1、专题突破练专题突破练 17 空间中的平行、垂直与空间角空间中的平行、垂直与空间角 1. (2020海南海南中学月考,18)已知直四棱柱 ABCD-ABCD,四边形 ABCD 为正方形,AA=2AB=2,E 为 棱 CC的中点. (1)求三棱锥 C-ABD的体积; (2)求证:AEBD; (3)求异面直线 DE与 AB所成角的余弦值. 2. (2020海南海口模拟,19)如图,在三棱锥 D-ABC中,ABAC,ABD是正三角形,且平面 ABD平面 ABC,AB=AC=4,E,G分别为 AB,BC的中点. (1)证明:EG平面 ABD; (2)若 F 是线段 DE 的中点,求 AC与平面 FGC所
2、成角的正弦值. 3. (2020山东潍坊三模,18)如图,点 C是以 AB 为直径的圆上的动点(异于 A,B),已知 AB=2,AE= ,EB 平面 ABC,四边形 BEDC为平行四边形. (1)求证:BC平面 ACD; (2)当三棱锥 A-BCE 的体积最大时,求平面 ADE 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值. 4.(2020 山东日照二模,19)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,PA=AD=2,M,N 分别是 AB,PC的中点. (1)求证:MN平面 PCD; (2)若直线 PB与平面 ABCD 所成角的余弦值为 ,求二面角 N-DM-C
3、的余弦值. 5. (2020山东青岛一模,19)在如图所示的四棱锥 E-ABCD 中,四边形 ABCD为平行四边形,BCE为边长 为 2的等边三角形,AB=AE,F,O 分别为 AB,BE的中点,OF 是异面直线 AB 和 OC的公垂线. (1)证明:平面 ABE平面 BCE; (2)记CED 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD所成角的正弦值. 6. (2020天津,17)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,CC1平面 ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点 D,E分别 在棱 AA1和棱 CC1上,且 AD=1,CE=2,M为棱 A1B1的中点. (1)求证:C1MB1
4、D; (2)求二面角 B-B1E-D的正弦值; (3)求直线 AB与平面 DB1E所成角的正弦值. 7. (2020山东潍坊一中月考,19)在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD为长方形,SB底面 ABCD,其中 BS=2,BA=2,BC=,的可能取值为= ,= ,= ,= ,=3. (1)求直线 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值; (2)若在线段 CD 上能找到点 E,满足 AESE,则 可能的取值有几种情况?请说明理由; (3)在(2)的条件下,当 为所有可能情况的最大值时,线段 CD上满足 AESE 的点有两个,分别记为 E1,E2,求二面角 E1-SB-E2的大小. 专题突破练
5、 17 空间中的平行、 垂直与空间角 1.(1)解 四棱柱 ABCD-ABCD为直四棱柱,AA平面 ABCD, 又 AA=2,BC=CD=1,VC-ABD=VA-BCD= SBCD AA= 112= (2)证明 以 D为原点,DA,DC,DD所在的直线分别为 x轴,y轴,z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系,则 D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1),A(1,0,2), =(-1,1,-1), =(1,1,0), =-1+1=0,AEBD. (3)解 由(2)得, =(0,1,1), =(0,1,-2), |cos|= ,即异面直线 DE与 AB所成角的余弦值 为 2.(1)证
6、明 因为 E,G分别为 AB,BC 的中点,所以 EGAC. 因为 ABAC,平面 ABD平面 ABC,平面 ABD平面 ABC=AB,所以 AC平面 ABD, 所以 EG平面 ABD. (2)解 因为ABD是正三角形,所以 DEAB.由(1)知 EG平面 ABD,所以 EG,AB,DE两 两垂直, 则以 E为坐标原点,分别以 的方向为 x轴,y轴,z 轴正方向,建立如图所示 的空间直角坐标系 E-xyz. 因为 AB=AC=4,ABD 是正三角形,所以 E(0,0,0),A(- 2,0,0),B(2,0,0),G(0,2,0),D(0,0,2 ),C(-2,4,0). 因为 F是 DE的中点
7、,所以 F(0,0, ). =(0,4,0), =(0,2,- ), =(-2,2,0). 设平面 FGC的法向量为 m=(x,y,z),所以 即 - - 令 x=1,则 y=1,z= ,所以平面 FGC 的一个法向量 m= 1,1, . 设 AC 与平面 FGC 所成的角为 ,则 sin =|cos|= 3.(1)证明 因为四边形 BEDC 为平行四边形, 所以 CDBE.因为 EB平面 ABC, 所以 CD平面 ABC,所以 CDBC. 因为ACB 是以 AB 为直径的圆上的圆周角,所以 BCAC.又因为 ACCD=C,所以 BC平面 ACD. (2)解 在ABC 中,设 AC=x,BC=
