1、2021 届高三上学期第二次月考 文科数学 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。) 1.已知集合 2 230Ax xx ，非空集合21Bxaxa ，BA，则实 数a的取值范围为（ ）. A.,2 B. 1 ,2 2 C.,2 D. 1 ,2 2 2.已知z是复数z的共轭复数，满足 2 1 1 z i i ，则复数z的实部为（ ） A.1 B.0 C.2 D.1 3.已知命题:pn N ， 2 2nn ，则 p 为（ ） A.nN ， 2 2nn B.nN ， 2 2nn C.n
2、N ， 2 2nn D.nN ， 2 2nn 4.已知正方形PQRS两对角线交于点M，坐标原点O不在正方形内部，(0,3)OP ， (4,0)OS ，则向量RM等于( ) A. 11 , 22 B. 11 , 22 C. 7 1 , 2 2 D. 71 , 22 5.若定义在 R 上的增函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，且 ( )( ) 1g xf x，则下 列结论不一定成立的是（ ） A.(1)0g B.(0)1g C.( 1)(1)0gg D.( 1)(2)2gg 6.函数 1 2sinyx x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 2 )( x x xf
3、)0( )0( x x ，且 )2()2(ff ，则 )4(f （ ） A2 B4 C8 D16 8.若2sin cos1 2 xx ，则cos2x （ ） A. 8 9 B. 7 9 C. 7 9 D.1 9.若不等式 2 1ln110 x xexa x 在0,上恒成立，则实数a的取值范围 是（ ） A. 2 ln3 , 3 e B., 1 C., 2 D. ln2 , 2 10.设 n a为等比数列， n b为等差数列，且 n S为数列 n b的前n项和若 2 1a ， 10 16a，且 66 ab ，则 11 S（ ） A.20 B.30 C.44 D.88 11.将函数 2 2cosc
4、os 2 2 f xxx 的图象向右平移 4 个单位，得到函数 yg x 的图象，则函数 yg x的一个极大值点为（ ） A. 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 12.海伦公式是利用三角形的三条边的边长, ,a b c直接求三角形面积 S 的公式，表达式为： +c ()()(), 2 ab Sp papbpcp + =-=；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的 数学家秦九韶在 1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但 它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦秦九韶公式.现在有周长为10+2 7的 ABC 满足sin:sin:sin2:3: 7A
5、BC ，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为 （ ） A.8 7 B.4 7 C.6 3 D.12 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.将函数( )sin( )0, 22 f xx 图象上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移 6 个单位长度得到 sinyx 的图象，则 6 f _ 14.函数 2019 ( )2020 x f xa （0a且1a ）的图象过定点A，则点A的坐标为_. 15.已知函数 2 ln ( ) ax f xx x ，对于 12 ,2,2020 x x ，且当 21 xx时，恒有
6、 12 21 0 f xf x xx ，则实数 a 的取值范围为_. 16.给出以下四个结论： 函数 21 1 x f x x 的对称中心是( ) 1,2-； 若关于x的方程 1 0 xk x 在0,1x没有实数根，则k的取值范围是2k ； 在ABC中，“coscosbAaB”是“ABC为等边三角形”的充分不必要条件； 若 sin 2 3 f xx 的图象向右平移0 个单位后为奇函数，则最小值是 12 . 其中正确的结论是_ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。) 17. （本小题满分（本小题满分 1 10 0 分分） 设命题p：实数x满足
7、22 430 xaxa，其中0a；命题q：实数x满足 3 0 2 x x . （1）若1a ，且p q 为真，求实数x的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 如图，在ABC中，M是边BC的中点， 5 7 cos 14 BAM， 2 7 cos 7 AMC . （1）求B的大小； （2）若7AM ，求ABC的面积. 19. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 nn Saa（ * nN），数列 n b满足 1 6b ， 1 4 nn n bS a （ *
8、 nN） （）求数列 n a通项公式； （）记数列 1 n b 的前n项和为 n T，证明： 1 2 n T 20. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 设函数( )log (2 )log (3 ), aa f xxaxa其中0a且1a . （1）已知(4 )1fa ,求a的值； （2）若在区间3,4aa上( )1f x 恒成立，求a的取值范围. 21. （本小题满分（本小题满分 1212 分分） 已知函数 2 1 1 x x e f x （）不需证明，直接写出 f x的奇偶性： （）讨论 f x的单调性，并证明 f x有且仅有两个零点： （）设 0 x是 f x的一个零点，证明曲线
