1、考点考点1 椭圆的定义和标准方程椭圆的定义和标准方程 1.(2019课标理,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|= 2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x 2 3 x 2 2 y 2 4 x 2 3 y 2 5 x 2 4 y 答案答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能力,考 查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算. 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,
2、|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|= 2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B| |F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2 +22-4x cosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2| |F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8x cosBF2 F1, 由得得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆的方程为+=1.故选B. 3 2 33 2 3 x 2 2 y
3、 思路分析思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可 得椭圆的方程. 2.(多选题)(2020新高考,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.( ) A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n0,则C是圆,其半径为 C.若mn0,则C是两条直线 n - m n 答案答案 ACD A选项中,若mn0,则方程mx2+ny2=1可变形为+=1,因为mn0,所以00,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=,所以此曲线表示圆,半径为,所以B不正 确. C选项中,若mn0,则方程mx2+ny2=1可化为y2=(xR),即y=,表示
4、两条直线,所以D正确.故 选ACD. 2 1 x m 2 1 y n 1 m 1 n 1 n 1 n 2 mx n - m n - m n 1 n 1 n 3.(2019课标理,15,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若 MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 . 2 36 x 2 20 y 答案答案 (3,) 15 解析解析 本题考查了椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又 由椭圆方程
5、+=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,所以|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00),则 解得x0=3,y0=,即M(3,). 2 36 x 2 20 y 22 00 22 00 (4)64, (-4)16, xy xy 1515 一题多解一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2=,则tanMF1F2=. 所以直线MF1的方程为y-0=(x+4). 设M(6cos ,2sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2sin =(6cos +4), 结合sin2+cos2=1且sin 0
6、,cos 0得cos =,sin =,即M点的坐标为(3,). 222 88 -4 2 8 8 7 8 15 7 15 7 5 5 15 7 1 2 3 2 15 4.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2 (1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延 长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标. 2 2 x a 2 2 y b 5 2 解析解析 本题主要考查
7、直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位 置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1=,AF2x轴,所以DF2=.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为+=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C:+=1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所
8、以直线AF1:y=2x+2. 由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-. 将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B. 5 2 22 112 -DFFF 2 2 5 -2 2 3 2 2 4 x 2 3 y 2 4 x 2 3 y 22 22, ( -1)16, yx xy 11 5 11 5 12 5 11 12 -,- 55 又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1). 由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E. 解法二:由(1)知,椭圆C:+=1. 如图,连接EF1. 因
9、为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),所以直线F1E:x=-1, 3 4 22 3 ( -1), 4 1, 43 yx xy 13 7 3 4 3 2 3 -1,- 2 2 4 x 2 3 y 由解得y=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-. 因此E. 22 -1, 1, 43 x xy 3 2 3 2 3 -1,- 2 5.(2020课标,文21,理20,12分)已知椭圆C:+=1(0m0,由题意知yP0. 由已知
10、可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5), 所以|BP|=yP,|BQ|=.因为|BP|=|BQ|, 所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3. 由直线BP的方程得yQ=2或8. 所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8). |P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故AP1Q1的面积为 =.|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故AP2Q2的面 积为=.综上,APQ的面积为. 2 25- 5 m15 4 25 16 2 25 x 2 25 16
11、 y 1 Q y 2 1 Q y 2 1 Q y 10 1 3 10 2 1 2 10 2 10 5 2 130 7 9 10 3 130 26 1 2 130 26 130 5 2 5 2 1.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点A,B满足=2,则当m= 时, 点B横坐标的绝对值最大. 2 4 x APPB 以下为教师用书专用 答案答案 5 解析解析 本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值. 设B(t,u),由=2,易得A(-2t,3-2u). 点A,B都在椭圆上, 从而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3. 即有4u-3=m
12、u=,+=m, t2=-m2+m-=-(m-5)2+4. 当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大. APPB 2 2 2 2 , 4 4 (3-2 ), 4 t um t um 2 3 4 t 2 4 t 3 4 m 2 4 t 2 (3) 16 m 1 4 5 2 9 4 1 4 思路分析思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的二次函数. (4)利用二次函数的最值得结
