1、 初中最值问题汇总 （将军饮马，辅助圆，瓜豆原理， “胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点）（将军饮马，辅助圆，瓜豆原理， “胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点） 最值系列之将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却引申出 一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最 短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？ P B A 【问题分析】 这个问题的难点在于
2、 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两 点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PA=PA，所以 PA+PB=PA+PB A A B P 当 A、P、B 三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点 端点 A P B A 【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得PMN 周
3、长最小 M N P P N M B A P O O P A B 此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点， 化折线段 PM+MN+NP 为 PM+MN+NP，当 P、M、N、P共线时，PMN 周长最小 【例题】如图，点 P 是AOB 内任意一点，AOB=30 ，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则PMN 周长的最小值为_ P O B A M N 【分析】PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称 点 P、P，化 PM+PN+MN 为
4、 PN+MN+PM P P N M A B O P 当 P、N、M、P共线时，得PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、OP，可得OPP 为等边三角形，所以 PP=OP=OP=8 P O B A M N P P 【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。 Q P M N B A P O QQ O P A B N M 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB 对 称，化折线段 PM+MN+NQ 为 PM+MN+NQ，当 P、M、N、Q共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。
5、【一定两动之点线】 在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。 P M N B A P OO P A B N M 此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PM+MN 转化为 PM+MN，即过点 P作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1， N 是 AC 边上的一动点，则DMN 周长的 最小值是_ N M
6、D C B A 【分析】考虑 DM 为定值，故求DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值 点 N 为折点，作点 D 关 于 AC 的对称点，即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时DMN 周长最小 N A B C D M 【假装不存在的正方形】 （2019山东聊城）如图，在 RtABO 中，OBA=90 ，A（4,4） ，点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3， 点 D 为 OB 的中点， 点 P 为边 OA 上的动点， 当点 P 在 OA 上移动时， 使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为( ) y x P OD C B A A(2,2) B 5 ( 2 ， 5)
7、2 C 8 (3， 8) 3 D(3,3) 【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称： D A B C DO P x y 也可以作点 C 的对称： C A B C DO P x y 【隐身的正方形】 （2017辽宁营口）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为( ) P D C B A A4 B5 C6 D7 【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5， 故选 B C P D C B
8、 A 2三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ A BC D M N 【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值 A BC D M N 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7 H N M D CB A 【隐身的等边三角形】 如图，在 RtABD 中，AB=6，BAD=30 ，D=90 ，N 为 AB 上一点且 BN=2AN， M
9、是 AD 上的动 点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ N M D B A 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上 A BC D M N 【角分线系列之点点】 （2018山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6AB=12，AD 平分CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为( ) E A F CD B A3 B4 C3 3 D2 3 【分析】 此处 E 点为折点， 可作点 C 关于 AD 的对称， 对称点 C在 AB 上且在 AB 中点， 化折线段 CE+EF 为 CE+EF，当 C、E、F 共线时得最小值，CF
10、为 CB 的一半，故选 C C A F E C D B 【角分线系列之点线】 （2018辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，ABC=60 ， BD 平分ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是( ) N M D C B A A3 B2 C2 3 D4 【分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM+MN 为 CM+MN N A B C D M N 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C N M D C B A N 3矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高
11、】 （2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点，P、M 分别是 AC、 AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是( ) E P D C B A M A6 B3 3 C2 6 D4.5 【分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为 EP+PM M E P D C B A M 当 E、P、M共线时，EP+PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC BD/2=BC EM M M A B C P E 【折点在边上】 （2017 山东菏泽）如图，矩形 ABOC 的顶点
12、A 的坐标为（-4,5） ，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的 一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是( ) E O D C B A x y A 4 (0, ) 3 B 5 (0, ) 3 C(0,2) D 10 (0,) 3 【分析】点 E 为折点，E 是 y 轴上一点，作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，与 y 轴交点即为所 求 E 点 D E OD C B A x y 【折点与面积】 （2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=3，动点 P 满足 1 3 PABABCD SS 矩形 ，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为(
