1、考点考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1.(2020课标,2,5分)若为第四象限角,则( ) A.cos 20 B.cos 20 D.sin 20 答案答案 D 是第四象限角, -+2k2k,kZ, -+4k24k,kZ, 角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上, sin 20,cos 2可正、可负、可为零. 故选D. 2 2.(2019课标文,7,5分)tan 255=( ) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 33 33 答案答案 D 本题考查三角函数的求值与化简;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运
2、算. tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=2+,故选D. tan30?tan45? 1-tan30?tan45? 3 1 3 3 1- 3 3 技巧点拨技巧点拨 利用诱导公式将大角化为小角,再进一步转化为特殊角的和. 3.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为( ) A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 答案答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运 算求解能力;考查的核心素养是数学
3、运算. 连接AB,由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为PAB的面积与弓形的面 积之和.如图,作PDAB于D点,则PD过圆心O,连接OA,OB,由APB=知DOB=. 所以|OD|=2cos ,|BD|=2sin , 则|PD|=2+2cos ,|AB|=4sin . 所以SPAB= |AB| |PD|=4sin (1+cos ). S弓形=S扇形OAB-SOAB= 2 22- 4sin 2cos =4-4sin cos . 故阴影部分的面积为SPAB+S弓形=4sin +4sin cos +4-4sin cos =4+4sin . 故选B. 1 2 1 2 1
4、2 4.(2018浙江,18,14分)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P . (1)求sin(+)的值; (2)若角满足sin(+)=,求cos 的值. 34 -,- 55 5 13 解析解析 (1)由角的终边过点P得sin =-,所以sin(+)=-sin =. (2)由角的终边过点P得cos =-, 由sin(+)=得cos(+)=. 由=(+)-得cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin , 所以cos =-或cos =. 34 -,- 55 4 5 4 5 34 -,- 55 3 5 5 13 12 13 56 65 16 65
5、 思路分析思路分析 (1)由三角函数的定义得sin 的值,由诱导公式得sin(+)的值. (2)由三角函数的定义得cos 的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(+)的值,由两角差的余弦 公式得cos 的值. 考点考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020山西长治二模,3)已知角的终边经过点(-4,3),则cos(2+)=( ) A. B.- C.- D. 7 25 7 25 3 5 4 5 答案答案 B 本题主要考查三角函数的定义,诱导公式的应用,考查学生对基础知识的应用能
6、力,考查 的核心素养为数学运算. 因为角的终边经过点(-4,3), 所以cos =-, 所以cos(2+)=-cos 2=1-2cos2=-,故选B. 4 5 7 25 2.(2020安徽六安一中3月周考(二),1)化简的结果是( ) A.-1 B.1 C.tan D.-tan 11 cos()coscos- 22 9 cos(- )sin(- )sin 2 答案答案 C 本题主要考查诱导公式的应用,考查学生对基础知识的识记能力和应用能力,考查的核 心素养为数学运算. 由诱导公式,得原式=tan ,故选C. 3 -cos(-sin ) cos- 2 -cossinsin 2 2 2 -sinc
7、os -sincos 3.(2020吉林长春二模,9)已知为锐角,且=tan,则角=( ) A. B. C. D. sin 3 sin- 3 3 12 6 4 3 答案答案 C 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式等,考查的核心素养为逻辑推理和 数学运算. 由条件得=,又因为为锐角,所以sin=cos,即sin=sin- ,所以有-=-,解得=,故选C. sin 3 sin- 3 sin 3 cos 3 - 3 3 - 3 2 3 3 2 3 4 4.(2019四川成都石室中学4月月考,2)已知为第二象限角,且sin +cos =,则cos -sin =( ) A. B.- C. D.
