1、考点考点 排列、组合排列、组合 1.(2020新高考,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安 排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 答案答案 C 第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有=6种,第二步:安排乙场馆的志 愿者,则乙场馆的安排方法有=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有=1 种.所以共有6101=60种不同的安排方法.故选C. 1 6 C 2 5 C 3 3 C 2.(2019课标,6,5分) 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每
2、一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻 分为阳爻“”和阴爻“ ”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3 个阳爻的概率是( ) A. B. C. D. 5 16 11 32 21 32 11 16 审题指导审题指导 本题渗透了中国传统文化,以周易中的“卦”为背景,考查排列、组合,组成所有 重卦的情况是“可重复排列”问题,从下到上的每个爻都有两种选择;而其中恰有3个阳爻的重卦, 只需从6个爻中选出3个作为阳爻,其余均为阴爻. 答案答案 A 重卦是由从下到上排列的6个爻组成的,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重 卦共有26=64种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有=20种.故
3、所求概率P=,故选A. 3 6 C 3 3 C 20 64 5 16 3.(2017课标,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同 的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案答案 D 本题主要考查排列、组合.第一步:将4项工作分成3组,共有种分法.第二步:将3组工 作分配给3名志愿者,共有种分配方法,故共有=36种安排方式,故选D. 2 4 C 3 3 A 2 4 C 3 3 A 4.(2016课标,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意 k2m,a1,a2,ak中0
4、的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 答案答案 C 本题考查组合数和计数原理的应用,考查分类讨论的数学思想. 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的 个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一 个为0均可,则有=4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;若a3=1, a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可
5、,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4 =0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种 情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C. 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 3 C 1 2 C 解后反思解后反思 本题是“新定义”问题,理解“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要 不重不漏. 5.(2020课标,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区 至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种. 答案答
6、案 36 解析解析 因为每个小区至少安排1名同学,所以4名同学的分组方案只能为1,1,2,所以不同的安排方法 共有=36种. 112 432 2 2 CCC A 3 3 A 6.(2018课标,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的 选法共有 种.(用数字填写答案) 答案答案 16 解析解析 本题主要考查组合问题. 解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男:有=4 种选法;1女2男:有=12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有=20种选法,其中选出
7、的3人都是男生的选法有=4种,所 以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种. 2 2 C 1 4 C 1 2 C 2 4 C 3 6 C 3 4 C 7.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个 没有重复数字的四位数.(用数字作答) 答案答案 1 260 解析解析 本题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想. 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四位 数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数. 2 5 C 1 3 C 1 3 A 3 3
8、 A 2 5 C 2 3 C 4 4 A 易错警示易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位. 1.(2016课标,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年 公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 以下为教师用书专用以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查计数原理的应用. 分两步:第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由 分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B. 2.(20
9、16四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案答案 D 本题考查排列、组合的应用. 奇数的个数为=72. 1 3 C 4 4 A 3.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案答案 1 080 解析解析 本题主要考查计数原理及排列、组合的应用. (1)有一个数字是偶数的四位数有=960个. (2)没有偶数的四位数有=120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个. 1
10、4 C 3 5 C 4 4 A 4 5 A 思路分析思路分析 分两种情况:有一个数字是偶数的四位数; 没有偶数的四位数. 4.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队, 要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案答案 660 解析解析 本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类问题, 考查推理运算能力. 从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为-=55. 从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为=12种.故总共有5512=660种选法. 4 8 C 4
11、6 C 2 4 A 5.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2 in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有 两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列 的个数. (1)求f3(2), f4(2)的值; (2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示). 解析解析 本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2
