1、 数学试卷 第 1 页 （共 5 页） 秘密 启用前 试卷类型： A 广州市广州市 20202121 届高三年级届高三年级阶段训练阶段训练 数学 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应
2、位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 设集合0,1,2 ,|1ABx x，则AB的子集个数为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知复数1 2iz ，则 2 z A. 3 B. 3 C.5 D. 5 3. 设 n a是公差为正数的等差数列，若 213
3、 5,16aa a，则 12 a A. 12 B. 35 C. 75 D. 90 4. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:“ 今有牛、马、羊食人苗. 苗主责之粟 五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就 是：现有牛、马、羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米 5 斗. 羊主人说：“我的羊所吃数是马的一半.”马主人说：“我的马所吃数是牛的一半.”现在按照三 畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛、马、羊的主人赔偿粟米斗数分别为 A. 20 7 ，10 7 ， 5 7 B. 5 7 ，10 7 ， 20 7 C. 20 7
4、 ， 5 7 ，10 7 D. 10 7 ， 5 7 ， 20 7 5. 已知 fx， g x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 且 32 f xg xxxa， 则 2g A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 数学试卷 第 2 页 （共 5 页） 6. 某学校鼓励学生参加社区服务, 学生甲 2019 年每月参加社区服务的时长（单位：小时） 分别为 1 x， 2 x， 12 x，其均值和方差分别为x和 2 s ，若 2020 年甲每月参加社区服务 的时长增加 1 小时，则 2020 年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为 A. x， 2 s B. 1 x ， 2 1 s C. x， 2 1
5、 s D. 1+x， 2 s 7. 6 1 ax x 的展开式中的常数项为160，则a的值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 8. 在长方体 1111 DCBAABCD 中， 1 21ABCCBC， 点M在正方形 11C CDD内， MC1平面CMA1，则三棱锥 11CC AM 的外接球表面积为 A. 11 2 B. 7 C. 11 D. 14 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分
6、，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 以下四个命题中，真命题的是 A. 若pq为真命题，则, p q均为真命题 B. “2x”是“lg(3)0 x”的必要不充分条件 C. 若命题 2 :,10pxxx R，则p 2 :,10 xxx R D. 若0ab，则 22 aabb 10. 已知P是双曲线:C 22 169 1 xy 右支上一点， 1 F, 2 F分别是C的左, 右焦点，O为坐 标原点， 1 9 4 OPOF ，则 A. C的离心率为 5 4 B. C的渐近线方程为 4 3 yx C. 点P到C的左焦点距离是 4 23 D. 12 PFF的面积为 4 45 11. 已知函数(
7、) |sincos |(sincos ),f xxxxx xR，则 A. ( )f x在 0, 4 上单调递增 B. ( )f x是周期函数，且周期为 2 C. ( )f x有对称轴 D. 函数( )( ) 1g xf x在( ,)上有且仅有一个零点 数学试卷 第 3 页 （共 5 页） 12. 已知直线2 xy分别与函数 1 e 2 x y 和ln 2yx的图象交于点 11 ( ,)A x y ， 22 (,)B xy ，则 A. 12 ee2e xx B. 12 e 4 x x C. 1 22 1 ln ln0 x xx x D. 1 2 eln 22 x x 三、填空题：本题共三、填空题
8、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知 1 e， 2 e是互相垂直的单位向量，若 12 3ee与 12 ee的夹角为90，则实数的 值是 14. 函数( )sinf xxx在点 , 22 f 处的切线方程为 15. 广东省 2021 年的新高考按照“3 1 2 ”的模式设置， “3”为全国统一高考的语文、 数学、外语3门必考科目； “1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目； “2”由考生在 思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目. 则甲，乙两名考生在选考科目中恰有 两门科目相同的方法数为 . 16已知抛物线:C 2 2(0)ypx p的焦点