9、x ye在点 0 0, x A x e 处的切线也是曲线 lnyx 的切线 22. （本小题满分（本小题满分 1212 分分）已知函数 2 cos 22sin0 64 f xxx 在 2 , 3 上具有单调性，且31 6 f . （1）求 f x的最小正周期T； （2）将函数 f x的图象向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 g x的图 象， 求 g x在, 4 4 上的最大值和最小值. 参参考考答案答案 1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13. 2 2 14.2019,2021 15.( ,24 16. 1
10、7.(1)23x；(2)1 2a. （1）对于p：由 22 430 xaxa，得： 30 xaxa， 又0a，所以3axa， 当1a 时，13x， 对于q： 3 0 2 x x 等价于 20 230 x xx ，解得：23x， 若p q 为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是：23x； （2）因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 pq ，且 pq ，即q p ， |3Ax axa，|23Bxx，则BA，即02a，且33a ， 所以实数a的取值范围是12a. 18.（1） 2 3 （2）3 解：（1）由 5 721 cos,sin 1414 BAMBAM 由 2 721 cos,sin
11、77 AMCAMC 又AMCBAMB coscos()coscossinsinBAMCBAMAMCBAMAMCBAM 2 7 5 721211 7147142 因为(0, )B 故 2 3 B ； （2）在ABM中，由正弦定理，得 sinsin AMBM BBAM sin 1 sin AMBAM BM B 因为M是边BC的中点，所以1MC 故 21 2sin7 13 7 ABCAMC SSAM MCAMC ， 故ABC的面积为 3. 19. （） 1 2 nn Saa（ * nN）， 当 2n时， 111 2 nn Saa ， 得 1 22 nnn aaa ， 即 1 2 nn aa ，2n，
12、 1 4 nn n bS a ， 11 1 1 4ba a ， 又 1 6b ， 1 1a ， 数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a - = （）由（）可得 1 221 n nn Saa， 211 11 1123 21 4214 22 nn n nn nn n bS a （ * nN）， 11 2111 1 12211 23 2121212121 nn nnnn nn n b ， 01121 111111111 2121212121212212 n nnn T ， 1 2 n T . 20.（1） 1 2 a .（2）01a. （1） 1 (4 )log (42
13、 )log (43 )1 2 aa faaaaaa . （2） 2 222 5 ( )log (56)log (), 24 aa aa f xxaxax 由 20 30 xa xa 得3 ,xa由题意知33 ,aa故 3 2 a ， 从而 53 (3)(2)0 22 aaa，故函数 2 2 5 ( )() 24 a g xxa在区间3,4aa上单 调递增. 若01,a则( )f x在区间3,4aa上单调递减，所以( )f x在区间3,4aa上 的 最 大 值 为 2 (3 )l o g( 299 )1 a faaa， 即 2 299aaa， 解 得 5757 22 aa 或，又01a，所以01
14、a. 若 3 1, 2 a则( )f x在区间3,4aa上单调递增，所以( )f x在区间3,4aa上 的最大值为 2 (4)log (21216)1 a f aaa， 2 21216aaa， 解得13 411341 42 a ，与 3 1 2 a联立无解. 综上：01a. 21. （）定义域为 |0 x x ，函数为奇函数 （）因为 2 2 ( )10 (1) x x e fx e ， 由（）知， ( )f x为奇函数，且 |0 x x 所以， ( )f x在(,0) 和(0,)上单调递增 在(0,)上， 1 22 (1)1 10 11 f ee ， 22 22 (2)2 110 11 f
15、ee 所以 ( )f x在(0,)上有唯一零点 1 x，即 1 ()0f x 又 ( )f x为奇函数， 111 0,()( )0 xfxf x 故 ( )f x在(,0) 上有唯一零点 1 x 综上， ( )f x有且仅有两个零点 （）因为 0 0 ln x ex ，故点 0 0 (,) x B ex 在曲线lnyx上 由题设知 0 ()0,f x即 0 0 0 1 1 x x e x ，连接AB， 则直线AB的斜率 0 0 0 0 0 000 0 00 0 0 1 11 1 1 1 x x x x x exxx ke x xex x x 曲线lnyx在点 0 0 (,) x B ex 处切
16、线的斜率是 0 ex； 曲线 x ye在点 0 0 (,) x A x e处切线的斜率也是 0 ex 所以曲线 x ye在点 0 0 (,) x A x e处的切线也是曲线lnyx的切线 22.(1) T (2) 12 x 时， min 3,y 4 x 时， max 3 . 2 y 试题解析： （1） 33 cos 2sin2sin1 cos 2=sin2cos21 66222 f xxxxxx , 3sin 21 6 x ，31 6 f ，sin1 36 ， 2, 362 kkZ ， 61k0， 1 6 kkZ ， f x在 2 3 ，上 单 调 ， 2 332 T ，即 2 3 T， 2 613k ， 1 12 k ， 11 612 k，又 kZ，0k ， 1，T. （2）由（1）知 3sin 21 6 f xx ，将 yf x的图象向右平移 4 个单位，再 向下平移一个单位，得到3sin 2 3 yx 的图象，所以 3sin 2 3 g xx , 44 x ，2 22 x ， 5 2 636 x ， 当2 32 x ，即 12 x 时， min 3y ，当2 36 x ，即 4 x 时， max 3 2 y.
