1、专题突破练专题突破练 19 专题五专题五 立体几何过关检测立体几何过关检测 一、单项选择题 1.(2020 山东德州一模,4)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P是 C1D1的中点,且 +x +y ,则实 数 x+y的值为( ) A.- B.- C. D. 2.(2020 山西晋中一模,5)给定下列四个命题,其中真命题是( ) A.垂直于同一直线的两条直线相互平行 B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行 C.垂直于同一平面的两个平面相互平行 D.若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 3.(2020 山东临沂一模,7)九章算术
2、是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中商功有如下问 题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”,意思是“有粟若干,堆积在平地上,底面圆 周长为 12 丈,高为 2 丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为 3,一 斛粟的体积约为 2 700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖 270钱,一两银子 1 000钱, 则主人卖后可得银子( ) A.800两 B.1 600两 C.2 400两 D.3 200两 4. (2020福建厦门质量检查,8)如图,在圆柱 OO1中,OO1=2,OA=1,OAO1B,则 AB与下底面所成角的正 切
3、值为( ) A.2 B. C. D. 5.(2020 湖南怀化三模,7)已知一块形状为正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(底面是正方形,侧棱与底面垂直 的四棱柱)的实心木材,AB=2,AA1=3.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 6. (2020青海西宁一模,10)某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品 可以看成是一个球被一个棱长为 4 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重 合),若其中一个截面圆的周长为 4,则该球的半径是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 7.(2020 广东湛江二模,
4、7)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既 同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积 相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为 3的圆的三分 之一,则该几何体的体积为( ) A. B. C.4 D. 8.已知 A,B,C 为球 O的球面上的三个定点,ABC=60,AC=2,P为球 O的球面上的动点,记三棱锥 P- ABC的体积为 V1,三棱锥 O-ABC 的体积为 V2,若 的最大值为 3,则球 O的表面积为( ) A. B. C. D.6 二、多项选择题 9. 如图所示,在正方
5、体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱 C1D1,C1C 的中点,其中正确的结论为( ) A.直线 AM与 C1C是相交直线 B.直线 AM与 BN是平行直线 C.直线 BN与 MB1是异面直线 D.直线 MN与 AC所成的角为 60 10.(2020 山东潍坊三模,10)已知 m,n 是两条不重合的直线, 是三个两两不重合的平面,则下列命题 正确的是( ) A.若 m,n,则 mn B.若 ,则 C.若 m,n,m,n,则 D.若 n,n,则 11. (2020山东青岛二模,11)如图,正方形 SG1G2G3的边长为 1,E,F 分别是 G1G2,G2G3的中点,SG2交 EF 于
6、 点 D,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为 G,则在 四面体 S-GEF中必有( ) A.SG平面 EFG B.设线段 SF 的中点为 H,则 DH平面 SGE C.四面体 S-GEF 的体积为 D.四面体 S-GEF 的外接球的表面积为 12. (2020山东济宁三模,10)线段 AB为圆 O的直径,点 E,F 在圆 O上,ABEF,矩形 ABCD 所在平面和圆 O所在平面垂直,且 AB=2,AD=EF=1.则( ) A.DF平面 BCE B.异面直线 BF与 DC 所成的角为 30 C.EFC为直角三角形 D.VC-BEF
7、VF-ABCD=14 三、填空题 13.(2020 宁夏银川联考,14)九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一 丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就 是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为 V= 底面圆 的周长的平方高,则由此可推得圆周率 的取值为 . 14.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为 2 m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发,绕圆锥 表面爬行一周后回到 P 点,蚂蚁爬行的最短路径为 2 m,则圆锥的底面圆半径为 . 15.(2019 天津,文
8、12)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆 周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积 为 . 16.(2020 江西南昌三模,16)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB= ,AD=2,AA1=2 ,已知 P 是矩形 ABCD 内一动点,PA1与平面 ABCD 所成角为 ,设点 P形成的轨迹长度为 ,则 tan = . 四、解答题 17. (2020广东珠海三模,19)如图所示,在梯形 ABCD中,ADBC,平面 CDEF平面 ABCD,且四边形 CDEF 为矩形,BC=2AD=2,CF=2 ,AB= ,BE=2 .