9、为F，过点F且斜率为3的直线l交C于A, B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到 C的准线的距离为3，则QMNsin的值为 四四、解答题：本题共、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分） 在cossinaBbA， 222 2bacac ，sin cos2BB 这三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 问题： 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ABC的面积为2，2a，求b. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解
10、答计分. 18.（12 分） 已知数列 n a的前n项和 n S满足 2 23 n Snn，数列 3 log n b是公差为 1的等差数 列， 1 1b . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 1212 nnn bac，求数列 n c的前n项和 n T. 数学试卷 第 4 页 （共 5 页） 19.（12分） 某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况， 在开学初 进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、 “要加油”三个等级，同时对相 应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分. 现随机抽取年级120名 学生的成
11、绩，统计结果如下所示： （1）若测试分数90分及以上认定为优良. 分数段在150120，12090，0 90，内女生 的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的2 2列联表，并判断：是否有95以上的 把握认为性别与数学成绩优良有关？ （2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、 “要加油”的三个等级的学生中选取10 人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为X，求X的分布列及 数学期望()E X. 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 20.（12 分） 如图，在四棱锥EABCD中，底面A
12、BCD为菱形，BE平面ABCD，G为AC与 BD的交点. （1）证明：平面AEC平面BED； （2）若 60BAD，AEEC， 求直线EG与平面EDC所成角的正弦值 等级 优秀 良好 要加油 得分 150120， 12090， 0,90 频数 12 72 36 是否优良 性别 优良 非优良 总计 男生 女生 总计 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 数学试卷 第 5 页 （共 5 页） 21.（12 分） 已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C经过点 2 1, 2
13、 P ，且两焦点与短轴的两个端点的 连线构成一正方形. （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点. 是否存 在一定点)0 ,(tE，使得x轴上的任意一点(异于点E，F)到直线EM，EN的距离相等？ 若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 22.（12 分） 已知函数 2 1 ( )()ln1 2 f xxaxxaxa （1）若1a ，求函数 fx的单调区间； （2）若 2 1 ln2 2 f xaxxx在1,上恒成立，求整数a的最大值 第 1 页 （共 9 页） 广州市 2021 届高三年级阶段训练 数学试题参考答案及评分标准 评分说明:
14、1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A C D A C
15、二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 3 14. 0 xy 15. 60 16. 5 8 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17. (10 分) 解解：若选择AbBasincos，由正弦定理得ABBAsinsincossin. 1 分 因为sin0A，所以1tan,sincosBBB. 3 分 因为(0, )B， 4 分 所以 4 B
16、. 5 分 若选择 222 2caacb ，由余弦定理 2 2 2 cos 222 ac bca B . 3 分 因为(0, )B， 4 分 所以 4 B. 5分 若选择 2cossinBB ，由和角公式得2) 4 sin(2 B，2 分 所以1) 4 sin( B. 3分 第 2 页 （共 9 页） 因为(0, )B， 则 4 5 , 44 B, 4 分 所以 24 B， 所以 4 B. 5分 2sin 2 1 BacS ABC ， 6 分 因为2a， 2 2 sinB ， 所以 2 2c . 7 分 由余弦定理得4 2 2 2884cos2 222 Baccab ， 9 分 所以2b .