13、 ) DC B A P A2 13 B2 10 C3 5 D41 【分析】由 1 3 PABABCD SS 矩形 可作出 P 点轨迹为直线 MN（AM=BN=2） ，作点 B 关于 MN 的对称点 B， 化折线 PA+PB 为 PA+PB B MN D C B A P 当 A、P、B共线时，取到最小值，选 A 6 4 P A B C D NM B 【全等与对称】 （2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边 上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) H F G E DC BA A5 5 B1
14、0 5 C10 3 D15 3 【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关于 AB 对 称点 F，则 BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF为 5 倍根号 5，周长最小值为 10 倍根 号 5，故选 B 5 10 F MH F G E DC BA 四、特殊角的对称 【60 角的对称】 （2018 滨州）如图，AOB=60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP=3，若点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) A B M O P N A 3 6 2 B 3 3 2 C
15、6 D3 【分析】 此处M、 N均为折点， 分别作点P关于OB、 OA的对称点P、 P， 化PMN周长为PN+NM+MP P P A B M O P N 当 P、N、M、P共线时，得最小值，利用 60 角翻倍得POP=120，OP=OP=OP，可得最小值 3 3 3 120 N P O M B A P P 【30 角的对称】 （2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N（3,0） 是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，AOB=30 ，要使 PM+PN 最小，则点 P 的坐标为 NM P O B A x y 【分析】 此处点
16、P为折点， 作点M关于OA的对称对称点M如图所示， 连接PM， 化PM+PN为PM+PN 30 30 M NM P O B A x y 当 M、P、N 共线时，得最小值，又MON=60 且 ON=2OM，可得OMN=90 ，故 P 点坐标可求 M y x A B O P N M 30 30 【20 角的对称】 如图，已知正比例函数 y=kx（k0）的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70 ，定点 A 的坐标为（0，4） ， P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y=kx（k0）的图像上的两个动点，则 AM+MP+PN 的最小值为 _ P A M N Ox y 【分析】先考虑 M 为折点，作
17、点 P 关于 OM 对称点 P，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN P P A M N Ox y 此处 P为折点，作点 N 关于 OP对称点 N，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN P N y xO N M A P 当 A、M、P、N共线且 ANON时，值最小 M P A Ox y N 最值系列之将军饮马（二） 【将军过桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路 程最短？ 河 B军营 A将军 N M 考虑 MN 长度恒定，只要求 AM+NB 最小值即可问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移， 使 AM 与 N
18、B 连在一起，将 AM 向下平移使得 M、N 重合，此时 A 点落在 A位置 A河 B军营 A将军 N M 问题化为求 AN+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 A河 B军营 A将军 N M 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 【将军过两个桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能 使路程最短？ 军营 将军 河 河 Q A B M N P 考虑 PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过 平移使其连接到一起 B A Q A B M N P AP
19、平移至 AQ，NB 平移至 MB，化 AP+QM+NB 为 AQ+QM+MB P N M B A Q A B 当 A、Q、M、B共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定 P、N 位置 【将军遛马】 如图，将军在 A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路 程最短？ 【问题简化】已知 A、B 两点，MN 长度为定值，求确定 M、N 位置使得 AM+MN+NB 值最小？ M N 将军 A 军营 B 河 【分析】 考虑 MN 为定值， 故只要 AM+BN 值最小即可 将 AM 平移使 M、 N 重合， AM=AN， 将 AM+BN 转化为 AN+NB A B
20、 A NM 构造点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，可依次确定 N、M 位置，可得路线 A MN A B A 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A、C 在坐标轴上，点 D 的坐 标为（6，4） ，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四边形 APQE 的周长最小， 则点 P 的坐示应为_ E y x B( ) Q A C D O P 【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑 AQ+QE 最小值 A P O D C A Q B( ) x y E 作点
21、A关于 x 轴的对称点 A，连接 AE，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点 A A A B( )O PQ C E D 【练习】如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值 A BC D E F M 【分析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起过点 E 作 EH CD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH=1 1 H A BC D E F 连接 BH，则 BH=CE F E D CB A H 1 问题转化为 BH
22、+AF 最小值 1 H A BC D E F F D C B A H 1 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=AH+BH=AB=5 B A 1 H A B C D F 最值系列之辅助圆 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值在将军饮马问题中，折 点 P 就是那个必须存在的动点并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的 对称即可 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题辅助 圆 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给 的条件，分析出动点的轨迹
23、图形，将是我们面临的最大的问题 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点， 在圆上找一点 P 使得 PA 最小 A O P 当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如： 【2017 四川德阳】 如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上 有两点 A、B，且 OA=OB，APB=90 ，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ l P O C BA 【分析】连接 OP，根据APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最
24、 小，则 OP 最小即可 l P O C BA AB C O P l 连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取到最小值 一、从圆的定义构造圆 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧 【2014 成都中考】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ A N M AB C D 【分析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MA
