1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 辽宁省本溪市燕东高中辽宁省本溪市燕东高中 20192019- -20202020 下高一年级下高一年级 线上段考数学线上段考数学 1 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置在答题卡上的指定位置. . 2 2选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡
2、上的非答题区域均无效在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. . 3 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. .写在试题卷、草稿纸和写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效答题卡上的非答题区域均无效. . 4 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. . 第第卷卷 一、单项选择题一、单项选择题：本题共：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的
3、一项是符合题目要求的 1.如图，向量ab等于 A. 12 24ee B. 12 42ee C. 1 2 3ee D. 1 2 3ee 【答案】D 【解析】 【详解】由向量减法的运算法则可得 1 2 3aebe， 2.在ABC中，30C ，则 22 sinsin2sinsincosABABC的值是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A. 1 2 B. 3 4 C. 3 4 D. 1 4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简所求表达式，由此求得表达式值. 【详解】设ABC外接圆半径为R，则 22 sinsin2sinsincosABABC 2 22
4、22 22 11 (2cos)()sin 4424 cc ababCC RRR 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理化简求值，属于基础题. 3.已知a AB ， (1,0)B ，(3,4)b ，( 1,1)c ，且 32abc ，则点A的坐标为（ ） A. (12,10) B. (12, 10) C. ( 10,10) D. ( 10, 10) 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得a的坐标，然后利用AB OBOA 求得A的坐标. 【详解】323(3,4)2( 1,1)(11,10)abc，即 (11,10),(11,10)OBAOA OAOBB， 由 (1,0)B 可得出( 10,
5、10)A 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，属于基础题. 4.在ABC中， 22 () 1 abc bc ，则 A 等于（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【解析】 【分析】 利用余弦定理化简已知条件，由此求得cosA值，进而求得A 【详解】由已知得 22 ()abcbc，则 222 bcabc， 则 222 1 cos 22 bca A bc ，则60A 故选：B 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 5.在平面直角坐标系中，(0,0), (6,8)OP
6、，将向量OP按逆时针旋转 3 4 后，得向量OQ则点 Q的坐标是（ ） A. ( 7 2,2) B. ( 7 2,2) C. ( 4 6, 2) D. ( 4 6,2) 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 设,Q x y， 再 设xo ， 则 43 sin,cos 55 ， 由 题 意 可 得 ，从而可得 7 2 2 x y ，故答案选 A. 考点：平面向量. 6.已知(0, 3)A， (3,3)B ，(4,0)C，D为直线AB上一点，若AB CD uu u ruuu r ，则向量CD的坐 标为（ ） A. (2, 2) B. (3, 3) C. (3, 2) D. ( 2,1) 【答案
7、】D 【解析】 【分析】 设出D点坐标，利用向量共线的坐标表示以及向量垂直的坐标表示列方程，由此求得D点坐 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 标，进而求得向量CD的坐标. 【详解】设 ( , )D x y，D为直线AB上一点，则 ( ,3)(3,6)ADx yAB， 则3x，36y，AB CD uu u ruuu r ， 则(3,6) (4, )0 xy，则 2 3 ，2x，1y ， 则(4, )( 2,1)CDxy 故选：D 【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，考查向量线性运 算的坐标表示，属于基础题. 7.在ABC中，, ,a
8、b c分别为, ,A B C的对边，如果, ,a b c成等差数列，30B，ABC的 面积为 3 2 ，那么b（ ） A. 1 3 2 B. 13 C. 2 2 3 D. 2 3 【答案】B 【解析】 试题分析：由余弦定理得 2222 2 cos()22cosbaccBacacacB，又面积 1 sin 2 ABC SacB 13 6 42 acac，因为abc， ，成等差数列，所以2acb ，代入上式可得 22 4126 3bb ，整理得 2 42 3b ，解得13b ，故选 B 考点：余弦定理；三角形的面积公式 8.已知(cos2 ,sin),(1,2sin1), 2 ab ，若 2 5
