1、 数学( 理科) 答案详解 【 解析】 本题考查集合的基本运算 , 则 , , 故选 【 解析】 本题考查复数的运算、 纯虚数的定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 因为 是纯虚数, 所以 , 解得 , 则 , 故选 【 解析】 本题考查分层抽样原理的应用 根据分层抽 样的原理知, 应抽取教师人数为 , 应抽取 后勤服务人员的人数为 , 所以抽 取的教师比后勤服务人员多 ( 人) , 故选 【 一题多解】 也可以先计算出抽样比: 在 人中选出 人, 抽样比为 , 故应抽取教师人数为 , 应抽取后勤服务人员的人数为( ) 抽取的教师比后勤服务人员多 ( 人) , 故选 【 解析】 本
2、题考查程序框图 程序在运行过程中, 各 变量的值变化如下表: 是否继续 循环前? 第一次是 第二次是 第三次 是 第四次 否 由表可得当 时, , 此时应该结束循环体, 输 出 的值为 , 所以判断框内应该填入的条件为 ? , 故选 【 解析】 本题考查三角函数的化简求值、 同角三角 函数 的 基 本 关 系 , , 故选 【 解析】 本题考查等差数列的求和公式、 等差数列的 性质 ( ) , , ( ) , , 故选 【 解析】 本题考查平面向量的数量积与坐标运算 ( , ) ,( , ) ,( , ) , ( , ) , 当 与 垂直时, ( ) ( ) ( ) , 解得 , 故选 【 解
3、析】 本题考查空间几何体的面积公式、 基本不等 式, 考查运算求解能力、 空间想象能力 设长和宽分别 为 , , 则该垃圾桶的体积为 () , 当且仅当 时取等号, 此时所需耗费铁皮 的面积为 ( 平方米) , 故 选 【 解析】 本题考查正弦函数的周期公式、 对称中心与 对称轴、 函数最值及值域的求解, 考查逻辑推理和数学 运算的核心素养 ( ) () , ( ) 的一 个周期 , 故 正确; 由正弦函数的性质可知, 当 时, () () , 由 对称性质可知 ( ) 的图象关于点 , () 对称, 故 正确; 由正弦函数在对称轴处取得最值可知, 当 时, () () , 故 正确; , ,
4、 () 槡 , 故 错误, 故选 【 解析】 本题考查点与线的对称关系及直线的方 程, 考查数学运算的核心素养、 化归与转化的思想、 数形 结合的思想 如图所示, 点 ( , ) 关于直线 : 的对称点为点 ( , ) , 可得直线 的方 数学( 理科) 答 程为 , 从而可得直线 与直线 的交 点坐标为 , () , 即 点 坐标为 , () 时, 最小, 故选 【 方法技巧】 当对称直线的斜率为 时, 我们可以直 接将点坐标代入, 求对称点 将 ( , ) 的横坐 标 代入 : , 得 , 将纵坐标 代入, 得 , 故对称点坐标为 ( , ) 【 解析】 本题考查三棱锥的外接球的体积的计算
5、, 考查运算求解能力 在三棱锥 中, 槡 , , 可将此三棱锥放在 长方体 内, 如图所示 设 , , , 则 , , , 将上述三个等式相 加得 ( ) , 则 设三棱 锥 的外接球直径为 , 则( ) , , 槡 因此该三棱锥外接球的体积 为 槡 () 槡 , 故选 【 一题多解】 设 , 槡 , 则四面体 的外接球直径为 ( 槡 ) 槡 槡 , 槡 , 则该三棱锥外接球的体积为 槡 , 故选 【 解析】 本题考查函数的奇偶性与周期性的应用、 对 数的运算性质 根据题意, 函数 ( ) 满足 ( ) ( ) , 则函数 ( ) 是 周 期 为 的 周 期 函 数, ( ) , 则 ( )
6、( ) 又由函数 ( ) 为奇函数, 则 ( ) () 又 ( , ) 时, ( ) , 则 () , 则有 ( ) () , 故选 【 解析】 本题考查二项式定理的应用、 二项展开 式的通项公式, 考查运算求解能力、 数学运算核心素 养 二 项 式 槡 () 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 , 令 , 解得 , 可得展 开式中常数项是 , 可得 【 方法技巧】 在二项展开式的通项公式中, 令 的幂指 数等于 , 求出 的值, 代入即可求得 的值 【 解析】 本题考查函数的导数的应用、 函数零点定 理的应用 函数 ( ) , 可得 ( ) , 当 ( , ) 时, ( ) , 函数 (