17、10分 18. (12 分) （1）解解：因为 2 23 n Snn， 当2n时， 2 1 23(1)(1) n Snn ， 1 分 -得264 n an， 所以32(2) n ann. 2 分 当1n 时， 1 22S ，所以 11 1aS满足上式. 3 分 所以32 n an. 4 分 因为数列 3 log n b是公差为1的等差数列，首项为 313 loglog 10b ， 所以 3 log1 n bn . 5 分 所以 1 3 n n b ，即 1 1 3 n n b . 6 分 （2）解解： n nnn nbac 9 1 16 1212 . 8 分 第 3 页 （共 9 页） 所以
18、11 1 761 99 1 2 1 9 n n nn T 10 分 2 11 341 89n nn . 12 分 19. (12 分) （1）解解：依题意，完成下面的2 2列联表： 是否优良 性别 优良 非优良 总计 男生 40 16 56 女生 44 20 64 总计 84 36 120 2 分 3.8410.102 46658436 02044461120 2 2 K. 4 分 故没有95以上的把握认为性别与数学成绩优良有关. 5 分 （2）解解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、 “要加油”三个等级的学生分别抽取1人， 6人，3人. 现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和X
19、的可能取值为15，10， 5，0. 6 分 11 16 2 10 1 62 15, 4515 C C P X C 211 613 22 1010 186 10, 4515 CC C P X CC 11 63 2 10 186 5, 4515 C C P X C 2 3 2 10 31 0, 4515 C P X C 10 分 所以X的分布列为： X 15 10 5 0 P 15 2 15 6 15 6 15 1 11 分 所以 8 15 1 0 15 6 5 15 6 10 15 2 15XE. 12 分 第 4 页 （共 9 页） E z y x G D C B A 20. (12 分) （
20、1）证明：因为四边形ABCD为菱形， 所以ACBD. 1 分 因为BE平面ABCD，AC平面ABCD， 所以ACBE. 2 分 又BEBDB，所以AC平面BED. 3 分 又AC平面AEC， 所以平面AEC平面BED. 4 分 （2）解法 1：设1AB，在菱形ABCD中，由60BAD ，可得 3 2 AGGC， 1 2 BGGD. 因为AEEC，所以在 RtAEC中可得EGAG 3 2 . 5 分 由BE平面ABCD，得EBG为直角三角形， 则 222 BGBEEG，得BE 2 2 . 6 分 过点G作直线GZ/BE, 因为BE平面ABCD， 所以GZ平面ABCD， 又AC BD， 所以建立如
21、图所示的空间直角坐标系Gxyz. 3112 0,0,0 ,0,0 ,0,0 ,0, 2222 GCDE 所以 12 ,0, 22 GE . 8 分 设平面EDC的法向量为 2132 , ,1,0, 2222 nx y zDECE ， 由 0 0 DE n CE n , 得 2 0 2 132 0 222 xz xyz ， 9 分 取 3 1,2 3 xyz , 所以平面EDC的一个法向量为 3 (1,2) 3 n . 10 分 第 5 页 （共 9 页） 设直线EG与平面EDC所成角为， 则 11 0 1 10 22 sincos, 10111310 12 42323 GE n . 所以直线E
22、G与平面EDC所成角的正弦值为 10 10 . 12分 解法 2：设1BG, 则1GD ,2AB,3AG. 设点G到平面EDC的距离为h，EG与平面EDC所成角的大小为. 因为AC 面EBD，EG 面EBD，所以ACEG. 因为ECAE , 所以AEC为等腰直角三角形. 5 分 因为22 3ACAG, 所以6AEEC，3EGAG. 因为2ABBD，所以RtRtEABEDB. 所以6EAED. 6 分 在EDC中，6 ECED,2DC, 则5 EDC S.7 分 在Rt EAB中，226 2 2 BE. 11116 223 32666 E GDCCBDABD VBESS . 8 分 由 16 5
23、 36 G EDCE GDC VhV ， 9 分 得 630 . 102 5 h 10 分 所以 10 sin 10 h EG . 所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为 10 10 . 12 分 第 6 页 （共 9 页） y E z x G D C B A 解法 3：如图以点B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Bxyz. 不妨设2AB ， 则0 , 3, 1A，0 , 0 , 2C,2, 0 , 0E,0 , 3, 1D, 0 , 2 3 , 2 1 G 所以 2, 2 3 , 2 1 EG. 8 分 设平面EDC的法向量为, ,nx y z，2, 3, 1ED,2, 0 , 2EC
24、， 则 0 0 ECn EDn ，得 320 220 xyz xz ，. 9 分 令3x , 则1,6yz. 所以平面EDC的一个法向量为6, 1 , 3n. 10 分 设EG与平面EDC所成角为， 则 10 10 61321 32 2 3 2 3 ,cossin nEG. 所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为 10 10 . 12 分 21.(12 分) （1）解：因为椭圆C的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形， 所以2ab. 1 分 则椭圆C 22 22 :1 2 xy bb . 因为椭圆C经过点 2 1, 2 P ，代入可得1 2 b，2 分 所以椭圆C的方程为1 2 2 2 y