9、a b，则tan 4 的 值为（ ） A. 1 3 B. 2 7 C. 1 7 D. 2 3 【答案】C 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【分析】 运用平面向量数量积的坐标表示公式， 结合 2 5 a b， 可以求出 3 sin 5 ， 结合, 2 ， 根据同角三角函数的关系式，可以求出 3 tan 4 ，最后利用两角和的正切公式求出 tan 4 的值. 【详解】 22 2 cos2sin(2sin1)12sin2sinsin1sin 5 a b ， 所以 3 sin 5 . 因为, 2 ，所以 4 cos 5 ， 所以 3 tan 4 ，所以 ta
10、n11 tan 41tan7 . 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查 了两角和的正切公式，考查了数学运算能力. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每分在每小题给出的选项中，有多项符小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.ABC中，5a，7b，8c ，则下列角正弦值等于 3 2 的是（ ） A. 角B B. 角C C. 角AB D. 角A
11、C 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用余弦定理求得60B ，根据三角形的内角和定理以及特殊角的三角函数值，选出正确选 项. 【详解】 222 8571 cos 2 8 52 B ，则60B ，120A C， 则 3 sin 2 B ， 3 sin() 2 AC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 故选：AD 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，属于基础题. 10.已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是 3 的有（ ） A. 1a ，6b r ，()2aba B. 1ab rr ， 23 2 baa C. ( 3, 1)a
12、，(2 3,2)b D. (2,2 3)a ，( 3,0)b 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对于 AB 选项，利用向量数量积的运算对已知条件进行化简，求得a与b的夹角，由此确定选 项是否正确.对于 CD 选项， 利用向量夹角的坐标公式求得a与b的夹角， 由此确定选项是否正 确. 【详解】由()2aba，得 2 2a ba ，则 3a b ， 设向量a与向量b的夹角为，则cos3a ba b， 则 1 cos 2 ，那么 3 ，则 A 正确； 由 23 2 baa，则 1 2 a b，设向量a与向量b的夹角为， 则 1 cos 2 a bab，则 1 cos 2 ，那么 3 ，则 B 正确
13、； 由( 3, 1)a ，(2 3,2)b ，则2a ，4b ， 4a b ， 则 1 cos 2 ，那么 3 ，则 C 正确； 由(2,2 3)a ，( 3,0)b ，则4a ，3b r ， 6a b ， 则 1 cos 2 ，那么 2 3 ，则 D 不正确 故选：ABC 【点睛】本小题主要考查平面向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 11.三角形有一个角是60，夹在这个角的两边长分别为 8 和 5，则（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - A. 三角形另一边长为 6 B. 三角形的周长为 20 C. 三角形内切圆面积为3 D. 三角形外接圆周长为
14、 7 3 3 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用余弦定理求得第三边长，由此判断 AB 选项的正确性，利用三角形面积列方程，解方程求 得内切圆的半径，进而求得内切圆的面积，由此判断 C 选项的正确性.利用正弦定理求得外接 圆的半径，由此求得外接圆的周长，从而判断 D 选项的正确性. 【详解】可得另一边长为 22 852 8 5cos607 ，则 A 错误，B 正确 设内切圆半径r，则 11 (875)8 5sin60 22 r ，则 3r ， 则内切圆面积为 2 3r，则 C 正确 设外接圆半径为R，则 7 2 sin60 R ，其周长为 14 2 3 R ，则 D 错误 故选：BC 【点睛
15、】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计 算，属于基础题. 12.下列各式一定正确的有（ ） A. 2 aa B. ()()0a bca cb a C. 22 2 ()a bab D. 22 2 ()2abaa bb 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用向量数量积的运算对选项逐一分析，由此确定正确的选项. 【详解】A 显然是错的；易得 D 是正确的； 22 222 ()(cos )cosa ba bab， 22 22 abab，则 C 不一定正确； ()()() ()() ()0a bca cb aa bc aa cb a ，知 B 正确 高考资源网（） 您
