n n a a ，当，当 1n a 为
14、奇数时为奇数时 1 31 nn aa ，则数列，则数列 n a中必存在中必存在 值为值为 1 的项的项.若若 5 1a ，则，则 0 a的所有不同值的个数为（的所有不同值的个数为（ ） A2 B3 C5 D8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用 5 1a 出发，按照规则，逆向逐项即可求解 0 a的所有可能的取值. 【详解】 如果按照规则施行变换后 5 1a ， 则变换中的 4=2 a， 若变换中的 4=2 a，则变换中的 3=4 a， 若变换中的 3=4 a，则变换中的 2 a是 1或 8， 第 8 页 共 17 页 若变换中的 2=8 a，则 1=16 a， 0=32 a或者 0=5
15、a； 若变换中的 2=1 a，则 1=2 a，则 0 4a ， 则 0 a的所有可能的取值为 4，5，32共 3 个， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向 逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于 中档试题. 二、填空题二、填空题 13在正项等比数列在正项等比数列 n a中，中， 312 2aaa，则该数列的公比，则该数列的公比q _ 【答案】【答案】2 【解析】解析】将已知条件转化为 1, a q，由此求得q. 【详解】 由 312 2aaa得 2 111 2a qaa q，即 2 20qq，
16、解得 2q = 或1q （舍去）. 故答案为：2 【点睛】 本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 14已知已知0a，0b，21ab ，则，则 1a ab 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】把21ab代入 1 2 aba abab ，再用基本不等式即可. 【详解】 0a，0b，21ab， 1 2224 abab a ababa b ， 当且仅当 1 3 ab时取等. 故答案为：4 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型. 第 9 页 共 17 页 15 已知已知M，N为平面为平面区域区域 0 40 1 xy xy y
17、 内的两个动点， 向量内的两个动点， 向量1,0a ， 则， 则MN a 的的 最大值是最大值是_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】据题意，由于 M，N 为平面区域 0 40 1 xy xy y 内的两个动点，则不等式组表 示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN aMN a（当且仅当MN与a共 线同向时等号成立）从而求得最大值. 【详解】 由 0 40 1 xy xy y 作出可行域，如图 由条件 0 40 1 xy xy y 可得1,1 ,2,2 ,3,1ABC 由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积， 由于MN aMN aMN（当且仅当MN与a共线同向时等号成立）
18、 ， 即当MN所在直线平行于=(1,0)a所在直线且方向相同的时候得到大值， MN的最大长度为直线 =0 xy 与1y 的交点(1,1)与直线4=0 xy和1y 的交 点(3,1)的距离. 而 22 (3 1)(1 1)2， 故答案为：2 【点睛】 第 10 页 共 17 页 解决的关键是对于不等式区域的准确表示， 同时能利用向量的数量积来表示得到目标函 数，利用a ba b （当且仅当b与a共线同向时等号成立）得到结论属于中档题. 三、双空题三、双空题 16某四面体的三视图如图所示，该四面某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为体的体积为_，该四面体的外接球的表面 ，该四面体的外接球的表面
19、 积为积为_ 【答案】【答案】3 22 【解析】【解析】将三视图还原为原图，由此计算出四面体的体积，利用补形的方法，求得四面 体的外接球的表面积. 【详解】 由三视图可知，该几何体如下图所示几何体 1 AABC.其体积为 11 3 2 33 32 . 将几何体补形为长方体，几何体外接球的直径也即长方体的对角线，设外接球的直径为 2R， 则 2 222 23232 2R， 即 2 42 2R .所以外接球的表面积为 2 422R . 故答案为：3；22 第 11 页 共 17 页 【点睛】 本小题主要考查三视图，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题. 四、解答题四、解答题 17已知已知1a
20、， 2b ， aba （1）求）求a b ； （2）求）求ab与与b的夹角的夹角 【答案】【答案】 （1） 1a b ； （2） 5 6 【解析】【解析】 （1）由0aabbaa，由此列方程，化简后求得a b 的值. （2）先求得 abb 、ab rr ，由此利用向量的夹角公式，计算出ab与b的夹角. 【详解】 （1）因aba， 则0aba即 2 0ab a ，又1a ， 所以 1a b （2）设ab与b的夹角为 由（1）题与2b 得 2 3abba bb ， 222 23ababaa bb ， 则 3 cos 2 abb abb ，0, 所以 5 6 . 【点睛】 本小题主要考查向量垂直的表
21、示，考查向量夹角的计算，属于中档题. 18ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，角，角A，B，C成等差数列，成等差数列， 2a （1）若）若1c，求，求b； （2）若）若ABC的面积为的面积为3，求，求c 【答案】【答案】 （1）3b ； （2）2 第 12 页 共 17 页 【解析】【解析】（1） 根据A，B，C成等差数列， 利用等差中项得到 3 B ， 再由2a，1c， 利用余弦定理求解. （2）根据ABC的面积为 3，结合2a ， 3 B ，由 1 sin3 2 ABC SacB求 解. 【详解】 （1）因为A，B，C成等差数列，即2BA C， 又ABC，