9、 (1)求证:AD平面 BDE; (2)求点 D到平面 BEF 的距离. 18. (2020山东济南三模,17)已知在直角梯形 ABCD中,ADBC,ABBC,AB=AD= BC,将直角梯形 ABCD(及其内部)以 AB所在直线为轴顺时针旋转 90,形成如图所示的几何体,其中 M 为 的中点. (1)求证:BMDF; (2)求异面直线 BM 与 EF所成角的大小. 19.(2020 河北唐山二模,18)如图,在四边形 ABCD中,ABAD,ADBC,AD=2AB=2BC=2,AE平面 ABCD,CF平面 ABCD,CF=2AE. (1)求证:CDEF; (2)若二面角 B-EF-D 是直二面角
10、,求 AE 的长. 20.(2020 江西重点中学协作体第一次联考,18)如图所示,正方形 ABCD边长为 2,将ABD沿 BD翻折 到PBD的位置,使得二面角 P-BD-A的大小为 120. (1)证明:平面 PAC平面 PBD; (2)点 M在直线 PD上,且直线 BM 与平面 ABCD所成角的正弦值为 ,求二面角 M-BC-P 的余弦值. 21.(2019 北京,理 16) 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为 PD的中点, 点 F 在 PC 上,且 . (1)求证:CD平面 PAD; (2)求二面角 F-AE-P的
11、余弦值; (3)设点 G在 PB上,且 ,判断直线 AG 是否在平面 AEF内,说明理由. 22. (2020天津静海一中期中,18)如图所示,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADAB,AB=BC=2AD=2,四边 形 EDCF 为矩形,DE=2,平面 EDCF平面 ABCD. (1)求证:DF平面 ABE; (2)求二面角 B-EF-D 的正弦值; (3)在线段 BE上是否存在点 P,使得直线 AP 与平面 BEF 所成角的正弦值为 ?若存在,求出线段 BP 的长;若不存在,请说明理由. 专题突破练 19 专题五 立体几何过关检测 1.D 解析 +x +y ,故 x= ,y=1,x+y=
12、 2.D 解析 正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平 行,故 A错误;若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面互相平 行,故 B错误;正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,故 C 错误;若两个平 面 , 垂直,假设一个平面 内与它们的交线 l 不垂直的直线 l1与另一个平面 垂直,因 为 l1,且平面 , 的交线 l,所以可得 l1l,这与题设 l 与 l1不垂直相互矛盾,所以假 设不成立,原命题成立,故 D正确. 3.A 解析 底面半径为 r= =2(丈),V= 3222=8(立方丈)=8106(立方 寸)= (斛),故 2701
13、000=800(两). 4.B 解析 由题意,作 BB垂直于底面,连接 OB,AB,如图所示. 在圆柱 OO1中,OO1=2,OA=1,OAO1B,则BAB即为 AB与下底面所成角, 而 OAOB,所以 AB= , 所以 tanBAB= 5.C 解析 根据题意,当球内切于棱长为 2的正方体时,球的体积最大,故该球体积最大时, 半径为 1,体积为 V= R3= 6.B 解析 设截面圆半径为 r,球的半径为 R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的 一半即 2 ,根据截面圆的周长可得 4=2r,得 r=2,故由题意知 R2=r2+(2 )2,即 R2=22+(2 )2=16,所以 R=4. 7.A
14、 解析 由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,圆锥的侧面展开图恰为一个 半径为 3 的圆的三分之一,底面周长为 =2.圆锥的底面半径为 1,母线长为 3, 高为 - =2 体积 V圆锥= 122 8.B 解析 如图,设ABC 的外接圆圆心为 O,其半径为 r,球 O的半径为 R,当球心 O在三 棱锥 P-ABC 内时,由题意可知, max= - - =3,可得 R= r. 2r= , r= ,R= ,S 球=4 当球心 O在三棱锥 P-ABC 外时,结果不变.故选 B. 9.CD 解析 结合图形,显然直线 AM与 C1C 是异面直线,直线 AM与 BN 是异面直线,直 线 BN 与 MB1
15、是异面直线,直线 MN 与 AC 所成的角即直线 D1C 与 AC所成的角.在等边 三角形 AD1C 中,ACD1=60,所以直线 MN 与 AC 所成的角为 60.综上正确的结论为 CD. 10.AD 解析 m,m.又 n,mn,故 A正确;B选项中, 可能平行,也 可能相交,故 B不正确;C 选项中,当 mn时, 可能相交,故 C 不正确;由面面垂直判定 定理,知 D正确. 11.ABD 解析 如图所示,SGGF,SGGE,GEGF=G, SG平面 EFG,故 A 正确; DH为SEF的中位线,则 DHSE,DH平面 SGE, DH平面 SGE,故 B 正确; 由题知,SG=1,GE=GF