16、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 故选：BD 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，属于基础题. 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13.在等腰三角形 ABC 中，已知 sinAsinB=12，底边 BC=10，则ABC 的周长是 _ 【答案】50 【解析】 在ABC 中，由正弦定理得 sinsin BCAC AB , sin 220 sin BCB ACBC A . 又ABC 等腰三角形，且ACAB， ABC 的周长为50ABBCAC. 答案：50 14.已知平面上不共线的四点O、A、B、C，若 320OA
17、OBOC ，则 AB BC _ 【答案】2 【解析】 【分析】 利用平面向量的线性运算化简已知条件，得到 2ABBC ，由此求得 AB BC . 【详解】因为3OBOAOC+2，所以有2()OBOAOCOB， 于是有 2ABBC ，因此2 AB BC 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 15.已知1a ，2b ，且()aab，则向量a与向量b夹角的大小是_，向量b在 向量a上的投影是_ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【答案】 (1). 3 4 (2). 1 【解析】 【分析】 利用()aab列方程， 解方程求得向量a与向量b
18、夹角； 利用向量投影公式计算出向量b在 向量a上的投影. 【详解】设向量a与向量b夹角为，由()aab，得()0aab， 则 2 0aa b rr r ，则1cos0ba，得 2 cos 2 ，则 3 4 那么b在a上的投影是cos1b r 故答案为：(1). 3 4 (2). 1 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，考查向量投影的计算，属 于基础题. 16.已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 _. 【答案】1 【解析】 分析： 设 AB=1， AC=3， AD=1， D 为 BC 边中点， BC=2x， 则 BD=DC=x， 由余
19、弦定理求出 cosADB， cosADC 通过 cosADB=cosADC，代入可求 BC，则可得 A=90，外接圆的直径 2R=BC， 从而可求结果 详解：设 AB=1，AC=3，AD=1，D 为 BC 边的中点，BC=2x， 则 BD=DC=x， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - ABD 中，由余弦定理可得 cosADB= 222 11 2 x x ， ADC 中，由余弦定理可得，cosADC= 222 1( 3) 2 x x ， 因为 cosADB=cosADC 所以 222 11 2 x x = 2 22 13 2 x x x=1 BC=2 AB 2+
20、AC2=BC2即 A=90 外接圆的直径 2R=BC=2，从而可得 R=1 故答案为 1 点睛：本题主要考查了余弦定理得应用，利用互补关系建立方程 cosADB=cosADC 是解 题的关键. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 个大题，共个大题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且 cos cos2 Bb Cac （1）求B的大小； （2）若13,4bac，求ABC的面积 【答案】 （1） 2 3 B （2） 13 sin3. 24 ABC Sac
21、B 【解析】 试题分析： （）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公 式和诱导公式进行求解； （）先利用余弦定理求出3ac ，再利用三角形的面积公式进行求 解. 试题解析： （）由 cos cos2 Bb Cac cossin cos2sinsin BB CAC 2sin coscos sinsin cosABBCBC 2sin coscos sinsin cosABBCBC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 2sin cossinABBC 2sin cossinABA 1 cos 2 B 又0B ，所以 2 3 B . （）由余弦
22、定理有 2 222 2 2cos22cos 3 bacacBacacac ，解得 3ac ，所以 13 3 sin 24 ABC SacB 点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 2 222 2 2cos22cos 3 bacacBacacac. 18.如图，OBC中，A为BC的中点， 2ODDB ，CD与OA交于点E设OA a ， OBb （1）用a和b表示OC，DC； （2）若OE OA ，求实数的值 【答案】 （1） 2OCab ， 5 2 3 DCab； （2） 4 5 【解析】 【分析】 （1）利用平面向量的线性运算，用, a b为基底表示出OC，
23、DC. （2） 用, a b为基底表示出,CE CD， 根据CE、CD共线列方程组， 解方程组求得实数的值. 【详解】 （1）22()22OCOBBCOBBAOBOAOBOAOBab 1155 22()22 3333 DCDBBCOBBAOBOAOBOAOBab （2）(2)(2)CEOEOCOAOCaabab， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 5 2 3 CDDCab 因为CE、CD共线，所以存在tR，使 tCECD 所以 5 2(2) 3 tatbab，所以 22 5 1 3 t t ，得 4 5 【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量共线的表示
