1、专题突破练专题突破练 12 三角变换与解三角形三角变换与解三角形 1.(2020 江西名校大联考,理 17)已知函数 f(x)=2asin -x cos( - ),且 f( )=1. (1)求 a的值及 f(x)的最小正周期; (2)若 f()=- ,( ),求 sin 2. 2.(2020 山东滨州二模,17)已知ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 a=4, ,求ABC 的周长 L和面积 S. 在cos A= ,cos C= ,csin C=sin A+bsin B,B=60,c=2,cos A=- 这三个条件中,任选一个补充在 上面问题中的横线处,并加以解答. 3.(2
2、020 北京,17)在ABC中,a+b=11,再从条件,条件这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a 的值; (2)sin C和ABC的面积. 条件:c=7,cos A=- ; 条件:cos A= ,cos B= . 4.(2020 山东潍坊二模,17)在ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 ,A= . (1)若 B= ,求 b; (2)求ABC面积的最大值. 5.(2020 江苏,16)在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,c= ,B=45. (1)求 sin C 的值; (2)在边 BC 上取一点 D,使得 cosADC=-
3、,求 tanDAC 的值. 6.(2020 山东济宁 5月模拟,17)在sin A,sin B,sin C 成等差数列;sin B,sin A,sin C成等比数列; 2bcos C=2a- c 三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答. 已知ABC 的内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,面积为 S.若 ,且 4S= (b2+c2-a2),试判断 ABC 的形状. 7.(2020 山东潍坊一模,17)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且 mn. (1)求 C; (2)若 c+3b
4、=3a,求 sin A. 8.(2020 山东模考卷,18)在ABC 中,A=90,点 D在 BC边上.在平面 ABC内,过 D 作 DFBC 且 DF=AC. (1)若 D 为 BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC; (2)若ABC=45,且 BD=3CD,求 cosCFB. 专题突破练 12 三角变换 与解三角形 1.解 (1)由已知 f( )=1,得 2a =1,解得 a=2. 所以 f(x)=4cos x sin x- cos x =2 sin xcos x-2cos2x = sin 2x-cos 2x-1 =2sin( - )-1. 所以 f(x)=2sin( - )
5、-1的最小正周期为 . (2)f()=- ,2sin( - )-1=- ,sin( - ) ,因为 ( ),所以 2- (- ) 又因为 sin( - ) , 所以 2- ( ) 所以 cos( - ) - ( - ) , 则 sin 2=sin ( - ) =sin( - )cos +cos( - )sin = 2.解 方案一:选条件. 因为 cos A= ,cos C= ,且 0A,0B, 所以 sin A= ,sin C= 在ABC 中,A+B+C=,即 B=-(A+C),所以 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 由正弦定理得,b= =2 因为 s
6、in B=sin C,所以 c=b=2 所以ABC 的周长 L=a+b+c=4+2 +2 =4+4 ,ABC 的面积 S= absin C= 42 =8. 方案二:选条件. csin C=sin A+bsin B, 由正弦定理得,c2=a+b2. 因为 a=4,所以 b2=c2-4. 又因为 B=60,由余弦定理得 b2=c2+16-24c , 所以 c2-4c+16=c2-4, 解得 c=5.所以 b= 所以ABC 的周长 L=a+b+c=4+ +5=9+ ,ABC 的面积 S= acsin B=5 方案三:选条件. c=2,cos A=- ,由余弦定理得,16=b 2+4+2b2 , 即
7、b2+b-12=0, 解得 b=3 或 b=-4(舍去). 所以ABC 的周长 L=a+b+c=4+3+2=9.因为 A(0,),所以 sin A= - 所以ABC 的面积 S= bcsin A= 32 3.解 方案一:选条件. (1)c=7,cos A=- ,a+b=11, a2=b2+c2-2bccos A=(11-a)2+72-2(11-a)7 (- ),a=8. (2)cos A=- ,A(0,), sin A= - 由正弦定理得 , ,sin C= S= basin C= (11-8)8 =6 方案二:选条件. (1)cos A= ,cos B= ,A,B(0,),sin A= -
8、,sin B= - 由正弦定理得 , - ,a=6. (2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A= S= basin C= (11-6)6 4.解 (1)由正弦定理得 b= =2 (2)因为ABC 的内角和 A+B+C=,A= ,所以 0B 因为 b= sin B=4sin B,所以 SABC= absin C=4 sin Bsin -B =4 sin B cos B+ sin B =6sin Bcos B+2 sin 2B=2 sin 2B- + 因为 0B ,所以- 2B- 当 2B- ,即 B= 时,ABC 面积取得最大值 3 5.解 (1)在ABC
9、中,因为 a=3,c= ,B=45,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2- 23 cos 45=5,所以 b= 在ABC 中,由正弦定理 ,得 ,所以 sin C= (2)在ADC中,因为 cos ADC=- ,所以ADC 为钝角, 而ADC+C+CAD=180, 所以C 为锐角. 故 cos C= - , 则 tan C= 因为 cosADC=- , 所以 sinADC= - ,tanADC= =- 从而 tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C) =- - =- - -(- ) 6.解 方案一:选条件. 由 4S= (b2+c2-a2)可
10、得 2bcsin A=2 bccos A,所以 tan A= 又因为 0A,所以 A= 由余弦定理可得 a2=b2+c2-bc, 因为 sin A,sin B,sin C 成等差数列, 所以 2sin B=sin A+sin C,即 2b=a+c, 即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得 b=c. 所以ABC 为等边三角形. 方案二:选条件. 由 4S= (b2+c2-a2)可得 2bcsin A=2 bccos A,所以 tan A= 又因为 0A,所以 A= 由余弦定理可得 a2=b2+c2-bc, 因为 sin B,sin A,sin C 成等比数列, 所以 sin2A=sin B s
11、in C,即 a2=bc, 所以(b-c)2=0,所以 b=c. 所以ABC 为等边三角形. 方案三:选条件. 由 4S= (b2+c2-a2)可得 2bcsin A=2 bccos A,所以 tan A= 又因为 0A,所以 A= 因为 2bcos C=2a- c, 所以 2sin Bcos C=2sin A- sin C, 即 2sin Bcos C=2sin(B+C)- sin C, 可得 cos B= ,所以 B= ,所以 C= 所以ABC 为直角三角形. 7.解 (1)因为 mn,所以(c-a)(sin A+sin C)=(b-a)sin B, 由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b
12、-a)b, 所以 a2+b2-c2=ab, 所以 cos C= - 因为 C(0,),故 C= (2)由(1)知 B= -A,由题设及正弦定理得 sin C+3sin( - )=3sin A, 即 cos A+ sin A=sin A,可得 sin( - ) 因为 0A ,所以- A- ,所以 cos( - ) ,故 sin A=sin A- =sin( - )cos +cos( - )sin 8.解 (1)如图所示, 在ABC 中,A=90,点 D在 BC 边上.在平面 ABC 内,过 D作 DFBC 且 DF=AC, 所以 SABC= AB AC,SCDF= CD DF,且CDF的面积等于ABC 的面积.由于 DF=AC, 所以 CD=AB. D为 BC 的中点,故 BC=2AC,所以ABC=60. (2)如图所示, 设 AB=k,因为A=90,ABC=45,BD=3DC,DF=AC, 所以 AC=k,CB= k,CD= k,DF=k. 因为 DFBC,所以 CF2=CD2+DF2, 解得 CF= k. 且 BF2=BD2+DF2,解得 BF= k.在CBF中,利用余弦定理得 cos CFB= - -
