1、考点考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.(2020课标理,2,5分)若为第四象限角,则( ) A.cos 20 B.cos 20 D.sin 20 答案答案 D 是第四象限角,-+2k2k,kZ,-+4k24k,kZ,角2的终边在第 三、四象限或y轴非正半轴上,sin 20,cos 2可正、可负、可为零.故选D. 2 2.(2019课标文,7,5分)tan 255=( ) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 3333 技巧点拨技巧点拨 利用诱导公式将大角化为小角,再进一步转化为特殊角的和. 答案答案 D 本题考查三
2、角函数的化简与求值;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=2+,故选D. 3 1 3 3 1- 3 3 3.(2018课标文,11,5分)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a),B(2,b),且cos 2=,则|a-b|=( ) A. B. C. D.1 2 3 1 5 5 5 2 5 5 答案答案 B 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换. 由题意可知tan =b-a,又cos 2=cos2-sin2=,5(b-a)2=1,得 (b-a)2=,即|b-a|=,故选B
3、. - 2-1 b a 22 22 cos-sin cossin 2 2 1-tan 1tan 2 2 1-( - ) 1( - ) b a b a 2 3 1 5 5 5 方法归纳方法归纳 三角函数求值与化简的常用方法: (1)弦切互化法:主要利用公式tan =化成正弦、余弦; (2)和积转换法:利用(sin cos )2=12sin cos 进行变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=tan. sin cos 4 4.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中, , 是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其 中一段上,角以Ox为始边
4、,OP为终边.若tan cos 0,与 tan 0,cos 0,与tan cos 矛盾,故 排除D,故选C. AB CD GH 5.(2018浙江,18,14分)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P . (1)求sin(+)的值; (2)若角满足sin(+)=,求cos 的值. 34 -,- 55 5 13 解析解析 (1)由角的终边过点P得sin =-,所以sin(+)=-sin =. (2)由角的终边过点P得cos =-,由sin(+)=得cos(+)=.由=(+)-得cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin(+)sin ,所以cos =-或c
5、os =. 34 -,- 55 4 5 4 5 34 -,- 55 3 5 5 13 12 13 56 65 16 65 思路分析思路分析 (1)由三角函数的定义得sin 的值,由诱导公式得sin(+)的值. (2)由三角函数的定义得cos 的值,由同角三角函数的基本关系得cos(+)的值,由两角差的余弦公 式得cos 的值. 1.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为( ) A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题主要考查扇形
6、面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运 算求解能力;考查的核心素养是数学运算. 连接AB,由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为PAB的面积与弓形的面 积之和. 如图,作PDAB于D点,则PD过圆心O,连接OA,OB,由APB=知DOB=. 所以|OD|=2cos ,|PD|=2+2cos ,|AB|=4sin .所以SPAB= |AB| |PD|=4sin (1+cos ).S弓形=S扇形OAB-SOAB = 2 22- 4sin 2cos =4-4sin cos . 故阴影部分的面积为SPAB+S弓形=4sin +4sin cos +4-4
7、sin cos =4+4sin .故选B. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当确定时,弓形面积是确定的,故三角形 面积最大时,阴影部分面积最大. 2.(2016四川文,11,5分)sin 750= . 答案答案 1 2 解析解析 sin 750=sin(720+30)=sin 30=. 1 2 3.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称. 若sin =,则sin = . 1 3 答案答案 1 3 解析解析 本题考查三角函数的诱导公式. 由角与角的终边关于y轴对称,可得=(2k+1)-,