13、论. 2.(2018天津理,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ,点A的坐标为(b,0),且|FB| |AB|=6. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sinAOQ (O为原点),求k的值. 2 2 x a 2 2 y b 5 3 2 | | AQ PQ 5 2 4 解析解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆 锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=, 又由a2=b2+
14、c2,可得2a=3b. 由已知可得,|FB|=a,|AB|=b, 由|FB| |AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2). 由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2. 又因为|AQ|=,而OAB=,故|AQ|=y2. 由=sinAOQ,可得5y1=9y2. 由方程组消去x,可得y1=. 易知直线AB的方程为x+y-2=0, 2 2 c a 5 9 2 2 2 9 x 2 4 y 2 sin y OAB 4 2 | | AQ PQ 5 2 4 22 , 1, 94 ykx xy 2 6
15、 94 k k 由方程组消去x,可得y2=. 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方, 整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=. 所以,k的值为或. , -20, ykx xy 2 1 k k 2 94k 1 2 11 28 1 2 11 28 解题关键解题关键 利用平面几何知识将=sinAOQ转化为点P、Q坐标之间的关系是解决第(2) 问的关键. | | AQ PQ 5 2 4 方法归纳方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法 (1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程; (2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为根据已知条件判断焦点
16、的位置;根据 焦点的位置设出所求椭圆的方程;根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应 用;解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程. 3.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为. (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与 直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 b 3 2 解析解
17、析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查运算求解能力,以及 综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为0e0),则直线FP的斜率为. 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=, y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3 m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. (ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+
18、3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ 1 2 2 2 b 1 2 1 2 1 m 2 x c y c (2 -2) 2 mc m 3 2 c m (2 -2)3 , 22 mcc mm 3 2 2 (2 -2) 2 mc c m 2 3 2 c m 2 3 2 c 4 3 3 4 3 2 2 4 x c 2 2 3 y c 22 22 3 -430, 1, 43 xyc xy cc 13 7 c3 , 2 c c 2 2 3 () 2 c cc 5 2 c |=-=c
19、. 由已知,知线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ| tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理 FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2. 所以椭圆的方程为+=1. 5 2 c3 2 c 3 2 c3 4 9 8 c1 2 2 27 32 c 2 75 32 c 2 75 32 c 2 27 32 c 2 16 x 2 12 y 方法总结方法总结 1.求椭圆离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造关于a,b,c的齐次等
20、式, 结合b2=a2-c2消去b,化为关于a,c的齐次方程,从而利用方程思想求出离心率e的值. 2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数 的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m0);(4)点差法. 12 12 - - y y x x n m 3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用. 4.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂
21、线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求 证:BDE与BDN的面积之比为45. 3 2 解析解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为+=1(ab0). 由题意得解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m), 直线BN的方程为y=(x-2). 联立得 2 2 x a 2 2 y b 2, 3 , 2 a c a 3 2 4
22、 x 2 n m 2m n 2m n 2- n m 2 -( - ), ( -2), 2- m yx m n n yx m 得点E的纵坐标yE=-. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=-n. 又SBDE=|BD| |yE|=|BD| |n|,SBDN=|BD| |n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45. 2 22 (4-) 4- nm mn 4 5 1 2 2 5 1 2 温馨提示温馨提示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n, 则要考虑斜率为0的情况. 5.(2016北京理,19,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心
23、率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的 面积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN| |BM|为定值. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 解析解析 本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系;考查了学生的运算求解能力和数形结合思 想. (1)由题意得 解得a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1). 设P(x0,y0),则+4=4. 当x00时,直线PA的方程为y=(x-2). 令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=. 直线
24、PB的方程为y=x+1. 令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=. 222 3 , 2 1 1, 2 , c a ab abc 2 4 x 2 0 x 2 0 y 0 0-2 y x 0 0 2 -2 y x 0 0 2 1 -2 y x 0 0 -1y x 0 0-1 x y 0 0 2 -1 x y 所以|AN| |BM|= = = =4. 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|为定值. 0 0 2 -1 x y 0 0 2 1 -2 y x 22 000000 0000 44-4-84 -22 xyx yx
