1、专题突破练专题突破练 22 统计与概率问题综合应用统计与概率问题综合应用 1.(2020 河南濮阳一模,19)2020年 1 月 10日,引发新冠肺炎疫情的 COVID-9病毒基因序列公布后,科 学家们便开始了病毒疫苗的研究.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程,不是一朝一夕能完 成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现 抗体.试验设计是:每天接种一次,3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为 ,假 设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. (1)求一个接种周期内出现抗体的次数 K 的分布列; (2)已知每天接种一次花
2、费 100元,现有以下两种试验方案: 若在一个接种周期内连续 2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周期,试验持续三个接种 周期,设此种试验方式的花费为 X元; 若在一个接种周期内出现 2次或 3次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验至多持续三个接种周 期,设此种试验方式的花费为 Y 元. 比较随机变量 X和 Y 的数学期望的大小. 2.(2020 广西南宁二中考前模拟,18)某投资公司在 2010 年年初准备将 1 000万元投资到“低碳”项目上, 现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情 况发生的概率分
3、别为 和 ; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能亏损 30%,也可能不赔不赚, 且这三种情况发生的概率分别为 、 和 . (1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由; (2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问 大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1) 3.(2020 四川绵阳三诊,20)2020年 3 月,各行各业开始复工复产,生活逐步恢复常态,某物流公司承担从 甲地到乙地的蔬菜运输业务.已知该公司统
4、计了往年同期 200天内每天配送的蔬菜量 X(40X200, 单位:件.注:蔬菜全部用统一规格的包装箱包装),并分组统计得到表格如表: 蔬菜 量 X 40,80) 80,120) 120,160) 160,200) 天数 25 50 100 25 若将频率视为概率,试解答如下问题: (1)该物流公司负责人决定随机抽出 3 天的数据来分析配送的蔬菜量的情况,求这 3天配送的蔬菜量 中至多有 2 天小于 120 件的概率; (2)该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运 营一趟,每辆货车每趟最多可装载 40 件,满载才发车,否则不发车.若发车,则每辆货车
5、每趟可获利 2 000元;若未发车,则每辆货车每天平均亏损 400 元.为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流 公司应一次性租赁几辆货车? 4.(2020 山东青岛三模,20)某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表: 阶梯 年用气量(立方米) 价格 (元/立方 米) 第一阶 梯 不超过 228 的部分 3.25 第二阶 梯 超过 228 而不超过 348 的 部分 3.83 第三阶 梯 超过 348 的部分 4.70 从该市随机抽取 10 户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下: 居民 用 气编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用 气量 (立 方
6、 米) 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 (1)求一户居民年用气费 y(元)关于年用气量 x(立方米)的函数关系式; (2)现要在这 10户家庭中任意抽取 3户,求抽到的年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用 户数的分布列与数学期望; (3)若以表中抽到的 10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市任意抽取 10 户,用 X 表示年 用气量不超过 228立方米的户数,求 P(X=k)(k=0,1,2,10)取最大值时 k的值. 5.2019 年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市 民进行
7、了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷 调查中的 1 000 人的得分数据,其频率分布直方图如图所示: (1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N(,210),近似为这 1 000 人得 分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求 P(50.5Z94). (2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: 得分不低于 可获赠 2次随机话费,得分低于 则只有 1 次; 每次赠送的随机话费和对应概率如下: 赠送话费(单位: 元) 10 20 概 率 现有一位市民要参加此次问卷
8、调查,记 X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求 X的分布列. 附: 14.5,若 ZN(,2),则 P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5. 6.(2020 辽宁大连二十四中高三模拟,21)2019 年女排世界杯(第 13 届女排世界杯)是由国际排联举办 的赛事,比赛于 2019 年 9月 14 日至 9月 29 日在日本举行,共有 12 支参赛队伍.本次比赛启用了新的 排球用球,已知这种球的质量指标 (单位:g)服从正态分布 N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每 支球队进行 11 场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取 5局 3 胜