8、 1 5 7 5 7 5 7 5 24 25 答案答案 B 把sin +cos =两边平方得1+2sin cos =,2sin cos =-,(cos -sin )2=1-2 sin cos =1+=,为第二象限角,cos -sin =-,故选B. 1 5 1 25 24 25 24 25 49 25 7 5 5.(2018云南曲靖质检,5)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=3x上,则 sin=( ) A. B.- C. D.- 2 3 3-4 3 10 3-4 3 10 4-3 3 10 4-3 3 10 答案答案 A 由题意知的终边在第一或第三象限,且tan =3
9、,则sin=sin 2+cos 2= =,故选A. 2 3 1 2 3 2 22 22 3 sin cos(cos-sin) 2 sincos 2 2 3 tan(1-tan) 2 tan1 3-4 3 10 解后反思解后反思 用三角函数定义求三角函数值的两种情况: (1)已知角终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值; (2)已知角的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组. 6.(2019贵州黔东南州一模,10)已知sin +3cos =-,则tan=( ) A.-2 B.2 C.- D. 10 4 1 2 1 2 答案答案 B (sin +3cos
10、)2=sin2+6sin cos +9cos2=10(sin2+cos2),9sin2-6sin cos +cos2= 0,即(3sin -cos )2=0,(3tan -1)2=0,即tan =,则tan=2. 1 3 4 1 1 3 1 1- 3 7.(2020皖北名校3月联考,13)sin 613+cos 1 063+tan 30的值为 . 答案答案 3 3 解析解析 sin 613+cos 1 063+tan 30=sin 253+cos(-17)+tan 30=-sin 73+cos(-17)+tan 30=-cos 17 +cos 17+tan 30=. 3 3 8.(2020豫北
11、名校联盟5月联考,13)已知sin(3+)=2sin,则= . 3 2 sin -4cos 5sin2cos 答案答案 - 1 6 解析解析 解法一:由sin(3+)=2sin得-sin =-2cos ,tan =2,= =-. 解法二:由sin(3+)=2sin得-sin =-2cos ,即sin =2cos ,= =-. 3 2 sin -4cos 5sin2cos tan -4 5tan2 2-4 5 22 1 6 3 2 sin -4cos 5sin2cos 2cos -4cos 10cos2cos -2cos 12cos 1 6 9.(2020甘肃兰州诊断,13)已知sin +cos
12、 =,则tan = . 7 5 答案答案 或 4 3 3 4 解析解析 将sin +cos =两边平方得1+2sin cos =, sin cos =,=, 整理得12tan2-25tan +12=0, 解得tan =或tan =. 7 5 49 25 12 25 22 sincos sincos 2 tan tan1 12 25 4 3 3 4 10.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 2 x 答案答案 0 解析解析 f(8)=cos(4+)+1=cos +1=2, cos =1,f(2 018)=cos+1=cos(1 00
13、9+)+1=cos(+)+1=-cos +1=-1+1=0. 2 018 2 一、选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：20分钟 分值：45分) 1.(2020吉林部分名校3月联考,8)若sin -cos =,且,则sin(-)-cos(-)=( ) A.- B. C.- D. 4 3 3 , 4 2 3 2 3 4 3 4 3 答案答案 A 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,考查的核心素养为数学运算. 由sin -cos =得1-2sin cos =,即2sin cos =-,(sin +cos )2=1+2sin cos =,又 , si
14、n +cos 0,sin +cos =-,则sin(-)-cos(-)=sin +cos =-,故选A. 4 3 16 9 7 9 2 9 3 , 4 2 3 2 3 2.(2020河南开封二模,5)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴的非负半轴为始边,它们的终 边关于y轴对称,若sin =,则cos(-)=( ) A.-1 B.- C. D. 1 3 7 9 4 2 9 7 9 答案答案 B 本题主要考查角的概念、诱导公式以及二倍角公式,考查的核心素养为数学运算、逻 辑推理. 因为角和角均以x轴的非负半轴为始边,且它们的终边关于y轴对称,所以=-+2k,kZ,则cos (-)=cos(-