22、所以 3 B 又2a，1c，由余弦定理 222 2cosbacacB， 解得3b . （2）因为ABC的面积为3, 所以 1 sin3 2 ABC SacB， 又2a， 3 B ， 解得2c . 【点睛】 本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用， 还考查了运算求 解的能力，属于中档题. 19 n S为等差数列为等差数列 n a的前的前n项和，已知项和，已知 15 6aa， 3 6S . （1）求）求 n a及及 n S； （2）设）设 1 2 n n b S ，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n T，证明：，证明： 1 2 n n T n . 【答案】【答案】
23、（1） n an， 2 11 22 n Snn； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）设数列 n a的公差为 d，将已知条件转化为 1, a d关系，利用公式即可求 解； （2）根据 n b通项公式有 1111 211 n n b Sn nnn ，用裂项相消法求出 n T，即 可证明结论. 【详解】 第 13 页 共 17 页 （1）设 n a的公差为d， 由 15 3 6 6 aa S 即 11 1 46 336 aad ad 解得 1 1 1 a d 所以 1 1 n aandn 2 1 111 222 n n n Snadnn （2）证明：由（1）小题可知： 1111 211 n
24、 n b Sn nnn 则 123nn Tbbbb 1111111 1 223341nn 1 1 1n 1 n n 那么 111 0 21212 n nnn T nnnnn 所以 1 2 n n T n 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项公式基本量的计算，考查裂项相消法求数列和， 属于中档题. 20如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧面 是正方形，侧面PAD 底面底面ABCD， 若若E，F分别为分别为AB，PC的中点，求证：的中点，求证： （1）/EF平面平面PAD； （2）平面）平面PDC 平面平面PAD 【答案】【答案】 （1）证明见解析
25、； （2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）证明/EF平面PAD内的一条直线AM，即可得答案； （2）证明CD平面PAD，再利用面面垂直的判定理证明即可； 【详解】 第 14 页 共 17 页 （1）证明：设M为PD的中点，连接MA，MF（如图） ， 则MF为PDC的中位线， 所以/MF DC且 1 2 MFDC 四边形ABCD是正方形，E为AB的中点 /AE DC且 1 2 AEDC 故MF AE/且MFAE， 四边形AEFM为平行四边形 则/EF AM， 又因EF 平面PAD，AM 平面PAD 所以，/EF平面PAD （2）证明：侧面PAD 平面ABCD，侧面PCD平面ABCDAD 四边
26、形ABCD为正方形，所以CDAD CD 平面ABCD，CD平面PAD 又CD 平面PDC，所以平面PDC 平面PAD 【点睛】 本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空 间想象能力. 21设数列设数列 n a满足：满足： 21* 123 222n n aaaan nN （1）证明）证明 n a是等比数列；是等比数列； （2）设）设 1 n n n b a ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n S . 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）2n n Sn. 【解析】【解析】(1)将 n-1 代入，两式作差得 n a，再证明即可； (2)利用错位
27、相减法求和即可. 第 15 页 共 17 页 【详解】 （1）因为 21 123 222n n aaaan 所以2n时， 21 1231 2221 n n aaaan 由-得： 1 21 n n a ，即 1 1 2 2 n n an 又中1n ，上述结论也满足.所以， * 1 1 2 n n anN 2n 时 1 1 2 n n a a 为常数，即数列 n a是等比数列； （2）由（1）可知： 1 1 2n n bn 则 0121 2 23 24 21 2n n Sn 2得： 121 22 23 221 2 nn n Snn -得： 121 22221 2 nn n Sn 22 21 2 1
28、 2 n n n 2nn 所以，2n n Sn. 【点睛】 本题考查了等比数列的证明和错位相减法求和，属于中档题. 22锐角锐角ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，32 sinbaB （1）求）求A； （2）若）若1b，求，求c的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 3 A ； （2） 1 ,2 2 【解析】【解析】 （1）根据32 sinbaB，利用正弦定理转化为3sin2sinsinBAB求解. （2）由ABC是锐角三角形， 则 222 222 bac cab ，然后由1b， 3 A ，利用余弦 定理得到 22 1acc ，代入上面不等式组求解. 【
29、详解】 第 16 页 共 17 页 （1）因为 32 sinbaB ， 由正弦定理得：3sin2sinsinBAB， 因sin0B，得 3 sin 2 A ， 0, 2 A ， 得 3 A ， （2） （解法一）因1b， 3 A ， 由余弦定理得： 2222 2cos1abcbcAcc ， 因为ABC是锐角三角形， 所以， cos0 cos0 B C ，即 222 222 bac cab ， 代入得 2 22 121 2 cc ccc 且0c ， 解得： 1 2 2 c， 即c的取值范围为 1 ,2 2 （解法二）因为1b， 3 A ， 由正弦定理： sinsin bc BC 得 sin sin3 sinsin B C c BB ， 所以 31 2tan2 c B ， 又因为 0 2 2 0 32 B B ，解得, 6 2 B ， 则 3 tan, 3 B ， 所以 1 2 2 c，即c的取值范围为 1 ,2 2 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属 第 17 页 共 17 页 于中档题.