9、制):比赛中以 3 0 或 31 取胜的球队积 3分,失败的球队积 0分;而在比赛中以 32 取胜的球队积 2分,失败的球队 积 1分.9 轮过后,积分榜上的前 2 名分别为中国队和美国队,中国队积 26 分,美国队积 22 分.第 10 轮 中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为 p(0p1). (1)如果比赛准备了 1 000个排球,估计质量指标在(260,270)内的排球个数(计算结果取整数). (2)第 10 轮比赛中,记中国队 31取胜的概率为 f(p),求出 f(p)的最大值点 p0,并以 p0作为 p 的值,解决 下列问题. ()在第 10轮比赛中,中国队所得积分为
10、X,求 X的分布列; ()已知第 10 轮美国队积 3 分,判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第 10轮过后,无论最后一轮即第 11 轮结果如何,中国队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由. 参考数据:XN(,2),则 P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-30(i=1,2),则对任一事件 B有 P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=P(A1B)+P(A2B). 设 pn(nN*)表示事件“第 n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. 用 pn-1表示 pn(n2); 王先生的这种随机选择出行方式的做法有没有积极响
11、应该市政府的号召,请说明理由. 专题突破练 22 统计与概率问题 综合应用 1.解 (1)由题意可知,随机变量 K 服从二项分布 B( ),故 P(K=k)= ( ) ( ) - (k=0,1,2,3). 则 K 的分布列为 K 0 1 2 3 P (2)设一个接种周期的接种费用为 元,则 可能的取值为 200,300, 因为 P(=200)= ,P(=300)= ,所以 E()=200 +300 =275. 所以三个接种周期的平均花费为 E(X)=3E()=3275=825. 随机变量 Y 可能的取值为 300,600,900, 设事件 A为“在一个接种周期内出现 2次或 3次抗体”,由(1
12、)知,P(A)= 所以 P(Y=300)=P(A)= ,P(Y=600)=1-P(A)P(A)= , P(Y=900)=1-P(A)1-P(A)1= , 所以 E(Y)=300 +600 +900 =525. 所以 E(X)E(Y). 2.解 (1)若按“项目一”投资,设获利 1万元,则 1的分布列为: 1 300 -150 P E(1)=300 +(-150) =200(万元), 若按“项目二”投资,设获利 2万元,则 2的分布列为: 2 500 -300 0 P E(2)=500 +(-300) +0 =200(万元), 又 D(1)=(300-200)2 +(-150-200) 2 =3
13、5 000, D(2)=(500-200)2 +(-300-200) 2 +(0-200) 2 =140 000, 所以 E(1)=E(2),D(1)4 7003 7002 000,为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公 司应一次性租赁 3辆货车. 4.解 (1)由题意,当 x(0,228时,y=3.25x; 当 x(228,348时,y=3.83(x-228)+3.25228=3.83x-132.24; 当 x(348,+)时,y=4.7(x-348)+3.83(348-228)+3.25228=4.7x-435, 所以年用气费 y关于年用气量 x的函数关系式为 y= - - (2)
14、由题知 10 户家庭中年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用户有 3户, 设取到年用气量超过 228 立方米而不超过 348立方米的用户数为 ,则 可取 0,1,2,3, 则 P(=0)= ,P(=1)= , P(=2)= , P(=3)= , 故随机变量 的分布列为: 0 1 2 3 P 所以 E()=0 +1 +2 +3 (3)由题意知从全市任意抽取 1 户,年用气量不超过 228立方米的概率近似为 ,P(X=k)= ( ) ( ) - (k=0,1,2,3,10), 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 解得 k ,又 kN*, 所以当 k=6
15、 时,概率 P(X=k)最大,即 k=6. 5.解 (1)E(Z)=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65, =65,= 14.5, P(50.5Z79.5)0.682 7, P(36Z94)0.954 5, P(79.5Z94) - =0.135 9, P(50.5Z94)=P(50.5Z79.5)+P(79.5Z94)0.682 7+0.135 9=0.818 6. (2)P(Z)=P(Z)= , X的所有可能取值为 10,20,30,40, P(X=10)= , P(X=20)= , P(X=30)= , P(X=40)=
16、故 X的分布列为 X 10 20 30 40 P 6.解 (1)因为 N(270,52),所以 P(2600,f(p)在( )上为增函数; 当 p ( )时,f(p)28,所以,中国队如果第 10轮积 3分,则可提前一轮夺 得冠军,其概率为 P(X=3)= 7.解 (1)设一次性抛掷 6 枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ,则 B( ), P(4)= ( ) ( ) ( ) ( ) ,P(4)=1-P(4)= 由已知随机变量 X 的可能取值为 1,2,3; P(X=1)=P(4) P(4)= ; P(X=3)=P(4) P(4)= ; P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)= 或 P(X
17、=2)=P(4) P(4)+P(4) P(4)= , 所以随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 P (2)设 An-1表示事件“第 n-1天王先生选择的是骑自行车出行方式”,An表示事件“第 n 天王先生选择的是骑自行车出行方式”,由全概率公式知 pn=P(An)=P(An|An-1)P(An- 1)+P(An| - )P( - )=pn-1 P(4)+(1-pn-1) P(4)= pn-1+ ,即 pn= pn-1+ (n2). 由知 pn- ( - - ),n2,又 p1=1,所以数列 - 是首项为 ,公比为 的等 比数列,所以 pn- ( ) - ,pn= ( ) - 因为 pn= ( ) - 恒成立,所以王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大 于选择开小车出行的概率,从长期来看,王先生选择骑自行车出行的次数多于选择开小车 出行的次数是大概率事件,所以可以说王先生积极响应了市政府的号召.