8、kZ,sin =,sin =sin(2k+1)-=sin = (kZ). 1 3 1 3 考点考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020湖南永州祁阳二模,6)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=-2 x上,则sin 2=( ) A. B.- C. D.- 3 5 3 5 4 5 4 5 答案答案 D 在角的终边所在直线y=-2x上任取一点P(a,-2a)(a0),则r=|OP|=|a|.由三角函数的定 义知sin =,cos =,故sin 2=2sin c
9、os =2=-,故选D. 5 -2 5| | a a5| | a a -2 5| | a a5| | a a 4 5 2.(2020百校联考高考考前冲刺(二),3)已知O为坐标原点,角的终边经过点P(3,m)(m0)且sin = m,则sin 2=( ) A. B. C.- D.- 10 10 4 5 3 5 3 5 4 5 答案答案 C 根据题意得,sin =m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sin =-,cos =, 所以sin 2=2sin cos =-. 2 9 m m 10 10 10 10 3 10 10 3 5 3.(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点
10、P(,1),将向量绕点O按逆时针方向旋转 后得到向量,则点Q的坐标是( ) A.(-,1) B.(-1,) C.(-,1) D.(-1,) 3OP 2 OQ 2233 答案答案 D 本题主要考查三角函数的定义及诱导公式,意在考查学生的转化能力和数学运算的核 心素养. 设以射线OP为终边的角为,以射线OQ为终边的角为,且=+,由题意可得sin =,cos =,结 合三角函数的定义与诱导公式可得xQ=2cos =2cos=-2sin =-1,yQ=2sin =2sin=2cos =,即点Q的坐标为(-1,).故选D. 2 1 2 3 2 2 2 33 4.(2019福建福州质检,5)在平面直角坐标
11、系中,角的始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于 点P,则sin=( ) A. B.- C. D.- 3 4 - , 5 5 4 2 10 2 10 7 2 10 7 2 10 答案答案 A 由三角函数定义知sin =,cos =-,sin=sin cos +cos sin =(sin + cos )=,故选A. 4 5 3 5 4 4 4 2 2 2 2 4 3 - 5 5 2 10 5.(2019河北六校第三次联考,5)若sin 是方程5x2-7x-6=0的根,则= ( ) A. B. C. D. 2 33 sin - - sin-tan (2- ) 22 cos-cossin() 22
12、 3 5 5 3 4 5 5 4 答案答案 B 解5x2-7x-6=0得x1=2,x2=-,sin =-.则 =-=,故选B. 3 5 3 5 2 33 sin - - sin-tan (2- ) 22 cos-cossin() 22 2 sin-(-cos )tan 2 sin (-sin )(-sin ) 2 2 2 3 sin -cos cos sin 1 sin 5 3 6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知是第三象限角,且=-cos ,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 cos 3 3 3 答案答案 C 是第三象限角,2k+2k+(kZ).+
13、(kZ),的终边 在第一象限或第三象限或第四象限.又=-cos ,cos 0,是第三象限角,故选C. 3 2 2 3 k 33 2 3 k 23 cos 3 3 3 3 7.(2020广东化州二模,15)已知曲线f(x)=x3在点(1, f(1)处的切线的倾斜角为,则 的值为 . 2 3 22 2 sin-cos 2sincoscos 答案答案 3 5 解析解析 由f(x)=x3得f (x)=2x2,f (1)=2,故tan =2. =. 2 3 22 2 sin-cos 2sincoscos 2 tan-1 2tan1 2 2 -1 221 3 5 思路分析思路分析 根据导数的几何意义求出t
14、an =2,然后将所给齐次式转化为只含有tan 的形式后求解 即可. 方法总结方法总结 本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值.对于含有sin ,cos 的齐次式的求 值问题,一般利用同角三角函数的基本关系转化为关于tan 的形式后再求解. 1.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin=-5cos,则tan=( ) A.- B.- C. D. 33 14 5 14 5 14 5 3 3 5 3 5 5 3 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:25分钟 分值:50分) 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 答案答案 A 由3sin=-5cos,得sin=-cos,所以