7、 ) 是减 函数, 且 () , ( ) , 所以当 ( , ) 时, 函数 ( ) 的零点个数 为 【 一题多解】 借助图象, 找函数 与 的交点, 由于 在 ( , ) 时单调递减, 故 只有一个交点, 所以函数 ( ) 的零点 个数为 ( , 【 解析】 本题考查椭圆的方程和性质、 向量数 量积的坐标表示、 二次函数的性质, 考查运算求解能 力 由题意可设 ( , ) , ( , ) , 且 由 ( , ) , 得 ( , ) ( , ) () 曲线 可化为 , 故 , 可得 , , 由于直线斜率存在, 故等于 时不符合题意, 故 的取值范围是( , 【 解析】 本题考查数列的综合应用、
8、 等比数列 的求和公式, 考查运算求解能力、 分类与整合的思想 , 为奇数, , 为偶数 ( ) , 当 数学( 理科) 答 时, , 解得 , 当 时, , 可得 ( ) ( ) 若 为偶数时, , 即有 ; 若 为奇数( ) 时, ( ) , 可得 , 即 有 () 【 名师指导】 本题考查概率的求解、 离散型随机变量的 分布列及数学期望, 考查逻辑推理、 数学运算、 数学抽 象和数据分析的核心素养 () 由表格得学生喜欢文艺、 人文社科、 科学技术和 动漫类书籍的概率分别为 , , , , 利用独立 重复实验的概率的乘法求解即可; () 由题意可知 , () , 然后求出分布列和期望即可
9、 解: () 由表格得学生喜欢文艺、 人文社科、 科学技术 和动漫类书籍的概率分别为 , , , ( 分) 设 为三人中喜欢文艺类书籍的人数, 为喜欢动 漫类书籍的人数, 事件 为“ 三人中喜欢文艺类书籍 的人数多于动漫类书籍人数” , 则 ( ) ( ) ( ) ( 且 ) () () ( ) ( 分) () 由题意可知 , () , 则 ( ) () , ( ) ( ) , ( ) () , ( ) () ,( 分) 故 的分布列为 ( 分) ( ) ( 分) 【 一题多解】 此处 , () , 也 可 直 接 使 用 ( ) 计算期望 【 名师指导】 本题考查余弦定理、 三角形的面积公式
10、、 三角函数的恒等变换公式的运用, 考查直观想象、 数 学运算的核心素养 () 运用两角和的正弦公式、 同角三角函数的基本关 系, 计算即可得到所求; () 由三角形的面积公式、 余 弦定理, 结合基本不等式, 即可得到所求最大值 解: () 由已知 ( ) 及 , 得 ( ) ,( 分) 即 , , 化简得 , 即 ,( 分) 又 ( ,) , ( 分) () 的面积为 槡 ( 分) 由已知及余弦定理可得 ( 槡 ) , ( 分) 槡 , 当且仅当 时, 等号成立,( 分) 槡 槡 槡 ( 槡 ) ,( 分) 即 面积的最大值为 ( 槡 ) ( 分) 【 名师指导】 本题考查利用空间向量的夹
11、角公式求解 二面角的平面角、 平面与平面垂直的判定定理, 考查 空间想象能力、 运算求解能力、 数学建模核心素养 () 证明 , 然后结合已知条件, 即可证明 平面 , 进而得到 平面 , 即可 得证平面 平面 ; () 建立空间直角 坐标系, 分别求出平面 、 平面 的法向量, 利用空间向量的夹角公式求解二面角 的 余弦值 解: () 证明: , 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 , 又 , ( 分) , 平面 ( 分) , 平面 数学( 理科) 答 又 平面 , 平面 平面 ( 分) () 已知三棱柱 的侧面 与底 面 垂直, 侧棱与底面所在平面成 角, , ( 分) 在平面 内, 以
12、 为坐标原点, 过点 作 的垂线, 记为 轴, 分别以 , 所在直线为 轴和 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 ( , ,槡 ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( 分) 由 , 得 ( , ,槡 ) ( 分) 设平面 、 平面 的法向量分别为 ( , , ) , ( , , ) , ( , ,槡 ) , ( , ,槡 ) , ( , ,槡 ) , ( , ,槡 ) , ( 分) 由 , 得 槡 , 槡 , 取 槡 , 则 ( , ,槡 ) 由 , 得 槡 , 槡 , 取 槡 , 则 ( , ,槡 ) , ( 分) 槡 , 则二面角 的余弦值为槡 ( 分