25、y x y xy 0000 0000 4-4-88 -22 x yxy x y xy 一题多解一题多解 (2)点P在椭圆+=1上,不妨设P(2cos ,sin ),当k且k+(kZ)时,直线 AP的方程为y-0=(x-2),令x=0,得yM=; 直线BP的方程为y-1=(x-0),令y=0,得xN=. |AN| |BM|=2 =2=22=4(定值). 当=k或=k+(kZ)时,M、N是定点,易得|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|=4. 2 2 x 2 1 y 2 sin 2(cos -1) sin 1-cos sin -1 2cos 2cos 1-sin cos 1-1-sin
26、sin 1-1-cos 2(1-sin )(1-cos ) (1-sin )(1-cos ) 2 1.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是( ) A. B. C. D. 2 9 x 2 4 y 13 3 5 3 2 3 5 9 考点考点2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 答案答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B. 5 c a 5 3 易错警示易错警示 1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A. 2.把离心率记成e=或e=,而错选C或D. b a 2 2 c a 2.(2018课标文,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个
27、焦点为(2,0),则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 4 y 1 3 1 2 2 2 2 2 3 答案答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8, 则a=2, e=,故选C. 2 c a 2 2 2 2 2 方法总结方法总结 求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e=求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解. c a 3.(2019北京理,4,5分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则( ) A.a2=2b2 B.3a2=
28、4b2 C.a=2b D.3a=4b 2 2 x a 2 2 y b 1 2 答案答案 B 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算能力; 考查的核心素养是数学运算. 由题意知=e2=,整理得3a2=4b2,故选B. 22 2 -a b a 1 4 4.(2017课标,文11,理10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 6 3 3 3 2 3 1 3 答案答案 A 本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置
29、关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b= , a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=. 22 |0-02| (- ) baab ba 22 ab 2 2 c a 2 3 c a 6 3 5.(2018课标文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C 的离心率为 ( ) A.1- B.2- C. D.-1 3 2 3 3-1 2 3 答案答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为+=1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F
30、1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a, 所以椭圆的离心率e=-1.故选D. 2 2 x a 2 2 y b 3 3 c a 2 31 3 6.(2016课标文,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长 的,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离, 则|OA| |OF|=|AF| |OB|,即bc=a, 所以e=.故选B. 2 b c a 1 2 易错警示易错警示 椭圆中心到直线l的距
31、离为2b=,容易将短轴长误认为是b而致错. 2 b 7.(2018课标理,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在 过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 3 6 2 3 1 2 1 3 1 4 答案答案 D 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y=(x+a), 直线PF2的方程为y=(x-c). 联立得y=(a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c). 因为PF2H=60,|PF2|=|F1F2
32、|=2c,|PH|=(a+c), 所以sin 60=, 3 6 3 3 5 3 5 3 5 2 | | PH PF 3 () 5 2 ac c 3 2 即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故选D. c a 1 4 解题关键解题关键 通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键. 8.(2017课标文,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则 m的取值范围是( ) A.(0,19,+) B.(0,9,+) C.(0,14,+) D.(0,4,+) 2 3 x 2 y m 3 3 答案答案 A 本题考查椭圆的几何性质. 当0m3时,椭圆C的长轴在x
33、轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,). 图(1) 图(2) 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0). 33m mm3 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9. 综上,m(0,19,+),故选A. m 9.(2016课标,文12,理11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为 C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM 经
34、过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案 A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N, 则直线AM的斜率k=, 从而直线AM的方程为y=(x+a), 令x=0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=.因为2yN=yE,所以=,即2a-2 c=a+c,所以e=.故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴,=, 0 - y a c 0 - y a c 0 - ay a c 0 ay ac 2
35、ac 1 -a c c a 1 3 | | MF OE | | AF AO -a c a =,又=,即=, a=3c,故e=. | | MF ON | | BF OB ac a | | MF OE | 2| MF ON -a c a2 ac a c a 1 3 10.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 2 2 x a 2 2 y b2 b 答案答案 6 3 解析解析 本题考查椭圆的几何性质,考查学生的运算求解能力和对数形结合的思想方法的运用. 由已知条件易得B,C,
36、 F(c,0),=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0,c2-a2+b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2, 所以=,则e=. 3 -, 22 b a 3 , 22 b a BF 3 ,- 22 b ca CF 3 -,- 22 b ca BFCF 3 - 2 ca 3 2 ca 2 - 2 b 3 4 1 4 2 2 c a 2 3 c a 6 3 方法点拨方法点拨 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直,然后利用垂直向量的数量积为零转化为数 量关系. 11.(2020课标理,19,12分)已知椭圆C1:+=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,