25、=MA=1，所以 A轨迹是以 M 点为圆 心，MA 为半径的圆弧 A N M AB C D 连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC 的值最小 D C BA M N A 构造直角MHC，勾股定理求 CM，再减去 AM 即可 H A N M AB C D 【2016 淮安中考】 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动 点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_ A B C E F P 【分析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹
26、是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧 A B C E F P 过 F 点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减 去 FP，即可得到 PH H P F E C B A 【2019 扬州中考】 如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过 点 P 的一条直线， 把ABC 沿直线 l 折叠， 点 B 的对应点是点 B 当 PB=6 时， 在直线 l 变化过程中， 求ACB 面积的最大值 CB A P 【分析】考虑 l 是经过点 P 的直线，且ABC 沿直线 l 折叠，所以 B
27、轨迹是以点 P 为圆心，PB 为半径 的圆弧 CB A P 考虑ACB面积最大，因为 AC 是定值，只需 B到 AC 距离最大即可过 P 作作 PHAC 交 AC 于 H 点，与圆的交点即为所求 B点，先求 HB，再求面积 H B P A BC 【2018 相城区一模】 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点，AE=2，AEQ 沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_ Q A BC D E F P 【分析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD，PF+PD
28、化为 PF+PD D P F E D CB A Q 连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可 Q A BC D E F P D 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义： P P AB O P 若 AB 是一条定线段，且APB=90 ，则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 【例题】已知正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且满足 BE=CF，连接 AE、 BF，交点为 P 点，则 PD 的最小值为_ E
29、F A B C D P 【分析】由于 E、F 是动点，故 P 点也是动点，因而存在 PD 最小值这样的问题，那 P 点轨迹如何确 定？ 考虑 BE=CF，易证 AEBF，即在运动过程中，APB=90 ，故 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 O E F A B C D P 连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度 思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆） ，接下来可以寻找与动点相关有无 定直线与定角 【2013 武汉中考】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交
30、 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ H G A BC D EF 【分析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证 AGBE，即AHB=90 ， H G A BC D EF 所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 O FE D CB A G H 当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求 H A BC D O 【2016 安徽中考】如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足 PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值是_ P A B C 【分析】PBC+PBA=90 ，PBC=PAB， PAB+PBA=
31、90 ， APB=90 ， P 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 O P A B C 当 O、P、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求 OC，再减去 OP 即可 C B A O P 【寻找定边】如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=5，AC=4D 是弧 BC 上的一个 动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 O E D C BA 【分析】E 是动点，E 点由点 C 向 AD 作垂线得来，AEC=90 ，且 AC 是一条定线段，所以 E 点 轨迹是以 AC 为直径的圆弧 M O E D C BA 当 B、
32、E、M 共线时，BE 取到最小值连接 BC，勾股定理求 BM，再减去 EM 即可 AB C E O M 【寻找定边与直角】如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点， 以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ O E D C B A 【分析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED=90，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线 段 CB 对直角CEB O E D C B A 取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧 M A B C D E O 连接 AM，与圆弧交点
33、即为所求 E 点，此时 AE 值最小， 22 10222 262AEAMEM M E C B A （2019 苏州园区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相 同的速度分别沿 AB、 CD 向终点 B、 D 移动， 当点 E 到达点 B 时， 运动停止， 过点 B 作直线 EF 的垂线 BG， 垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为 G F E D CB A 【分析】 首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BGEF，但BGE所对的BE边是不确定的 重点放在 AE=CF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交
34、点即为 O 点 A BC D E F G O A BC D E F G BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆 M O A BC D E F G 记 BO 中点为 M 点，当 A、G、M 共线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减 去 GM 即可 M O A BC D E F G 【辅助圆+将军饮马】如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小值为_ AB CD E F P 【分析】AFB=90 且 AB 是定线
35、段，故 F 点轨迹是以 AB 中点 O 为圆心、AB 为直径的圆 O P F E DC BA 考虑 PC+PF 是折线段，作点 C 关于 AD 的对称点 C，化 PC+PF 为 PC+PF，当 C、P、F、O 共线 时，取到最小值 C AB CD F P O 【辅助圆+相切】如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ F E D C B A 【分析】AEC=90 且 AC 为定值，故 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧 O F E D C B A 考虑 EFAB，且 E 点在圆上
36、，故当 EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值 O F E C B A 连接 OF，易证OCFOEF，COF=30 ，故 CF 可求 O F E C B A 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周 角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相定边必不可少，而直角则可一般为定角例如， AB 为定值，P 为定角，则 A 点轨迹是一个圆 P P A B P 当然，P 度数也是特殊角，比如 30 、45 、60 、120 ，下分别作对应的轨迹圆 若P=30 ，以 AB 为边，同侧构造等边三角形 AOB，O 即为圆心 30 O 6
