1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高一第二学期期末数学试卷（文学年内蒙古赤峰市高一第二学期期末数学试卷（文 科） （科） （A 卷）卷） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1. 已知集合|2Ax x，|0 3Bxx，则集合AB （ ） A. 2|x x B. |3x x C. |23xx D. 2|0 xx 【答案】D 【解析】 【分析】 本题可通过交集的定义直接求解. 【详解】因为集合|2Ax x，|03Bxx， 所以集合|02ABxx. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，交集
2、是指两集合中都包含的元素 所组成的集合，考查计算能力，是简单题. 2. 不等式 2 1 1x 的解集是（ ） A. 1, B. 1,1 C. , 1 D. , 11, U 【答案】B 【解析】 【分析】 把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】不等式 2 1 1x ，即 1 0 1 x x ，即110 xx， 求得11x ， 故选：B. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 下列函数中，值域为0,的是（ ） A. 2xy B. 2 yx= C 1 y x D. log0,1 a
3、 yx aa 【答案】A 【解析】 【分析】 结合指数函数，对数函数，二次函数及反比例函数的性质即可求解. 【详解】结合指数函数的性质可知，2xy 的值域0,， 结合二次函数的性质可知， 2 yx=的值域0,. 结合反比例函数的性质可知， 1 y x 的值域|0y y ， 结合对数函数的值域可知，logayx的值域R. 故选：A. 【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，属于基础题. 4. 等差数列 n a的前n项和为 n S，且 8 96S ， 7 70S ，则 n a的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列前n项和公式列出方程组，
4、能求出 n a的公差. 【详解】等差数列 n a的前n项和为 n S，且 8 96S ， 7 70S ， 81 71 8 7 896 2 7 6 770 2 Sad Sad ， 解得 1 2a ，4d . n a的公差为 4. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列公差的计算，属于基础题. 5. 在下面四个,x 的函数图象中，函数 sin2yxx 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，可得函数 f x在, 上为偶函数，排除 AC，再由函数值的符号，排除 D，即 可得答案. 【详解】根
5、据题意，函数sin2yxx，,x ， 有 sin2sin2fxxxxxf x ， 即函数 f x在, 上为偶函数，排除 AC， 在区间0, 2 上，sin20 x ， 0f x ，函数图象在x轴上方， 在区间, 2 上，sin20 x， 0f x ，函数图象在x轴下方， x轴上方和下方的部分各占区间0,的一半，排除 D； 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数解析式选择图象，会判断函数的性质是解决的关键，属于基础题. 6. 在ABC中，ABa，ACb ，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 则EB =（ ） A. 13 44 ab B. 13 44 ab C. 31 44 ab D. 高考资源
6、网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 31 44 ab 【答案】D 【解析】 【分析】 运用向量加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量. 【详解】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， EBABAE 1 2 ABAD 11 22 ABABAC 31 44 ABAC 31 44 ab 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理，属于基础题. 7. 在ABC中， 3 cos 5 A 且 5 cos 13 B ，则cosC等于（ ） A. 33 65 B. 33 65 C. 63 65 D. 63 65 【答案】B 【解析】 【分析】 在ABC中， co
7、scoscosCABAB ， 再利用两角和的余弦公式展开计 算即可. 【详解】解：在ABC中，ABC， CAB，又 3 cos 5 A ， 5 cos 13 B ， 4 sin 5 A ， 12 sin 13 B ， coscoscosCABAB coscossinsinABAB 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 354 1233 5135 1365 . 故选：B. 【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能 力，属基础题. 8. 若 1 tan 3 ，则 cos2 A. 4 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 4 5 【
8、答案】D 【解析】 【分析】 由 222 222 1 tan cos2 1tan cossin cossin 直接代入计算即可. 【详解】因为 1 3 tan ， 所以 222 222 1 1 1tan4 9 cos2 1 1tan5 1 9 cossin cossin 故选 D 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用， 是基础题 9. 已知设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若m，n，mn则 B. 若/ ，m，n/， 则mn C. 若，m，n/则mn D. 若，m，nm，则 n 【答案】B 【解析】 【分析】 在A中，与相交或
