1、 专题专题 06 逐个击破考向逐个击破考向-第第六六周：周：一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数 考察规律考察规律 题型总结题型总结 通过分析对比，可以看出： 一次函数与反比例函数题型主要分为两类： 反比例函数性质运用； 一次函数与反比例函数综合； 该类题型是在中考中每年高频的考点，难度一般都比较简单。 【真题再现真题再现】 1. （2019安徽）安徽） 已知点 A （1， -3） 关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 k y= x 的图像上， 则实数 k 的值为 （ ） A3 B 1 3 C-3 D 1 - 3 【解析】点 A（1，-3）关于 x轴的对称点 A的坐标为： （1，3） ，将
2、（1，3）代入反比例函数 k y= x ， 可得：k=1 3=3， 故选：A. 2. （2018安徽）安徽） 如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A(2，m)，ABx 轴于点 B， 平移直线 y=kx 使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l对应的函数表达式是_ . 年份年份 多情况分析多情况分析 考向补充考向补充 2010 2011 解答：一次函数与反比例函数综合 2012 2013 选择：反比例函数图像与性质 2014 选择：反比例函数图像 2015 解答：一次函数与反比例函数综合 2016 解答：一次函数与反比例函数综合 2017 2018 填空：一次函数与
3、反比例函数综合 2019 选择：反比例函数解析式 【解析】点 A(2，m)在反比例函数 y6 x的图象上，m3，点 A(2，3)，点 B(2，0)；点 A(2，3)也在 正比例函数 ykx 的图象上，32k，即 k3 2；直线 l 由直线 y 3 2x 平移而得，设直线 l 对应的函数表 达式为 y3 2xb；直线 l 经过点 B(2，0)，0 3 22b，解得：b3，直线 l 对应的函数表达式为 y3 2x3. 3.（2016安徽）安徽）如图，一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A（4，3） ， 与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA=OB （1）求
4、函数 y=kx+b 和 y= 的表达式； （2）已知点 C（0，5） ，试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB=MC，求此时点 M 的坐标 【解析】(1)点 A(4，3)， OA 42325， OBOA5， B(0，5)， 将点 A(4, 3)、点 B(0, 5)代入函数 ykxb 得， 4kb3 b5 ，解得 k2 b5， .(4 分) 将点 A(4, 3)代入 ya x得，3 a 4， a12， 所求函数表达式分别为 y2x-5 和 y12 x ； .(6 分) (2) 如解图，点 B 的坐标为(0, -5)，点 C 的坐标为(0, 5)， x 轴是线段 BC 的垂直平分线， MBM
5、C， 点 M 在 x 轴上， 又点 M 在一次函数图象上， 点 M 为一次函数的图象与 x 轴的交点，如解图所示， 令 2x-50，解得 x5 2， 此时点 M 的坐标为(5 2， 0) .(10 分) 第 20 题解图 4.（2015安徽）安徽）21如图，已知反比例函数 y k 1 x 与一次函数 yk2xb 的图象交于点 A(1，8)、B(4， m) (1)求 k1、k2、b 的值； (2)求AOB 的面积； (3)若 M(x1，y1)、N(x2，y2)是比例函数 y k 1 x 图象上的两点，且 x1x2，y1y2，指出点 M、N 各位于哪个 象限，并简要说明理由 【解析】把 A(1，8
6、)，代入 yk1 x ，得 k18，y8 x， 将 B(4，m)代放 y8 x，得 m2. A(1，8)，B(4，2)在 yk2xb 图象上， k2b8 4k2b2， 解得 k22，b6. .(4 分) (2)解：设直线 y2x6 与 x 轴交于点 C，当 y0 时，x3， OC3. SAOBSAOCSBOC1 238 1 23215. .(8 分) (3)解：点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 .(9 分) 理由：由图象知双曲线 y8 x在第一、三象限内，因此应分情况讨论： 若 x1x2y2，不合题意； 若 0x1y2，不合题意； 若 x10x2，点 M 在第三象限，点 N 在第一象限，
7、则 y10y2，符合题意 .(11 分) 点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 .(12 分) 5.5.（2012014 4安徽）安徽） 如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：当 P 在 AB 上时，x 的取值范围是 0 x3，此时点 D 到 PA 的距离等于 AD 的长度 4，所以 y 关于 x 的函数图象是一条平行于 x 轴的直线；当 P 在 BC 上时，x 的取 值范围是 3x5，方
8、法一：BAPDAEBAPAPB，DAEAPB，又BDEA 90 ， ABPDEA， DE AB AD AP， y 3 4 x， y 12 x ， (方法二： 观察图形可知， SAPD1 2 AP DE 1 2 AD AB， 即1 2xy 1 243，y 12 x )，所以 y 关于 x 的函数图象是双曲线的一部分，由 k12 可得函数在第一象 限且 y 随 x 的增大而减小；综合可知 B 项正确 第 9 题解图 6.6.（2012013 3安徽）安徽） 图所示矩形 ABCD 中，BCx，CDy，y 与 x 满足的反比例函数关系如图所示，等 腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点，M 为