15、tan= =-. 33 14 5 14 5 14 5 3 5 14 5 14 5 sin 14 5 cos 14 5 3 2.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则( ) A.abc B.acb C.bca D.bac 5 7 2 7 2 7 答案答案 D 由诱导公式知sin =sin ,又知ab,故选D. 5 7 2 7 4 2 7 2 3.(2020山东九校联考,6)已知点A在圆x2+y2=4上,且xOA=,则点A的横坐标为( ) A. B. C. D. 7 12 2- 6 2 2- 6 4 1- 3 4 1- 3 2 答案答案 A 设点A(x0,y
16、0),点A在圆上,+=4,xOA=,cos=cos=coscos-sin sin=,又cosxOA=,即cos=,x0=.故选A. 2 0 x 2 0 y 7 12 7 12 43 4 3 4 3 2- 6 4 0 22 00 x xy 7 12 0 2 x2- 6 2 4.(2020全国100所名校新高考模拟示范卷,4)cos2+cos2=( ) A. B. C.1 D. - 10 2 - 5 1 2 2 3 2 答案答案 C cos2+cos2=cos2+cos2=cos2+sin2=1.故 选C. - 10 2 - 5 10 - 210 10 10 思路分析思路分析 注意到-=-,结合诱
17、导公式以及同角三角函数的基本关系求解即可. 2 5 2 10 5.(2020广东深圳统测,6)已知tan =-3,则sin=( ) A. B.- C. D.- 2 4 3 5 3 5 4 5 4 5 答案答案 D sin=sin=cos 2=cos2-sin2=,将tan =-3代入,原 式=-,故选D. 2 4 2 2 22 22 cos-sin cossin 2 2 1-tan 1tan 1-9 1 9 4 5 6.(2020河北衡水中学七调,8)如图,直角坐标系中,角、角的终边分别交单 位圆于A、B两点,若点B的纵坐标为-,且满足SAOB=,则sin+的值为( ) A.- B. C.-
18、D. 0 2 -0 2 5 13 3 42 3cos-sin 22 1 2 5 13 12 13 12 13 5 13 答案答案 B 由题图易知xOA=,xOB=-,由题意可知,sin =-,故-0.故0-,即A-B,又A,B,所以sin Acos B,所以sin A-cos B0,同理cos A-sin C0,所以为第四象限角,所以sin 0,tan 0,所以+ =-1+1-1=-1,故选B. 2 2 0, 2 sin |sin | cos |cos | tan |tan | 思路分析思路分析 由题意先得出sin A-cos B与cos A-sin C的正负,从而得出角的终边所属的象限,进而
19、确 定其三角函数值的符号,最后求出代数式的值. 8.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角的顶点在原点O,以x正 半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m0),则下列各式的值恒大于0的是( ) A. B.cos -sin C.sin cos D.sin +cos sin tan 二、多项选择题(共5分) 答案答案 AB 本题考查了三角函数的定义,三角函数值的符号的判断,考查了学生的逻辑推理的核 心素养. 由题意知sin 0,tan 0;选项B,cos -sin 0; 选项C,sin cos 0;选项D,sin +cos 符号不确定.故选AB. sin tan
20、 思路分析思路分析 根据角终边经过点P(1,m)(m0),结合三角函数的定义可以判断角的正弦、余弦、正 切值的正负,对四个选项逐一判断即可得出正确答案. 9.(2020山东师范大学附属中学月考,14)已知tan =,则的值为 . 1 3 2 sin2 -sin 1cos2 三、填空题(每小题5分,共10分) 答案答案 5 18 解析解析 原式=tan -, 又tan =,原式=-=-=. 2 2 2sincos -sin 2cos 2 tan 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 1 18 5 18 思路分析思路分析 利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系,将弦化切,代入即可求出结果.
21、解后反思解后反思 本题考查同角三角函数的基本关系以及运用二倍角公式化简求值,关键在于将代数式 转化为用正切表示的式子. 10.(2019湘东六校期末联考,15)在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在单位圆O上,设xOP=,且 .若cos=-,则x0的值为 . 3 , 44 4 4 5 答案答案 - 2 10 解析解析 点P(x0,y0)在单位圆O上,且xOP=,cos =x0,又,cos=-,sin =,x0=cos =cos=coscos +sinsin =-+=-. 3 , 44 4 4 5 4 3 5 - 44 4 4 4 4 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 1.(多选