9、平行；在B中，推导出m，所以mn；在C中，m与n相交、 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 平行或异面；在D中，n与相交、平行或n 【详解】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知： 在A中，若m，n，mn，则与相交或平行，故A错误； 在B中，若/ /，m，/ /n，则m，所以mn，故B正确； 在C中，若，m，/ /n，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若， m ，nm，则n与相交、平行或n，故D错误 故选：B 【点睛】本题考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线 面、面面间的位置关系的合理运用 10. 在三棱锥P
10、ABC中，M，N，R，Q分别是PA，AB，BC，PC 中点，若 PBACm，且PB与AC所成的角为60，则四边形MNRQ的面积为（ ） A. 2 3 m 8 B. 2 3 m 4 C. 2 3 m 2 D. 2 3m 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，可得四边形MNRQ为菱形，再由已知异面直线所成角求得MNR，代入 三角形面积公式计算. 【详解】解：如图， M，N，R，Q分别是PA，AB，BC，PC的中点， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - / / /MNQRPB，/ / /MQNRAC， 四边形MNRQ为平行四边形， 又PB与AC所成的角为60，
11、60MNR（或120）. PBACm， 2 m MNNR，则四边形MNRQ为菱形. 2 133 2m 22228 MNRQ mm S 四边形 . 故选：A. 【点睛】此题考查异面直线所成的角的有关计算，考查计算能力，属于基础题 11. 若函数 cos 2f xx在区间 , 4 3 上单调递增，其中有,2，则的取 值范围为（ ） A. 11 ,2 6 B. 11 , 6 C. 4 , 3 D. 4 ,2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用整体思想的应用求出函数的单调区间，进一步利用子集间的关系求出结果. 【详解】解：函数 cos 2f xx在区间, 4 3 上单调递增， 所以222kx
12、kkZ， 整理得 22 kxkkZ ， 故： 2432 kxk ， 所以 32 24 k k ，解得 23 22 32 kkkZ ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 当1k 时， 4 32 ， 由于 44 , 323 ， 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性、初相的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归 思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12. 若函数 1 23 ,1 21,1 x a xa x f x x 的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. 1 0, 2 B. 1 ,1 2 C. 1 1, 2 D. 1 0, 2 【答案】A 【解析】
13、【分析】 由已知结合分段函数性质及指数函数与一次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，1 23ya xa单调递增且1 231aa， 故 1 20 1 231 a aa ，解可得， 1 0 2 a. 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数的值域，数形结合更直观. 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13. 设函数 2 2 5 ,3 log4 ,3 x ex f x xx ，则 3ff _. 【答案】 1 e 【解析】 【分析】 结合已知分段函数的解析式代入即可求解. 【详解】 2 2 5 ,3 log4 ,3 x ex f x xx ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有
14、高考资源网 - 9 - 所以 5 3log 51f， 则 1 1 31fffe e . 故答案为： 1 e . 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 14. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下 一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为_ 【答案】3 【解析】 分析：设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式 能求出结果 详解: 设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为 2 的等比数列， S7= 7 1
15、(1 2 ) 1 2 a =381，解得 a1=3故答案为 3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 15. 已知点1,1A， 4,2B 和向量2,a，若a AB ，则实数_. 【答案】6 【解析】 【分析】 可以求出3,1AB uuu r ，然后根据a AB 即可得 0a AB ，进行向量坐标的数量积运算即可 求出的值. 【详解】3,1AB uuu r ，2,a，且a AB ， 60a AB ，解得6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查向量垂直求参数，属于基础题. 16. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E
16、、F，且 EF 1 2 ，则 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 下列结论中正确的序号是_ ACBE EF平面 ABCD AEF 的面积与BEF 的面积相等 三棱锥 ABEF 的体积 为定值 【答案】 【解析】 【分析】 利用线面垂直的性质判断正确，利用线面平行的判定定理判断正确，利用同底不同高判 断错误，利用等底等高证明正确. 【详解】由于 1 ,ACBD ACDD，故AC 平面 11 BDD B，所以ACBE，所以正确. 由于/EFBD， 所以/ /EF平面ABCD， 故正确.由于三角形AEF和三角形BEF的底边 都是EF，而高前者是A到EF的距离，后者是B