25、 x . 3 分 （2）解法 1：若存在点)0 ,(tE满足题设条件，设),( 11 yxM，),( 11 yxN， 当xMN 时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点,E F)到直线,EM EN的 距离相等. 4 分 第 7 页 （共 9 页） 当MN与x轴不垂直时，设直线l的方程为)0)(1(kxky， 由 ) 1( 1 2 2 2 xky y x ，得0224)21 ( 2222 kxkxk， 所以 2 2 21 21 4 k k xx ， 2 2 21 21 22 k k xx ， 5 分 根据题意，x轴平分MEN，则直线,EM EN的倾斜角互补. 6 分 即0 NEME kk
26、. 7 分 则 12 12 0 yy xtxt （当tx 1 或tx 2 时不合题意） ， 8 分 将) 1( 11 xky，) 1( 22 xky代入上式，得0 ) 1() 1( 2 2 1 1 tx xk tx xk ， 又0k，所以0 11 2 2 1 1 tx x tx x . 即0 )(1()(1( 2 12 1 21 tx txx tx txx ，得0 )( 2)(1 (2 21 2121 txtx txxtxx ， 得02)(1 (2 2121 txxtxx， 9 分 将 2 2 21 21 4 k k xx ， 2 2 21 21 22 k k xx 代入得0 21 42 2
27、k t ， 10 分 所以2t 11 分 综上，存在定点)0 , 2(E，使得x轴上的任意一点(异于点,E F)到直线,EM EN的距离相 等. 12 分 解法 2：设直线l的方程为1myx，与椭圆C联立得012)2( 22 myym. 则 2 2 2 21 m m yy， 2 1 2 21 m yy 5 分 根据题意，x轴平分MEN，则直线,EM EN的倾斜角互补. 6 分 即0 NEME kk. 7 分 则 12 12 0 yy xtxt ， 8 分 第 8 页 （共 9 页） 得 1221 ()()0y xty xt，即 1221 (1)(1)0 y myty myt， 得 1 212
28、2(1)()0my yt yy. 9 分 从而 22 22 (1)0 22 mm t mm ，即 2 2 (2) 0 2 mt m ，10 分 所以2t 11 分 综上，存在定点)0 , 2(E，使得x轴上的任意一点(异于点,E F)到直线ENEM、的距离相 等. 12 分 22.(12 分) （1）解：若1a , 2 1 1 ln 2 f xxxxx，函数 f x的定义域为0,， 得 1 lnfxxx x . 1 分 设 1 lng xxx x ，则 2 2 222 13 11124 10 x xx gx xxxx . 2 分 故 xg在，0上单调递减，且 01 g， 3 分 故当1 , 0
29、 x时， 0 xg，即 0 x f， xf单调递增； 当 , 1x时， 0 xg，即 0 x f， xf单调递减. 4 分 综上， xf的单调递增区间为10，单调递减区间为，1. 6 分 （2）解法 1：原不等式等价于ln1210 xxa xx , 即 ln21 1 xxx a x 在, 1上恒成立 7 分 设 ln21 ( ) 1 xxx x x ，1x ，则 2 ln2 ( ) (1) xx x x ， 设( ) ln2h xxx ，则 11 ( )10 x h x xx . 所以 h x在(1, )上单调递增 8 分 又 (3)3ln321ln30h ， 44ln4222ln20h ，
30、根据零点存在性定理，可知( )h x在(1, )上有唯一零点， 设该零点为 0 x，则 0 (3,4)x ，且 000 ()ln20h xxx，即 00 2lnxx. 9 分 当 0 1,xx 时， 0 xh，即 0 x ，故 x在 0 1,x 上单调递减； 当 0, xx时， 0 xh，即 0 x ，故 x在 0, x 上单调递增； 第 9 页 （共 9 页） 所以 000 0 min 0 ln21 1 1 xxx xx x 10 分 由题意可知 0 1ax，又 0 (3,4)x ，得 0 415x , 11 分 因为aZ， 所以整数a的最大值为4 12 分 解法 2：原不等式等价于ln12
31、10 xxa xx 在1,上恒成立 设( )ln121xxxa xx，则 ( )ln3xxa. 7 分 （i）当3a时， ( )0 x 在, 1上恒成立，所以 ( )x 在, 1上单调递增. 故 ( )(1)10 x 在, 1上恒成立. 8分 （ii）当3a时，令 ( )0 x, 得 1e 3 a x , 当 3 1,eax 时， 0 x ，故 x在 3 1,ea上单调递减; 当 3 e, a x 时， 0 x ，故 x在 3 e, a 上单调递增. 所以 33 min e1e aa ax. 要使ln1210 xxa xx 在, 1上恒成立，只需 0e1 3 min a ax.9 分 令 3 e1 x xxh，3x, 则 0e1 3 x xh，所以 xh在, 3上单调递减. 又 0e34h， 0e25 2 h， 所以 xh在, 3上存在唯一的零点 0 x，且5 , 4 0 x, 10 分 从而 0e1 3 a a 3a的解为 0 3xa . 11分 因为aZ， 所以整数a的最大值为 4 . 12 分