8、 - (0x2),所以 SABC= AC BC= x - 因为 AE= ,AB=2,所以 BE= 所以 VA-BCE=VE-ABC= SABC BE= x - - - ,当且 仅当 x2=4-x2,即 x= 时,等号成立.故三棱锥 A-BCE 体积的最大值为 以 C 为坐标原点,以 CA,CB,CD为 x轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如图, 则 C(0,0,0),A( ,0,0),D(0,0, ),E(0, ),所以 =(- ,0, ), =(0, ,0).易知 平面 ABC 的一个法向量 n1=(0,0, ).设平面 ADE的法向量 n2=(x,y,z),可得 所以- 令 x= ,可
9、得平面 ADE的一个法向量 n2=( ,0, ),所以 cos= 4.(1)证明 取 PD中点 E,连接 EN,AE. 因为 M,N,E分别为 AB,PC,PD的中点,所以 ENAM,EN=AM= AB, 所以四边形 AMNE 是平行四边形,故 MNAE.因为 PA平面 ABCD,所以 PACD. 又因为 CDAD,ADPA=A, 所以 CD平面 PAD,所以平面 PCD平面 PAD.因为 PA=AD,E为中点,所以 AE PD,所以 AE平面 PCD, 所以 MN平面 PCD. (2)解 因为 PA平面 ABCD,所以PBA即为直线 PB与平面 ABCD 所成的角,所以 cos PBA= ,
10、所以 sinPBA= 因为 PA=AD=2,AB=4,分别以 AB,AD,AP为 x 轴,y轴,z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,2,0),M(2,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2),N(2,1,1), 则 =(2,-2,0), =(0,1,1). 设平面 NDM的法向量 n1=(x,y,z),则 即 - 取 x=1,则 y=1,z=-1,即平面 NDM的一个法向量 n1=(1,1,-1).易得平面 DMC 的一个 法向量 n2=(0,0,1), 所以 cos= =- , 由图可知,二面角 N-DM-C 为锐角, 所以二面角 N-DM-C 的余弦值为 5.(1)证明
11、 因为 O为 BE 的中点,所以在等边BCE 中,OCBE.又因为 OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线,所以 OCOF. 又因为 OFBE=O,所以 OC平面 ABE.因为 OC平面 BCE,所以平面 ABE平面 BCE. (2)解 因为 F,O分别为 AB,BE的中点,所以 OFAE. 又因为 OF是异面直线 AB和 OC 的公垂线,所以 OFAB,AEAB,所以ABE为等 腰直角三角形. 连接 AO,AB=AE= ,OA=1, 因为 OABE,OA平面 ABE,平面 ABE平面 BCE,且平面 ABE平面 BCE=BE,所 以 OA平面 BCE. 以 O为原点,分别以 OE,OC,
12、OA所在的直线为 x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,如 图所示, 则 A(0,0,1),B(-1,0,0),C(0, ,0),E(1,0,0).因为四边形 ABCD为平行四边形,设 D(x0,y0,z0),因为 ,所以(1, ,0)=(x0,y0,z0-1), 所以 D(1, ,1).设平面 ABCD的法向量为 n=(x,y,z), =(1,0,1), =(1, ,0), 则 即 令 y=-1,则 x= ,z=- , 所以平面 ABCD的一个法向量 n=( ,-1,- ). 因为 C(0, ,0),E(1,0,0),D(1, ,1), 所以CDE的重心 G的坐标为 , = ,- , 设直线
13、 AG与平面 ABCD所成角为 , 则 sin =|cos|=| | | | 6.解 依题意,以 C 为原点,分别以 的方向为 x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直 角坐标系(如图),可得 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3). (1)证明:依题意, =(1,1,0), =(2,-2,-2),从而 =2-2+0=0,所以 C1M B1D. (2)依题意, =(2,0,0)是平面 BB1E的一个法向量, =(0,2,1), =(2,0,-1). 设 n=(x,y,z)
14、为平面 DB1E的法向量,则 即 - 不妨设 x=1,可得 n=(1,-1,2). 因此有 cos= , 于是 sin= 所以,二面角 B-B1E-D的正弦值为 (3)依题意, =(-2,2,0).由(2)知 n=(1,-1,2)为平面 DB1E的一个法向量,于是 cos= =- 所以,直线 AB与平面 DB1E所成角的正弦值为 7.解 (1)因为 SB底面 ABCD,所以SAB即为直线 AS与平面 ABCD所成的角,在 RtSBA中,sinSAB= (2)以 B为坐标原点,以 的方向分别为 x轴,y轴,z 轴的正方向建立如图所 示的空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A(0,2,0),D(,2,0),S(0,0,2). 设 E(,x,0)(0 x2),所以 =(,x,-2), =(-,2-x,0). 由 可得-2+x(2-x)=0,解得 2=x(2-x). 因为 x0,2,所以 2=x(2-x)0,1,所以在所给的数据中,可以取. (3)由(2)知 = ,此时,x= 或 x= ,即满足条件的点 E有两个, 根据题意得,其坐标为 E1 ,0 和 E2 ,0 . 因为 SB平面 ABCD,所以 SBBE1,SBBE2,所以E1BE2是二面角 E1-SB-E2的平 面角. 由 cos= ,由题意得二面角 E1-SB-E2为锐角,所以二 面角 E1-SB-E2的大小为 30.