17、到EF的距离，这两个距离不相等，故 错误.由于三棱锥ABEF的底面三角形BEF的面积为定值 1 1 2 EFBB.高是A点到平 面BEF也即A点到平面 11 BDD B的距离也是定值，故三棱锥A BEF的体积为定值.故正 确.综上所述，正确的时. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题. 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题）小题）. 17. 已知函数sin 0,0, 2 yAxA 的图像过点 5 ,0 12 P ，且图像上 与P点
18、最近的一个最低点坐标为, 2 6 . （1）求函数解析式； （2）若将此函数的图像向左平移 6 个单位长度后，再向上平移 2 个单位长度得到 g x的图 像，求 g x在, 6 3 上的值域. 【答案】 （1）2sin 2 6 yx ； （2）1,4. 【解析】 【分析】 （1）本题首先可根据最低点的坐标为, 2 6 得出2A，然后根据 51 1264 T 得出 2，最后将点 , 2 6 带入2sin 2yx中，即可求出的值，得出结果； （2）本题首先可根据图像变换得出 2sin 22 6 g xx ，然后根据, 6 3 x 得出 5 2, 666 x ，最后根据正弦函数性质即可求出函数 g
19、x的值域. 【详解】 （1）因为一个最低点的坐标为, 2 6 ，所以2A，2sinyx， 因为 51 1264 T ，所以最小正周期T， 2 2 T ，2sin 2yx， 将点, 2 6 带入2sin 2yx中， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 可得22sin 2 6 ，解得2 6 kkZ ， 因为 2 ，所以 6 ，2sin 2 6 yx . （2）向左平移 6 个单位长度后得到函数2sin 22sin 2 666 yxx ， 再向上平移 2 个单位长度得到 2sin 22 6 g xx ， 因, 6 3 x ， 所以 5 2, 666 x ， 1 sin
20、 2,1 62 x ， 1,4g x ， 故函数 g x在, 6 3 上的值域为1,4 【点睛】本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据 最值、周期、三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能 力与计算能力，是中档题. 18. 已知ABC中， 3 4 B ， 10AC ， 2 5 cos 5 C . （1）求边BC的长； （2）若边AB的中点为D，求中线CD的长. 【答案】 （1） 2； （2）5. 【解析】 【分析】 （1）由已知求得sinC，再求出sin A，然后利用正弦定理求出BC； （2）由已知结合正弦定理求AB，然后得到BD，
21、再由余弦定理求出CD. 【详解】 （1） 2 5 cos0 5 C ， 0,C， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 2 5 sin1 cos 5 CC . sinsinsincoscossinABCBCBC 22 52510 252510 . 由正弦定理，可得 sinsin BCAC AB ， 即sin2 sin AC BCA B ； （2）由已知及正弦定理，得sin2 sin AC ABC B ，1BD . 由余弦定理，可得 2 2 1222 15 2 CD ， 则5CD. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知数
22、列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn naan ， * nN . （1）设 n n a b n ，证明数列 n b为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见解析； （2）(1) 21 n n Sn. 【解析】 【分析】 （1）直接利用构造关系求出数列为等比数列. （2）直接利用乘公比错位相减法求出数列的和. 【详解】 （1）数列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn naan ，整理得 1 2 1 nn aa nn ，由于 n n a b n ， 所以 1 2 nn bb ， 所以数列 n b是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1
23、）得 1 2n n an ， 所以 011 1 22 22n n Sn ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 12 21 22 22n n Sn ， 得 121 2 2 1 n n n Sn ， (1) 21 n n Sn. 【点睛】本题考查等比数列的证明，考查错位相减法求和，属于基础题. 20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资 额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元 时两类产品的年收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元（如图） （1）分别写出两种产品的年收益与投
24、资额的函数关系式； （2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年 收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】 （1） 11 ( )(0), ( ) 82 f xx xg xx； （2）投资债券类产品 16 万元，股票类投资为 4 万元；最大年收益为 3 万元. 【解析】 【分析】 （1）依题意可设 12 ( )(0), ( )f xk x xg xkx，根据已知求出 12 ,k k即得解； （2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20)x万元，年收益为y万元,得到 1 20(020) 82 x yxx，再换元求出函数的最值即可. 【详解】解： （1