16、= ,VS-GEF= SGEFSG= 1= ,故 C 不正确; GE,GF,GS两两垂直,故外接球直径 2R= ( ) ( ) ,所以 S=4R2= , 故 D正确. 12.BD 解析 因为 ABEF,ABCD,所以四边形 CDEF确定一个平面, 由于 DC,EF长度不相等,则 DF,CE不平行,即 DF与平面 BCE 有公共点,故 A错误; 连接 OF,OE,OE交 BF 于点 G,因为 OBEF,OB=EF,OB=OF=1,所以四边形 OBEF 为菱形,则 BE=OF=1,所以OBE为等边三角形, 由于 G为 OE的中点,则OBG= OBE=30,因为 ABCD,所以异面直线 BF与 DC
17、 所成的角为ABF=OBG=30,故 B正确; 由于四边形 OBEF 为菱形,则 BF=2BG=2 -( ) , 由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知,BCBE,BCBF, 所以 CF= =2,CE= , 又因为 EF2+CE2=3CF2,所以EFC 不是直角三角形,故 C 错误; 因为 BF= ,BE=1,EF=1,所以 SBEF= -( ) , 由面面垂直的性质可知,BC平面 BEF,所以 VC-BEF= 1= , 过点 F作 AB的垂线,垂足为 H,则 FH= BF= , 根据面面垂直的性质可知 HF平面 ABCD, 则 VF-ABCD= 21 ,即 VC-BEFVF-ABCD=14,
18、故 D正确. 13.3 解析 设圆柱底面圆的半径为 r,圆柱的高为 h,由题意知 (2r)2h=r2h,解得 =3. 14 m 解析 将圆锥侧面展开得半径为 2 m 的一扇形,蚂蚁从 P爬行一周后回到 P(记 作 P1), 作 OMPP1,如图所示.由最短路径为 2 m,即 PP1=2 m,OP=2 m, 由圆的性质可得POM=P1OM= ,即扇形所对的圆心角为 ,则圆锥底面圆的周 长为 l= 2= (m),则底面圆的半径为 r= (m). 15 解析 如图,由底面边长为 ,可得 OC=1. 设 M为 VC 的中点,则 O1M= OC= ,O1O= VO,VO= - =2, O1O=1.V圆柱
19、= O1M2 O1O= 21= 16.-3 解析 因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面 ABCD,所以 PA1与平面 ABCD所成角为APA1. 因为 PA1与平面 ABCD 所成角为 ,所以APA1= 因为 AA1=2 ,所以 AP=2. 从而点 P形成的轨迹为以 A为圆心,2 为半径的圆在矩形 ABCD内一段圆弧 ,设 其圆心角为 ,则 sin = ,所以 tan = 所以 tan =tan 2= - - =-3 17.(1)证明 EDCD,平面 EDCF平面 ABCD,且平面 EDCF平面 ABCD=CD,ED平 面 EDCF,ED平面 ABCD. 又 AD,BD平面
20、ABCD,EDBD,ADED.在 RtBDE中,ED=2 ,BE=2 , BD=2 在ABD中,BD=2 ,AD=1,AB= ,AB2=AD2+BD2,ADBD. 又 EDBD=D,ED,BD平面 BDE,AD平面 BDE. (2)解 由(1)可知BCD 为直角三角形,且 BD=2 ,BC=2, CD= =4,作 BHCD 于点 H,则 BH= 由已知平面 EDCF平面 ABCD,且平面 EDCF平面 ABCD=CD,BH平面 ABCD, BH平面 CDEF, VB-DEF= SDEFBH= ( ) =4. 在BEF中,BF= =4,EF=CD=4,BE=2 ,SBEF= 2 - =2 设点
21、D到平面 BEF 的距离为 h,则 SBEFh=VB-DEF,即 2 h=4,解得 h= ,所以点 D到平面 BEF的距离为 18.(1)证明 (方法一)连接 CE,CE与 BM交于点 N,根据题意,该几何体为圆台的一部分,且 CD与 EF相交.故 C,D,F,E四点共面. 因为平面 ADF平面 BCE, 所以 CEDF.因为 M 为 的中点, 所以CBM=EBM, 所以 N 为 CE的中点,又 BC=BE, 所以 BNCE,即 BMCE, 所以 BMDF. (方法二)如图,以 B 为坐标原点,BE,BC,BA所在直线分别为 x轴,y轴,z 轴建立空间直 角坐标系,设 AB=1,则 AD=AF
22、=1,BC=BE=2, 所以 B(0,0,0),M( ,0),D(0,1,1),F(1,0,1),所以 =( ,0), =(1,-1,0),所以 =0,所以 BMDF. (2)解 如图,以 B为坐标原点,BE,BC,BA所在直线分别为 x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标 系,设 AB=1,则 AD=AF=1,BE=2,所以 B(0,0,0),M( ,0),E(2,0,0),F(1,0,1),所以 =( ,0), =(-1,0,1),所以 cos= - =- ,所以异面直线 BM 与 EF所成角的大小是 60. 19.(1)证明 连接 AC,CF平面 ABCD,CD平面 ABCD,CFCD.AD
23、=2,AB=BC=1, AC=CD= , AC2+CD2=AD2,可得 ACCD. AE平面 ABCD,CF平面 ABCD, AECF,A,C,F,E四点共面. 又 ACCF=C,CD平面 ACFE. EF平面 ACFE,CDEF. (2)解 如图所示,以 A为原点, 分别为 x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标 系,设 AE=t,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,t),F(1,1,2t). 则 =(-1,0,t), =(0,1,2t), =(0,-2,t), =(1,-1,2t). 设平面 BEF的法向量为 m=(x1,y1,z1)