22、题)(2020 5 3原创题)若点Q(m,n)在函数y=2cos2x-1的图象上,则该函数图象必经过点( ) A.(m-,n) B. C. D. -,- 2 mn - , 4 m n ,- 4 m n 答案答案 AB y=2cos2x-1=cos 2x.由y=cos 2x的图象经过点Q(m,n),可得n=cos 2m.对于A,由于y=cos2 (m-)=cos 2m=n,故A符合题意; 对于B,由于y=cos=cos(2m-)=-cos 2m=-n,故B符合题意; 对于C,由于y=cos=cos=sin 2mn,故C不符合题意; 对于D,由于y=cos=cos=-sin 2m-n,故D不符合题
23、意. 故选AB. 2- 2 m 2- 4 m -2 2 m 2 4 m 2 2 m 命题说明命题说明 本题属于基础题,也属于易错题,主要考查了诱导公式及二倍角公式,尤其是对诱导公 式的考查,背景新颖,层层设卡,考查了逻辑推理的核心素养. 2.(2020 5 3原创题)已知两个锐角,(),且tan ,tan 为方程40 x2-13x+1=0的两根,如果钝角的始 边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-2,1),则+-=( ) A.- B.- C.- D. 4 2 3 3 4 4 答案答案 C 因为,均为锐角,且,所以tan tan . 由tan ,tan 为方程40 x2-13x+1=0的两根,得
24、tan =,tan =,则tan(+)=, 又由已知得tan =-,且, 则tan(+-)=tan(+)-=1. 因为0,0,所以0+,又tan(+)=,所以0+,所以-+-0.故+-=-. 1 8 1 5 tantan 1-tantan 1 3 1 2 , 2 tan()-tan 1tan()tan 2 2 1 3 2 3 4 3.(2020 5 3原创题)设函数f(x)=若有a1=(1-3m),a2=m,使得f(a1)f(a2)成立,则实数m 的取值范围是( ) A. B. C. D. 1 ,0, tan2 tan , 2 x x xx 1 0, 4 1 0, 6 1 1 , 6 4 1
25、1 , 4 2 1 0, 4 1 1 , 4 2 答案答案 B 因为f(a1)f(a2),所以有以下三种情况: (1)0a2a1; (2)a1a2; (3)a1,0a21-3mm0,解得m; 由(2)得1-3mm1,无解; 由(3)得解得0m. 综上,m的取值范围是. 2 2 2 2 1 2 1 6 1 4 1 2 1 1-31, 2 1 0, 2 m m 1 6 1 0, 6 1 1 , 6 4 命题说明命题说明 本题考查正切函数的定义域、单调性及复合函数的单调性等知识以及“分类讨论” 的数学思想. 4.(2020 5 3原创题)已知,(0,2)且,若关于x的方程(x+sin )(x+sin
26、 )+1=0有实数根,则代数式 = . 3 3sincos- 22 3 2-sin(- )cos 2 答案答案 1 3 解析解析 整理方程(x+sin )(x+sin )+1=0得x2+x(sin +sin )+sin sin +1=0.由题意得=(sin +sin )2 -4sin sin -40,即(sin -sin )24. 因为-1sin 1,-1sin 1,所以sin -sin -2,2,从而(sin -sin )24. 由得sin -sin =2,所以或 因为,(0,2)且,所以=,=,即 因此=. sin1, sin-1 sin-1, sin1. 2 3 2 sin1, sin-
27、1. 3 3sincos- 22 3 2-sin(- )cos 2 3cos -sin 2-sin sin 1 2 1 1 3 命题说明命题说明 本题结合一元二次方程来考查正弦函数,以及正、余弦函数的诱导公式的运用.学生要 掌握一元二次方程是否有解的判定方法,通过“0”得到(sin -sin )2的范围,再结合-1sin 1,-1sin 1,得出(sin -sin )2的范围,从而得sin ,sin 的确定值.要求学生具有一定的逻辑推 理能力. 解题关键解题关键 正确运用诱导公式是解题的基础,通过判别式得出(sin -sin )24,再结合-1sin 1,-1sin 1得出sin -sin =
28、2是解题的关键. 5.(2020 5 3原创题)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,直线l:2mx-2y+m-=0 恒过点A,且点A在角的终边上,则cos2+2sin 2= . 3 答案答案 + 3 1 4 解析解析 2mx-2y+m-=0即m(2x+1)-(2y+)=0,所以直线l恒过定点A,又因为点A在角的 终边上,所以tan =.所以cos2+2sin 2=+. 33 13 -,- 22 3 2 22 cos2sin2 cossin 2 22 cos4sincos cossin 2 14tan 1tan 3 1 4 命题说明命题说明 本题将三角函数的定义、直线恒过定点问题及三角函数的化简求值问题进行了综合 考查,打破了三角函数定义的常规考法,尤其是直线恒过定点问题,成为解本题的切入点、关键点, 具有较高的区分度,对学生基础知识、基本能力、基本思想的考查比较到位.