24、，考查化归与转化的数学思 想方法，属于基础题. 19.在三角形ABC中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且tan3 7C ， （1）求cosC； （2）若 5 2 CA CB，且9ab，求c. 【答案】 （1） 1 cos 8 C ；(2)6c 【解析】 【分析】 （1）根据正弦，余弦的关系，以及 tanC 的值，确定 cosC 的值 （2）利用向量数量积以及余弦定理得到 c 的值 【详解】 （1）由tan3 7C ，得 1 cos 8 C ，又tanC0，C 为锐角， 1 cos 8 C （2） 5 2 CA CB， 15 abcos 82 Cab，ab20，又a+b9 a
25、2+2ab+b281，a2+b241，又 222 1 cos 28 abc C ab ，c6 【点睛】本题考查三角函数的基本关系以及余弦定理，向量数量积等知识的综合应用，属于 基础题 20.设向量(4cos,sin)a，(sin ,4cos )bbb=，(cos, 4sin)c （1）若a与 2bc 垂直，求tan()的值； （2）求|bc的最大值； （3）若tantan16，求证：ab 【答案】 （1）2； （2）4 2； （3）证明见解析 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【解析】 分析】 （1）根据a与 2bc 垂直列方程，并利用向量数量积的运算进行化简
26、，由此求得tan() 的值. （2）先计算出 2 |bc的最大值，由此求得|bc的最大值. （3）利用同角三角函数的基本关系式化简tantan16，结合平面向量共线的坐标表示， 证得a b 【详解】 （1）由a与 2bc 垂直，则220abca ba c ， 即4sin()8cos()0，则tan()2 （2）(sincos,4cos4sin)bc， 22222 |sin2sincoscos16cos32cossin16sinbc 1730cossin17 15sin2 ， 最大值为 32，所以bc rr 的最大值为4 2 （3）由tantan16得sinsin16coscos， 即4cos4
27、cossinsin0， 所以a b 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量加法、模的坐标运算，考查向量共线的 坐标表示，属于基础题. 21.如图， 某观测站C在城A的南偏西20方向上， 从城A出发有一条公路， 走向是南偏东40， 在C处测得距离C处 31 千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去，行驶了 20 千 米后到达D处，测得C、D二处间距离为 21 千米，这时此车距城A多少千米？ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【答案】15 千米 【解析】 【分析】 利用余弦定理求得cosBDC，由同角三角函数的基本关系式求得sinBDC，求得 sin
28、ACD，由正弦定理求得AD，也即求得此车距城A的距离. 【详解】在BCD中，21CD，20BD，31BC ， 由余弦定理得： 222 2120311 cos 2 21 207 BDC ， 所以 2 4 3 sin1 cos 7 BDCBDC 在ACD中，21CD，204060CAD， 5 3 sinsin(60 )sincos60cossin60 14 ACDBDCBDCBDC 由正弦定理得 5 3 21 sin 14 15 sin3 2 CDACD AD CAD （千米） 所以此车距城A有 15 千米 【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查两角差的正弦公式，属于基础 高考资源
29、网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 题. 22.已知O为原点，向量(3cos ,3sin )OAxx，(3cos ,sin )OBxx，(2,0)OC ， (0,) 2 x （1）求证：()OAOBOC； （2）求tanAOB的最大值及相应的x值 【答案】 （1）证明见解析； （2）最大值为 3 3 ，相应的x值为 3 【解析】 【分析】 （1）先求得OA OB ，然后通过计算()0OAOBOC，证得()OAOBOC. （2）由（1）判断出BA OC ，由此利用两角差的正切公式，求得tanAOB的表达式， 利用基本不等式求得tanAOB的最大值，同时求得相应的x的值.
30、【详解】 （1）0 2 x ，3sin sinxx， 0OA OB ， 又(0,2sin )OAOBx， ()0 22sin00OAOBOCx ，()OAOBOC （2）tantanAOCx， 1 tantan 3 BOCx， OA OB BA uuruu u ruur ，BA OC ，0 2 AOB tantan()AOBAOCBOC 2 1 tantan tantan 3 1 1tantan 1tan 3 xx AOCBOC AOCBOC x 2 2tan2tan3 3tan32 3tan xx xx ， （当tan 3x ，即 3 x 时取“”） 所以tanAOB的最大值为 3 3 ，相应的 3 x 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查两角差的正切公式，考查利用基本不等 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 式求最值，属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