37、0 BA P 若P=45 ，以 AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形 AOB，O 即为圆心 90 45 AB O P 若P=60 ，以 AB 为底，同侧构造顶角为 120 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 60 120 O P AB 若P=120 ，以 AB 为底，异侧为边构造顶角为 120 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 O 120 120 P AB 【例题】如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF， 交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ E F CB A P 【分析】由 BE=CF 可推得ABEBCF，所以APF=60
38、，但APF 所对的边 AF 是变化的 60 E F CB A P 所以考虑APB=120 ，其对边 AB 是定值 120 E F CB A P 所以如图所示，P 点轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （构造 OA=OB 且AOB=120 ） 120 M O P A BC F E 120 当 O、P、C 共线时，可得 CP 的最小值，利用 RtOBC 勾股定理求得 OC，再减去 OP 即可 CB A P O 120 【2017 山东威海】 如图， ABC 为等边三角形， AB=2， 若 P 为ABC 内一动点， 且满足PAB=ACP， 则线段 PB 长度的最小值为_ A B C P 【分析】由PAB=
39、ACP，可得APC=120 ，后同上例题 【2019 南京中考】在ABC 中，AB=4，C=60 ，AB，则 BC 的长的取值范围是_ 【分析】先作图，如下 4 AB C 60 条件不多，但已经很明显，AB 是定值，C=60 ，即定边对定角故点 C 的轨迹是以点 O 为圆心的 圆弧 （作 AO=BO 且AOB=120 ） O 120 60 C BA 题意要求AB，即 BCAC，故点 C 的轨迹如下图 AB C 60 120 O 当 BC 为直径时，BC 取到最大值， 考虑A 为ABC 中最大角，故 BC 为最长边，BCAB=4无最小值 O 120 C BA O 120 C BA 【2019 武
40、汉中考】如图，AB 是圆 O 的直径，M、N 是弧 AB（异于 A、B）上两点，C 是弧 MN 上一 动点，ACB 的角平分线交圆 O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E，当点 C 从点 M 运动到点 N 时， 则 C、E 两点的运动路径长的比是_ O N M AB C D E 【分析】 分别考虑 C、 E 两点的轨迹， C 点轨迹上是弧 MCN， 其对应圆心角为MON， 半径为 OM （或 ON） E D C BA M N O 再考虑 E 点轨迹， 考虑到 CE、 AE 都是角平分线， 所以连接 BE， BE 平分ABC， 可得： AEB=135 E D C BA M N O 考虑
41、到AEB 是定角，其对边 AB 是定线段，根据定边对定角，所以 E 点轨迹是个圆，考虑到 ADB=90，所以 D 点即为圆心，DA 为半径 E D C BA M N O O N M AB C D E E 点轨迹所对的圆心角为MDN，是MON 的一半，所以 C、E 两点轨迹圆半径之比为 1：根号 2， 圆心角之比为 2:1，所以弧长比值为根号 2 最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹，即可求出关于动点 的最值 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P，但最终问题 问的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某
42、种联系，从 P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值，为常规 思路 一、轨迹之圆篇 引例 1：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ AO P Q 【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？ 考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2 Q P OAM 【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、Q、P 始终共线可
43、得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系 引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQAP 且 AQ=AP 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ OP Q A 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90 得 AQ，故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是 圆接下来确定圆心与半径 考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO； 考虑 AP=AQ，可得
44、 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM M A Q P O 引例 3：如图，APQ 是直角三角形，PAQ=90 且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？ O P Q A 【分析】考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO； 考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为 2 O P Q M A 【模型总结】 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点” 此类问题的必要条
45、件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值） ； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值） A Q P O O P Q M A 【结论】 （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： PAQ=OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理” 【思考 1】 ：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为一边作等边
46、APQ 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ O PA Q 【分析】 Q 点满足（1）PAQ=60 ； （2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆： 考虑PAQ=60 ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足MAO=60 ； 考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM 60 M Q A P O 【小结】可以理解 AQ 由 AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O 旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系 【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以
47、AP 为斜边作等腰直角APQ 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，如何作出 Q 点轨迹？ O P Q A 【分析】Q 点满足（1）PAQ=45 ； （2）AP:AQ=2：1，故 Q 点轨迹是个圆 连接 AO，构造OAM=45 且 AO:AM=2：1M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AOP AMQ即可确定点 Q 的轨迹圆 M O P Q A 【练习】如图，点 P（3,4） ，圆 P 半径为 2，A（2.8,0） ，B（5.6,0） ，点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_ O y xAB C M P 【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点考虑 C 是 BM 中点，可