24、,则 即- 取 z1=1,x1=t,y1=-2t,则平面 BEF的一个法向量 m=(t,-2t,1). 设平面 DEF的法向量为 n=(x2,y2,z2), 则 即- - 取 z2=2,x2=-3t,y2=t, 则平面 DEF的一个法向量 n=(-3t,t,2).由二面角 B-EF-D是直二面角,则 m n=0,即 5t2=2,解得 t= 所以 AE= 20.(1)证明 设 AC 交 BD 于点 E,连接 PE,即 E为 BD中点, 又 AB=AD,AEBD,PD=PB,PEBD. AE平面 PAC,PE平面 PAC,AEPE=E,BD平面 PAC. 又 BD平面 PBD,平面 PAC平面 P
25、BD. (2)解 AEBD,PEBD, PEA即为二面角 P-BD-A的平面角,即PEA=120,得PEC=60. AB=2,EP=EC=PC= 以 D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则 D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P .设 = = , , , = -2, -2, .易得平面 ABCD的一个法向量为 n=(0,0,1).直线 BM与 平面 ABCD所成角的正弦值为 , |cos|=| | | | ( - ) ( - ) ( ) | | = ,解得 =2, =(-1,1, ), =(2,0,0). 设平面 MBC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1)
26、,则 即- 令 y1= ,得平面 MBC 的一个法向量 n1=(0, ,-1) = ,- , =(2,0,0),设平面 PBC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 即 - 令 y2= ,得平面 PBC 的一个法向量 n2=(0, ,1). 设二面角 M-BC-P 的平面角为 , cos =| | | - | ,即二面角 M-BC-P的余弦值为 21.(1)证明 因为 PA平面 ABCD, 所以 PACD. 又因为 ADCD,PAAD=A, 所以 CD平面 PAD. (2)解 过 A作 AD的垂线交 BC 于点 M. 因为 PA平面 ABCD, 所以 PAAM,PAAD. 如图,建立空间
27、直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 因为 E为 PD的中点,所以 E(0,1,1). 所以 =(0,1,1), =(2,2,-2), =(0,0,2). 所以 = ,- , = . 设平面 AEF的法向量为 n=(x,y,z), 则 即 令 z=1,则 y=-1,x=-1. 于是平面 AEF的一个法向量 n=(-1,-1,1).又因为平面 PAD的一个法向量为 p=(1,0,0), 所以 cos= =- 由题知,二面角 F-AE-P 的平面角为锐角,所以其余弦值为 (3)解 直线 AG在平面 AEF 内.
28、因为点 G在 PB上,且 =(2,-1,-2),所以 = ,- ,- , = ,- .由(2)知,平面 AEF的一个法向量 n=(-1,-1,1). 所以 n=- =0. 所以直线 AG在平面 AEF内. 22.(1)证明 四边形 EDCF 为矩形, DECD.又平面 EDCF平面 ABCD,平面 EDCF平面 ABCD=CD, ED平面 ABCD. 以 D为原点,DA所在直线为 x轴,DE所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图,则 A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),E(0,0,2),F(-1,2,2). 设平面 ABE的法向量为 m=(x,y,z), =(-1,-2
29、,2), =(0,2,0), 由 得- - 取 z=1,得 m=(2,0,1). 又 =(-1,2,2), m=0, m.又 DF平面 ABE, DF平面 ABE. (2)解 =(0,0,2), =(-1,2,2), =(-1,-2,2), =(-2,0,2),设平面 BEF的法向量为 n=(x1,y1,z1),则 即- - - 取 x1=1,得平面 BEF的一个法向量 n=( ) 设平面 DEF的法向量为 p=(x2,y2,z2),则 即 - 取 y2=1,得平面 DEF 的一个法向量 p=(2,1,0). 设二面角 B-EF-D的平面角为 ,则 cos = , 二面角 B-EF-D的正弦值 sin = -( ) (3)解 存在.假设在线段 BE上存在点 P,使得直线 AP与平面 BEF所成角的正弦值为 , 设 P(x1,y1,z1), = ,则(x1-1,y1-2,z1)=(-1,-2,2), 解得 x1=1-,y1=2-2,z1=2, P(1-,2-2,2). 由(2)知平面 BEF的法向量 n=( ) =(-,2-2,2), 直线 AP与平面 BEF 所成角的正弦值为 , - - , 解得 = 或 = , BE=3,BP= 或 BP=2. 在线段 BE上存在点 P,使得直线 AP与平面 BEF所成角的正弦值为 ,此时 BP= 或 BP=2.