13、) 【 名师指导】 本题考查函数的导数的应用、 函数的极值 以及函数的最值的求法, 考查化归与转化思想以及运 算求解能力 () 求出函数的导数, 利用函数的极值求出 , 然后 求出函数的解析式, 通过导函数的正负, 求解函数的 单调区间; () 构造新函数并求解导函数, 判断函数 的单调区间以及极值, 进而求解即可 解: ( ) ( ) , 由题设知, ( ) , 所以 , 经检验 符合题意, ( 分) 从而 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 分) 当 时, ( ) ; 当 时, ( ) , ( 分) 所以 ( ) 在( , ) 上单调递增, 在( , ) 上单 调递减 (
14、分) () 因为 在( , ) 上恒成立, 即 恒成立 ( 分) 设 ( ) , 则 ( ) ( 分) 令 ( ) , 则 , 所以当 ( , ) 时, ( ) ; 当 ( , ) 时, ( ) ,( 分) 所以 ( ) 的单调递增区间是( , ) , 单调递减区间是 ( , ) , ( ) ( ) , 所以 , 即 , 则实数 的取值范围为 , ) ( 分) 【 名师指导】 本题考查直线与抛物线的位置关系、 抛物 线的方程, 考查数学抽象、 逻辑推理、 直观想象和数学 运算的核心素养, 考查函数与方程思想、 化归与转化 思想 ( ) 求出交点坐标, 代入抛物线方程求出 的值即 可; () 设
15、出直线的方程, 利用 , 转化为 , 利用设而不求思想进行求解即可 解: () 抛物线 与直线 的一个交 点的横坐标为 , 纵坐标 , 即交点坐标为( , ) , 则 , 即 , 抛物线的方程为 ( 分) () 设满足条件的直线方程为 , ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , ) , , , ( , ) ( , ) , 即 ( ) () ( 分) 数学( 理科) 答 由 , 得( ) , 化简得 ( ) , ( 分) ( ) , 则 , ( 分) , , ( ) ( ) ( ) , ( 分) 代入() 式化简得 , 解得 槡 ( 分) , 两个值均能取到 综上可知
16、, 存在斜率为 的直线, 其方程为 槡 或 槡 ( 分) 【 名师指导】 本题考查参数方程与普通方程、 极坐标方 程与直角坐标方程的互化、 参数的几何意义, 考查运 算求解能力、 化归与转化思想、 应用意识 () 通过公式可得曲线 的直角坐标方程, 利用消 参法可得直线 的普通方程; () 利用直线参数方程 的几何意义可得 解: () 直线 的参数方程为 , 槡 ( 为 参数) , 消去参数 得直线 的普通方程为槡 槡 ( 分) 曲线 的极坐标方程是 槡 () , , 即 , 曲线 的直角坐标方程是( ) ( ) ( 分) () 将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方 程中, 得 () 槡
17、() , 化简得 , ( 分) 槡 , 槡 方程的两根为直线 与曲线 的两个交点 , 对 应的参数 , , ( 分) 【 名师指导】 本题考查解绝对值不等式的解法、 绝对值 不等式的性质, 考查分类与整合思想、 化归与转化 思想 () 代入 的值, 通过讨论 的取值范围, 求出不等 式的解集即可; () 根据绝对值三角不等式的性质得 到关于 的不等式, 解出即可 解: () 当 时, ( ) 当 时, ( ) , 解得 ; 当 时, ( ) , 解集 为; 当 时, ( ) , 解得 综上, 当 时, 不等式 ( )的解集为 , ( , ) ( 分) () 显然有 , 由绝对值三角不等式得 ( ) ( ) () , ( 分) 所以 , 即 , 解得 , 即 , ( 分) 数学( 理科) 答