15、+-2k)=cos(-2)=-cos 2,kZ,又sin =,所以cos 2=1-2sin2=,则cos(-)=-,故 选B. 1 3 7 9 7 9 解题关键解题关键 利用角的定义以及角的终边的对称关系找出角和角的关系是解决本题的关键. 3.(2020山西太原名校联盟4月模拟,7)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角 的终边按顺时针方向旋转后经过点(-3,4),则cos =( ) A. B.- C. D. 6 3 34 10 3 34 10 3 3-4 10 4-3 3 10 答案答案 B 本题主要考查三角函数的定义、两角和的余弦公式,通过角的旋转以及凑角法转化角 的形式,
16、考查转化与化归思想,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 将角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为-,由三角函数的定义,可得cos= =-,sin=,所以cos =cos+=coscos-sinsin= -=-,故选B. 6 6 - 6 22 -3 (-3)4 3 5 - 6 22 4 (-3)4 4 5 - 6 6 - 6 6 - 6 6 3 - 5 3 2 4 5 1 2 3 34 10 思路分析思路分析 首先利用三角函数定义求出角的正、余弦值,然后利用凑角法把角转化为 +,再利用两角和的余弦公式求得结果. - 6 - 6 6 4.(2020云南统一检测,9)已知tan(-)=2,则=( )
17、 A. B. C.- D.- sin4 sin2 2 8 5 8 5 8 5 6 5 答案答案 C 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式,考查学生基础知 识的应用能力和运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 因为tan(-)=-tan =2,所以tan =-2,所以sin =-2cos ,且是第二或第四象限角,又sin2+cos2=1,所 以sin =,cos =-或sin =-,cos =,所以=2sin 2=4 sin cos =-,故选C. 2 5 5 5 5 2 5 5 5 5 sin4 sin2 2 sin4 cos2 2sin2 cos2 cos2
18、 8 5 一题多解一题多解 因为tan(-)=-tan =2,所以tan =-2,所以=2sin 2= =-,故选C. sin4 sin2 2 sin4 cos2 2sin2 cos2 cos2 22 4sincos sincos 2 4tan tan1 -8 4 1 8 5 5.(2020陕西西安中学一模,6)若f(cos x)=cos 2x,则f=( ) A.- B.- C. D. sin 12 1 2 3 2 1 2 3 2 答案答案 B 解法一:f(cos x)=cos 2x=2cos2x-1, 令cos x=t,则f(t)=2t2-1, 即f(x)=2x2-1, f=2sin2-1=
19、-cos=-,故选B. 解法二:f=f=f=cos=cos=-.故选B. sin 12 12 6 3 2 sin 12 cos- 2 12 5 cos 12 5 2 12 5 6 3 2 6.(2019吉林省实验中学期中,3)已知角(0360)终边上一点的坐标为(sin 215,cos 215),则= ( ) A.215 B.225 C.235 D.245 答案答案 C 角(0360)终边上一点的坐标为(sin 215,cos 215),cos =sin 215=cos 235, sin =cos 215=sin 235,=235,故选C. 7.(2018山西康杰中学等五校3月联考,4)已知t
20、an =2,则+sin2的值为( ) A. B. C. D. sincos sin 19 5 16 5 23 10 17 10 答案答案 C +sin2=+=+,将tan =2代入,得原式= ,故选C. sincos sin sincos sin 2 22 sin sincos tan1 tan 2 2 tan tan1 23 10 二、填空题(每小题5分,共10分) 8.(2020江西九江模拟,14)已知cos=,则sin+2= . - 6 2 3 6 答案答案 - 1 9 解析解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理. 因为2+2=,所以sin=