9、 EF 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 当 x3 时，ECEM C. 当 x 增大时，EC CF 的值增大 D. 当 y 增大时，BE DF 的值不变 第 9 题图 【解析】由 y 与 x 满足反比例函数关系，设 yk x，函数图象经过点(3，3)，代入求得 k9，所以 y 9 x. 选项 逐项分析 正误 A x3 时，y9 33，所以 BCCD3，四边形 ABCD 是正方形， ECEM3 2 B y9 时，x9 91，此时 EC 2x 2，故 ECEM C BCx，所以 CDy9 x，由勾股定理 EC 2x，CF 2 9 x， 所以 EC CF 2x 29 x18(不变) D CDy
10、，则 BCx9 y，BEDFBC CD 9 yy9(不变) 第 9 题解图 7.（2011安徽）安徽）如图，函数 11 yk xb的图像与函数 2 2 0 k yx x 的图像交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知点 A 的坐标为（2，1） ，C 点的坐标为（0，3） 。 （1）求函数 y1的表达式和 B 点坐标; （2）观察图像，比较当0 x时 y1与 y2的大小 【解析】由直线过 A、C 两点得 2k1b1 b3 解得 k11，b3. y1x3. .(3 分) 将 A 点坐标代入 y2k2 x得 1 k2 2，k22，y2 2 x. .(5 分) 设 B 点坐标为(m，n)，B
11、是函数 y1x3 与 y22 x图象的交点， m32 m，解得 m1 或 m2，由题意知 m1， 此时 n2 m2， B 点的坐标为(1，2) .(7 分) (2)解：由图知： 当 0 x1 或 x2 时，y1y2； 当 x1 或 x2 时，y1y2； 当 1x2 时，y1y2.(12 分) 【技巧总结技巧总结】 1.求解析式：将题目中的点带入两个解析式即可 2.求图形面积：运用割补法 3.比较函数大小：根据图像，同一 x 值所对的图像，在上面的函数值大，在下面的函数值小 4.注意反比例函数的几何性质：k 为定值的运用。 【典型例题典型例题】 例 1 （2020 安徽省合肥市 168 中学四模
12、）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函 数 y 1 x 的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y k x 的图象上，连接OA、OB，若OAOB， 2 2 OBOA，则k _ 【答案】 1 2 【分析】 过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，设点 A 的坐标为（a， 1 a ） ，点 B 的坐标为（b， k b ） ， 判断出 OBFAOE，利用对应边成比例可求出 k 的值 【解析】过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F， 设点 A 的坐标为（a， 1 a ） ，点 B 的坐标为（b， k b ） ， AOE+B
13、OF=90，OBF+BOF=90， AOE=OBF， 又BFO=OEA=90， OBFAOE， AEOEAO OFBFOB ，即 1 2 a a k b b ， 则 1 2 a b，a= 2k b ， 可得：-2k=1， 解得：k= 1 2 故答案为： 1 2 【点睛】此题考查反比例函数的综合题，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特点， 解题关键在于能将点的坐标转化为线段的长度 例 2 （2019四川省中考模拟）已知反比例函数y 8 x ，下列结论中错误的是（ ） A图象在二，四象限内 B图象必经过（2，4） C当1x0 时，y8 Dy随x的增大而减小 【答案】D 【分析】依据
14、反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项 【解析】反比例函数y 8 x 中，k80， 图象在二，四象限内，故A选项正确； 248， 图象必经过（2，4） ，故B选项正确； 由图可得，当1x0 时，y8，故C选项正确； 反比例函数y 8 x 中，k80， 在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误； 故选：D 【点睛】考查了反比例函数的图象与性质，当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限 内y随x的增大而增大 【对应练习对应练习】 一、单选题 1 （2018广东省中考模拟）如图，边长为 1 的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于 点F，AFx（0
15、.2x0.8） ，ECy则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】通过相似三角形EFBEDC 的对应边成比例列出比例式 1 xy 1 1y ，从而得到 y 与 x 之间函 数关系式，从而推知该函数图象 【解析】根据题意知，BF=1x，BE=y1， AD/BC， EFBEDC， BFBE DCEC ，即 1 xy 1 1y ， y= 1 x （0.2x0.8） ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分 A、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部分 故选 C 2（2019 天津中考模拟） 反比例函数
16、k y x 的图象在第二、 第四象限， 点 123 2,4,5,AyByCy 是图象上的三点，则 123 ,yyy的大小关系是（ ） A 123 yyy B 132 yyy C 312 yyy D 231 yyy 【答案】B 【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随 x 的增大而增大，再 根据三点横坐标的特点即可得出结论. 【解析】反比例函数 k y x 图象在第二、四象限， 反比例函数图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大. 321 xxx -245, 点 B、C 在第四象限， 32 yy0 -2 0)的图象交于(,6)， (,3)两点 (1)求一次