12、,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)= 2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4 在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能 是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,n 的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列
13、,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1) +(n-2)+4+f4(2)=.因此,当n5时, fn(2)=. 2- -2 2 n n 2- -2 2 n n 疑难突破疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入 手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数, 可以通过与f
14、3(2), f3(1), f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒 数第2个位置、 f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2)、fn(1)、 fn (0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式. 6.(2016江苏,23,10分)(1)求7-4的值; (2)设m,nN*,nm,求证: (m+1)+(m+2)+(m+3)+n+(n+1)=(m+1). 3 6 C 4 7 C Cm m1 Cm m2 Cm m-1 Cm n Cm n 2 2
15、 Cm n 解析解析 (1)7-4=7-4=0. (2)证明:当n=m时,结论显然成立.当nm时, (k+1)=(m+1) =(m+1),k=m+1,m+2,n.又因为+=, 所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,n. 因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1) =(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1) =(m+1)+(m+1)(-)+(-)+(-)=(m+1). 3 6 C 4 7 C 6 5 4 3 2 1 76 5 4 4 3 2 1 Cm k (1)! ! ( - )! kk mk m (1)! (1)! (1)-(1)! k mkm 1 1 Cm k
16、 1 1 Cm k 2 1 Cm k 2 2 Cm k Cm k 2 2 Cm k 2 1 Cm k Cm m1 Cm m2 Cm m Cm n Cm m1 Cm m2 Cm m Cm n 2 2 Cm m 2 3 Cm m 2 2 Cm m 2 4 Cm m 2 3 Cm m 2 2 Cm n 2 1 Cm n 2 2 Cm n 考点考点 排列、组合排列、组合 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试,5)将3个黑球、3个白球和1个红球排成一 排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有( ) A.14种 B.15
17、种 C.16种 D.18种 答案答案 D 首先将黑球和白球排列好、再插入红球. 情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球随机 插入6个球组成的7个空中即可,因此共有27=14种; 情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”“黑白黑白白黑”“白黑 黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共4种. 综上所述,符合要求的排法共有14+4=18种. 2.(2020安徽合肥模拟,6)为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、 乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作,每个县至
18、少去1人,且甲、乙两人 约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.64种 答案答案 B 本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,考查了逻辑推理的核心素养. 根据题意,分2步进行分析: 先将5人分成3组,要求甲、乙在同一组, 若甲、乙两人一组,将其他三人分成2组即可,有种分组方法, 若甲、乙两人与另外一人在同一组,有种分组方法, 则有+=6种分组方法; 将分好的三组全排列,对应A、B、C三个贫困县,有=6种情况.则有66=36种不同的派遣方案. 故选B. 2 3 C 1 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 A 3.(2018豫北名校联考
19、,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3) 班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置), 其中(1)班两名同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一 个班的乘坐方式共有( ) A.18种 B.24种 C.48种 D.36种 答案答案 B 由题意知,有两类.第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级, 从3个班级中选两个,有=3种,然后分别从选择的班级中再选择一名学生,有=4种,故有34= 12种.第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中
20、选择一个班级的两名同学在甲车 上,有=3种,再从剩下的两个班级中分别选择一人,有=4种,这时共有34=12种,根据分类加 法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B. 2 3 C 1 2 C 1 2 C 1 3 C 1 2 C 1 2 C 一、选择题(每小题5分,共40分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：45分) 1.(2020山西大同模拟,5)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个, 三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙
21、同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都 喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( ) A.30种 B.50种 C.60种 D.90种 答案答案 B 本题考查分步计数原理,考查的核心素养是逻辑推理. 若甲同学选择牛,则乙有2种选择,丙有10种选择,选法有1210=20种; 若甲同学选择马,则乙有3种选择,丙有10种选择,选法有1310=30种, 所以共有20+30=50种选法.故选B. 2.(2020安徽马鞍山二模,6)为抗击新冠病毒,社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6 箱相同规格的医用外科口罩,现需将这6箱口罩分配给4家医院,每家医院至少1箱,则不同的分法共 有( ) A.
22、10种 B.40种 C.80种 D.240种 答案答案 A 根据题意,将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份,每一份依次对应一家医院即可. 将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排,其中间有5个空位,在5个空位中任选3个,插入挡板,即可 将其分为四份,则有=10种分组方法,故选A. 3 5 C 名师点睛名师点睛 根据题意,原问题转化为“将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份,每一份依次对应 一家医院”的问题,由挡板法分析可得答案. 3.(2020河南郑州二模,6)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日,将2,0,1,9,10按照任 意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的