25、）依题意可设 12 ( )(0), ( )f xk x xg xkx 12 1111 (1), (1)( )(0), ( ) 8282 fkgkf xx xg xx. （2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20)x万元，年收益为y万元 依题意得( )(20)yf xgx 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 即 1 20(020) 82 x yxx 令20tx 则 2 20,0,2 5xtt 则 2 20 ,0,2 5 82 tt yt 即 2 1 (2)3,0,2 5 8 ytt 当2t 即16x 时，收益最大，最大值为 3 万元, 所以投资债券类产品
26、16 万元，股票类投资为 4 万元，收益最大，最大值为 3 万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数最值的求法，考查二次函数的应用，意在考查 学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力. 21. 如图，ABC中， 2 2 ACBCAB，ABED是边长为 1 的正方形，平面ABED 底 面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点. （1）求证：/ /GF底面ADC； （2）求证：GF 平面EBC； （3）求三棱锥FEBC的体积. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 1 24 . 【解析】 【分析】 （1）连接AE，由ADEB为正方形，可得F是AE的中点，再由G是EC的中点
27、，得到 /GFAC，由直线与平面平行的判定可得/ /GF平面ADC； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2）由ADEB为正方形，可得EBAB，由平面ABED 平面ABC，结合平面与平面垂 直的性质可得BE 平面ABC，得到EBAC，求解三角形证明ACBC，再由直线与平 面垂直的判定可得AC 平面EBC，进一步得到GF 平面EBC； （3）由已知可得三角形EBC的面积，再由棱锥体积公式求解. 【详解】 （1）证明：连接AE， ADEB为正方形，AEBDF，且F是AE的中点， 又G是EC的中点，/GFAC. 又AC 平面ADC，GF 平面ADC， / /GF平面
28、ADC； （2）证明：ADEB为正方形，EBAB， 又平面ABED 平面ABC，平面ABED平面ABCAB， EB 平面ABED，BEAB，BE 平面ABC， 又AC 平面ABC，EBAC. 2 2 ACBCAB， 222 CACBAB，得AC BC. 又BCBEB，AC 平面EBC. /GFAC，GF 平面EBC； （3）1AB ， 2 2 BCAC， 2 4 GF . 11 1221 1 33 22424 F EBCEBC VSFG . 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，属于中档题. 22. 已知函数 1 log0,1 1 a mx f xaa x 是奇函数.
29、 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （1）求实数m的值； （2）是否存在实数p，a，当,2xp a时，函数 f x的值域是1,.若存在，求出实 数p，a；若不存在，说明理由； （3）令函数 2 615 f x g xaxxa ，当2,3x时，求函数 g x的最大值. 【答案】 （1）1； （2）存在实数 23a ，1p ； （3） max 919,01 93 1,1 2 3 413, 2 aa g xa a aa . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 根 据 题 意 ， 由 函 数 奇 偶 性 的 性 质 可 得 有 0fxf x， 即 11 loglog0 1
30、1 aa mxmx xx ，解可得：1m，结合对数的定义验证即可得答案； （2）分类讨论，利用当,2xp a时，函数 f x的值域是 1,，可得结论； （3）化简得 2 61g xaxx，2,3x且0a，1a ，分类讨论，求出函数 g x的 最大值. 【详解】 （1）根据题意，函数 1 log0,1 1 a mx f xaa x 是奇函数， 则有 0fxf x恒成立，即 11 loglog0 11 aa mxmx xx 恒成立，即 11 1 11 mxmx xx 恒成立，即 22 11m xx 恒成立，所以 2 1m ， 解可得：1m， 当1m时， 1 1 1 x x ，不合题意，舍去； 1m
31、. （2） 由 （1） 的结论， 12 loglog1 11 aa x f x xx ， 由 1 0 1 x x ， 解可得1x或1x ， 即函数的定义域为 , 11, U； 分 2 种情况讨论： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - ，当21pa 时，得01a.此时 f x为( ,2)p a上的增函数， 此时有 1 log1 1 21 a p p a ，即 1 1 1 p a p a ，不合题意，舍去； ，当12pa时，得3a .此时 f x为( ,2)p a上的减函数， 此时有 1 2 1 log1 2 1 a p a a ，解得 23a ，或 23a （舍）
32、 ，1p ， 故存在实数23a ，1p 满足题意. （3） 2 615 f x g xaxxa ， 1 log 1 a x fx x ， 2 61g xaxx，2,3x且0a，1a ， 当 3 2 a ，即 3 2 a 时，函数 g x在2,3上单调递减， 所以 max 2413g xga， 当 3 3 a ，即01a时，函数 g x在2,3上单调递增， 所以 max 3919g xga， 当 3 1 2 a时，函数 g x在 3 2, a 上单调递增，在 3 ,5 a 上单调递减， 所以 max 39 1g xg aa ， 综上所述， max 919,01 93 1,1 2 3 413, 2 aa g xa a aa . 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数的取值范围，考查了由对数型函数的值域求参 数，考查了分类讨论法求二次函数的最值，考查了分类讨论思想，属于难题.