17、函数的解析式； (2)根据图象直接写出 + 12 0时，x的取值范围； (3)若M是x轴上一点，= ，求点M的坐标 【答案】(1) = 3 2 + 9；(2) 2 0时，2 4 (3)设直线AB交x轴于P，则(6,0)，设(,0)， = ， = ， 1 2 6 6 1 2 6 3 = 1 2 | 3， 解得 = 6， 点M的坐标为(6,0)或(6,0) 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟 练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题. 10 （2019河南省中考模拟）如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y=
18、k x （k 为常数且 k0）的图象 交于 A（1，a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP= 3 2 SBOC，求点 P 的坐标 【答案】 （1）y=- 3 x （2）点 P（6，0）或（2，0） 【分析】 （1）利用点 A 在 y=x+4 上求 a，进而代入反比例函数 k y x 求 k （2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标 【解析】 （1）把点 A（1，a）代入 y=x+4，得 a=3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 k y x k=3， 反比例函数的表达式为 3
19、 .y x （2）联立两个函数的表达式得 4yx k y x 解得 1 3 x y 或 3 1 x y 点 B 的坐标为 B（3，1） 当 y=x+4=0 时，得 x=4 点 C（4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） 3 2 ACPBOC SS VV ， 131 344 1, 222 x 解得 x1=6，x2=2 点 P（6，0）或（2，0） 【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点 坐标以及在数形结合基础上的面积表达 11 （2019四川省中考模拟）如图，一次函数 15 22 yx 的图像与反比例函数 k y x (k0)的图像交于 A，B
20、 两点，过点 A 做 x 轴的垂线，垂足为 M，AOM 面积为 1. （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上求一点 P,使 PA+PB 的值最小，并求出其最小值和 P 点坐标. 【答案】 （1）y= 2 x ； （2）最小值即为 109 2 ，P（0，17 10 ）. 【分析】 （1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出 1 1 2 k ，进而得到反比例函数的解析式； （2）作点A关于y轴的对称点A，连接A B，交y轴于点P，得到PAPB最小时，点P的位置，根 据两点间的距离公式求出最小值A B的长；利用待定系数法求出直线A B的解析式，得到它与y轴的交 点，即点P的坐标 【解析】
21、 （1）反比例函数(0) k yk x 的图象过点A， 过A点作x轴的垂线， 垂足为M，AOM面积为 1， 1 1 2 k ， 0k ， 2k ， 故反比例函数的解析式为： 2 y x ； （2）作点A关于y轴的对称点A，连接A B，交y轴于点P，则PAPB最小 由 15 22 2 yx y x ，解得 1 2 x y ，或 4 1 2 x y ， 1,2A， 1 4, 2 B ， 1,2A，最小值 2 21109 4 12 22 A B 设直线A B的解析式为y mxn ， 则 2 1 4 2 mn mn ，解得 3 10 17 10 m n ， 直线 A B的解析式为 317 1010 y
22、x ， 0 x 时， 17 10 y ， P点坐标为 17 0, 10 【点睛】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定 PAPB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键 12 （2018辽宁省中考模拟）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= m x （x0）的图象交于 A （2，1） ，B（ 1 2 ，n）两点，直线 y=2 与 y 轴交于点 C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求ABC 的面积. 【答案】 （1）y=2x5， 2 y x ； （2） 21 4 【分析】 （1）把
23、A 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出反比例解析式，再将 B 坐标代入求出 n 的值， 确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形 ABC 面积 【解析】 （1）把 A（2，1）代入反比例解析式得：1= 2 m ，即 m=2，反比例解析式为 2 y x ，把 B （ 1 2 ，n）代入反比例解析式得：n=4，即 B（ 1 2 ，4） ，把 A 与 B 坐标代入 y=kx+b 中得： 21 1 4 2 kb kb ， 解得：k=2，b=5，则一次函数解析式为 y=2x5； （2） 如图， SABC= 1113121 2 6632 3 222224 【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用