21、sin-2=cos=2cos2-1,把cos =代入得,原式=2-1=-. - 6 6 2 2 6 2 - 6 2- 6 - 6 - 6 2 3 4 9 1 9 9.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin 和cos 是方程4x2+2x+m=0的两个实数根,则sin3- cos3= . 6 答案答案 5 2 8 解析解析 由根与系数的关系,得sin +cos =-,sin cos =,(sin +cos )2=1+2sin cos ,=1 +,解得m=1.sin cos =,sin 0,cos cos ,即2k+2k+(kZ)时,sin -cos =,此时,sin3-cos3=;当s
22、in cos ,即2k+2k+(kZ)时,sin -cos =-,此时sin3-cos3=-.综上,sin3-cos3=. 6 24 m6 4 2 m1 4 5 4 1 2 1 2 5 4 2 2 5 2 8 5 4 3 2 2 2 5 2 8 5 2 8 名师点拨名师点拨 本题主要考查同角三角函数的基本关系,根与系数的关系的应用等.解决此类问题的关 键是:熟悉sin cos ,sin cos 之间的联系;挖掘出隐含的角的范围. 1.(2020 5 3原创题)已知两个锐角,(),且tan ,tan 为方程40 x2-13x+1=0的两根,如果钝角的始 边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-2,
23、1),则+-=( ) A.- B.- C.- D. 4 2 3 3 4 4 答案答案 C 因为,均为锐角,且,所以tan tan . 由tan ,tan 为方程40 x2-13x+1=0的两根,解得tan =,tan =,则tan(+)=, 又由已知得tan =-,且, 则tan(+-)=tan(+)-=1. 因为0,0,所以0+,又tan(+)=,所以0+,所以-+-0.故+-=-. 1 8 1 5 tantan 1-tantan 1 3 1 2 , 2 tan()-tan 1tan()tan 2 2 1 3 2 3 4 命题说明命题说明 本题以给值求角为载体,对三角函数的定义、一元二次方程
24、的根及三角恒等变换等知 识进行了综合考查,打破了三角函数定义的常规考法,有一定的区分度,具有一定的开放性、灵活 性及综合性. 2.(2020 5 3原创题)设函数f(x)=若有a1=(1-3m),a2=m,使得f(a1)f(a2)成立,则实数m 的取值范围是( ) A. B. C. D. 1 ,0, tan2 tan , 2 x x xx 1 0, 4 1 0, 6 1 1 , 6 4 1 1 , 4 2 1 0, 4 1 1 , 4 2 答案答案 B 因为f(a1)f(a2),所以有以下三种情况: (1)0a2a1;(2)a1a2;(3)a1,0a21-3mm0,解得m; 由(2)得1-3m
25、m1,无解; 由(3)得解得0m. 综上,m的取值范围是. 2 2 2 2 1 2 1 6 1 4 1 2 1 1-31, 2 1 0, 2 m m 1 6 1 0, 6 1 1 , 6 4 3.(2020 5 3原创题)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,直线l:2mx-2y+m-=0 恒过点A,且点A在角的终边上,则cos2+2sin 2= . 3 答案答案 + 3 1 4 解析解析 2mx-2y+m-=0即m(2x+1)-(2y+)=0.所以直线l恒过定点A,又因为点A在角的 终边上,所以tan =. 所以cos2+2sin 2=+. 33 13 -,- 22 3 2 22
26、 cos2sin2 cossin 2 22 cos4sincos cossin 2 14tan 1tan 3 1 4 命题说明命题说明 本题将三角函数的定义、直线恒过定点问题及三角函数的化简求值问题进行了综合 考查,打破了三角函数定义的常规考法,尤其是直线恒过定点问题,成为解本题的切入点、关键点, 具有较高的区分度,对学生基础知识、基本能力、基本思想的考查比较到位. 4.(2020 5 3原创题)已知,(0,2)且,若关于x的方程(x+sin )(x+sin )+1=0有实数根,则代数式 = . 3 3sincos- 22 3 2-sin(- )cos 2 答案答案 1 3 解析解析 整理方程
27、(x+sin )(x+sin )+1=0得x2+x(sin +sin )+sin sin +1=0. 由题意得=(sin +sin )2-4sin sin -40,即(sin -sin )24. 因为-1sin 1,-1sin 1,所以sin -sin -2,2,从而(sin -sin )24. 由得sin -sin =2,所以或 因为,(0,2)且,所以=,=,即因此= =. sin1, sin-1 sin-1, sin1. 2 3 2 sin1, sin-1. 3 3sincos- 22 3 2-sin(- )cos 2 3cos -sin 2-sin sin 1 2 1 1 3 命题说明命题说明 本题结合一元二次方程来考查正弦函数,以及正、余弦函数的诱导公式的运用.学生要 掌握一元二次方程是否有解的判定方法,通过“0”得到(sin -sin )2的范围,再结合-1sin 1,-1sin 1,得出(sin -sin )2的范围,从而得sin ,sin 的确定值.要求学生具有一定的逻辑推 理能力.