37、C1的 中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 2 2 x a 2 2 y b 4 3 解析解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=. 不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c. 由|CD|=|AB|得4c=,即3=2-2.解得=-2(舍去)或=. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1. 设M(x0,
38、y0),则+=1,=4cx0,故+=1. 由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得+=1,即c2-2c-3=0,解得 c=-1(舍去)或c=3. 所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=12x. 22 -a b 2 b a 2 b a 2 2b a 4 3 2 8 3 b a c a 2 c a c a c a 1 2 1 2 3 2 2 4 x c 2 2 3 y c 2 0 2 4 x c 2 0 2 3 y c 2 0 y 2 0 2 4 x c 0 4 3 x c 2 2 (5- ) 4 c c 4(5- ) 3 c c 2 3
39、6 x 2 27 y 12.(2020江苏,18,16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A 在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1)求AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标. 2 4 x 2 3 y OPQP 解析解析 本题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数 量积等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
40、 (1)设椭圆E:+=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=4,b2=3,c2=1. 所以AF1F2的周长为2a+2c=6. (2)椭圆E的右准线为x=4.设P(x,0),Q(4,y), 则=(x,0),=(x-4,-y), =x(x-4)=(x-2)2-4-4, 在x=2时取等号.所以的最小值为-4. (3)因为椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,则F1(- 2 4 x 2 3 y OPQP OPQP OPQP 2 4 x 2 3 y 1,0),F2(1,0),A,所以直线AB:3x-4y+3=0. 设M(x,y),因为S2
41、=3S1, 所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍. 由此得=3, 则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0. 由得7x2+24x+32=0,此方程无解; 由得7x2-12x-4=0,所以x=2或x=-. 代入直线l:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=-. 因此点M的坐标为(2,0)或. 3 1, 2 |3 -43| 5 xy |3 0-4 03| 5 22 3 -4120, 1, 43 xy xy 22 3 -4 -60, 1, 43 xy xy 2 7 12 7 212 -,- 77 13.(2016北京文,19,14分)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,
42、1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形 ABNM的面积为定值. 2 2 x a 2 2 y b 解析解析 本题考查椭圆的定义与几何性质,直线与椭圆的位置关系;考查了学生的运算求解能力和 数形结合的思想方法;考查了数学运算的核心素养. (1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(3分) 又c=,所以离心率e=.(5分) (2)证明:设P(x0,y0)(x00,y0b0)的左、右焦点,过F1且垂直 于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,若AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆
43、C的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 3 y 2 9 x 2 6 y 2 16 x 2 4 y 2 16 x 2 9 y 1.(2020广东东莞4月模拟,6)已知F1、F2分别为椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直 于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,若AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 4 x 2 3 y A A组组 考点基础题组考点基础题组 答案答案 B 如图所示,ABF2是边长为4的等边三角形,|AF2|=4,|AF1|=|AB
44、|=2,2a=|AF1|+|AF2| =6,a=3,又|F1F2|=2c=2,c=,则b2=a2-c2=6,故椭圆C的方程为+=1.故 选B. 1 2 22 21 |-|AFAF33 2 9 x 2 6 y 2.(多选题)(2020山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭 圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n 千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分 别为2a、2b、2c,则( ) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= (
45、)()mR nR 答案答案 ABD 由题设条件可得 a-c=m+R,故A正确;a+c=n+R,故B正确; +得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确; 由可得(m+R)(n+R)=a2-c2,a2-c2=b2,b2=(m+R)(n+R)b=,故D正确.故选 ABD. - - , - , ma c R nac R - ,mRa c nRac ()()mR nR 3.(2018湖北武汉模拟,4)曲线+=1与曲线+=1(k9)的( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2 25 x 2 9 y 2 25- x k 答案答案 D 曲线+=1表示焦点在x轴上的
46、椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为. 曲线+=1(kb0)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若 AFB是直角三角形,则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 3 2 3-1 2 5-1 2 考点考点2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 答案答案 D 如图所示,F(-c,0),A(0,b),B(a,0), ABF是直角三角形,AFAB,=0, 又=(-c,-b),=(a,-b),-ac+b2=0, 又b2=a2-c2,a2-ac-c2=0,又e=,e2+e-1=0, e=,又0eb0)的左,右焦点,过F2的直线与椭圆交于P, Q两
47、点,PQPF1,且|QF1|=2|PF1|,则PF1F2与QF1F2的面积之比为( ) A.2- B.-1 C.+1 D.2+ 2 2 x a 2 2 y b 3223 答案答案 D 解法一:可设|PF1|=t,则|QF1|=2|PF1|=2t, 由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t,|QF2|=2a-2t, |PQ|=4a-3t, 由|PQ|2+|PF1|2=|QF1|2,即(4a-3t)2+t2=4t2, 即有4a-3t=t,解得t=a, 则PF1F2与QF1F2的面积之比为 = =2+.故选D. 解法二:同解法一得出t=a, 则= 3 4 33 12 12 1 | 2 1 | sin30? 2 PF PF QF QF 1422 3 2 3 333 182 3-21 223333 aa aa 13 3-