23、个数为( ) A.96 B.84 C.120 D.360 答案答案 B 根据题意,将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,“10”是一个整体,有=120种情况, 其中数字“0”在首位的情况有=24种, 数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有=24种, 则可以产生120-24-24+12=84个不同的6位数,故选B. 5 5 A 4 4 A 4 4 A 思路分析思路分析 根据题意,由排除法分析:先计算将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行的排法数目,排除 其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前中重复的情况数目,分析可得答 案. 4.(2020四川泸州模拟
24、,7)金庸先生的武侠小说射雕英雄传第12回中有这样一段情节,“洪 七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出 了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的 所有不同的滋味种数为( ) A.20 B.24 C.25 D.26 答案答案 D 现有五种不同的肉,若两种不同的肉混合后,有=10种不同的滋味;若三种不同的肉混 合后,有=10种不同的滋味;若四种不同的肉混合后,有=5种不同的滋味;若五种不同的肉混合 后,有1种不同的滋味,则共有10+10+5+1=26种不同的滋味,故选D. 2 5 C 3 5 C
25、4 5 C 解题关键解题关键 根据题意,按混合的肉的种数不同分4种情况讨论,求出每种情况下不同的滋味的数目 是解决本题的关键. 5.(2020安徽合肥二模,5)为了实施“科技下乡,精准脱贫”战略,某县科技特派员带着A,B,C三个农 业扶贫项目进驻某村,对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研 得知,这四个贫困户选择A,B,C三个扶贫项目的意向如表: 若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项,且每个项目至多有两个贫困户 选择,则不同的选法有( ) A.24种 B.16种 C.10种 D.8种 扶贫项目 A B C 贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、
26、丁 答案答案 B 本题考查分类加法计数原理的运用,体现了逻辑推理的核心素养. 以选C项目的户数2,1,0为标准分为3类, (1)C项目2户,有4种选法; (2)C项目1户,若是丁,有6种选法,若是丙,有3种选法,共有9种选法; (3)C项目0户,有3种选法.故共有4+9+3=16种选法,故选B. 6.(2020云南模拟,5)某班星期三上午要上五节课,若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安 排在星期三上午,数学必须比历史先上,则不同的排法有( ) A.60种 B.30种 C.120种 D.24种 答案答案 A 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程任意排列,有=120种情况,其中数学排 在
27、历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的,则数学比历史先上的排法有=60种.故 选A. 5 5 A 120 2 思路分析思路分析 根据题意,先计算五门课程任意排列的情况数目,再根据数学排在历史之前和数学排在 历史之后的情况数目是相同的可得结果. 7.(2019安徽蚌埠一模,7)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定 每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的 顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖.则他获得奖次的不 同情形种数为( ) A.9 B.12 C.18 D.24 答案答案 C
28、根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三 种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获 得奖次的不同情形种数为36=18,故选C. 思路分析思路分析 根据题意,分析可得甲第4次获得的红包有3种情况,进而可得前三次获得的红包为其余 的2种,分析前三次获得红包的情况,由分步乘法计数原理计算可得答案. 8.(2019四川成都第二次适应性考试,11)用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于42 0 789的正整数个数为( ) A.479 B.480 C.455 D.454 答案答案 C 分
29、情况讨论.第一种,首位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个, 第二种,首位是4,第二位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个, 第三种,前两位是42,第三位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个, 第四种,前三位是420,第四位从8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个, 第五种,只有420798, 所以共有+1=360+72+18+4+1=455个符合要求的正整数. 1 3 C 5 5 A 1 3 C 4 4 A 1 3 C 3 3 A 1 2 C 2 2 A 1 3 C 5 5 A 1 3 C 4 4 A 1 3 C 3 3 A 1 2 C 2 2 A 二、填空题
30、(共5分) 9.(2019山西太原模拟,14)如图所示,玩具计数算盘的三档上各有7个算珠,现将每档算珠分为左、 右两部分,左侧的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠),记上、中、下三档的 数字和分别为a,b,c.例如,图中上档的数字和a=9.若a,b,c成等差数列,则不同的分珠计数法有 种. 答案答案 32 解析解析 根据题意知,a,b,c的取值范围都是区间7,14中的8个整数,故公差d的范围是区间-3,3中的 整数.当公差d=0时,有=8种;当公差d=1时,b不取7和14,有2=12种;当公差d=2时,b不 取7,8,13,14,有2=8种;当公差d=3时,b只能取10或1
31、1,有2=4种.综上,共有8+12+8+4=32种 不同的分珠计数法. 1 8 C 1 6 C 1 4 C 1 2 C 思路分析思路分析 a,b,c的取值范围都是7,14内的整数,可以根据公差d的情况进行讨论. 解后反思解后反思 本题考查排列、组合的应用,要表示的有3项,做题时容易找不到切入点,本题的切入点 是考虑等差中项的选取方法. 1.(2020 5 3原创题)设S=(a1,a2,a3,a4,a5,a6),T=(b1,b2,b3,b4,b5,b6),其中ai,bi=0或1,记d(S,T)表示S和T中相对 应的元素不同的个数,当d(S,T)=2,S=(1,1,1,0,0,0)时,满足条件的T
32、有( ) A.20个 B.36个 C.24个 D.15个 答案答案 D (1)当b1,b2,b3中取2个0,b4=b5=b6=0时,满足d(S,T)=2,所以有=3种情形; (2)当b1=b2=b3=1,b4,b5,b6中取2个1时,也满足d(S,T)=2,所以有=3种情形; (3)当b1,b2,b3中取1个0,b4,b5,b6中取1个1时,同样有d(S,T)=2,所以有=9种情形.综上,满足条件的T 一共有3+3+9=15个. 2 3 C 2 3 C 1 3 C 1 3 C 命题说明命题说明 本题以新符号、新定义为载体,考查分类计数原理、排列、组合等知识,考查分类讨论 的思想方法以及数学抽象
33、、数学运算的核心素养. 2.(2020 5 3原创题)已知集合AB=a1,a2,a3,a4,记AB时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A, B)对的个数为( ) A.54 B.72 C.81 D.90 答案答案 C (1)当A=a1,a2,a3,a4时,集合B有24=16个,即a1,a2,a3,a4的任何一个子集均可以作为B,此 时有16种情况; (2)当A中有三个元素时,若A=a1,a2,a3,则B中必有a4,所以集合B可以由集合A的子集加上元素a4组 成,此时有23=8个,同理,当A=a1,a2,a4或A=a2,a3,a4或A=a1,a3,a4时,分别有8个,故共有84=32
34、种情 况; (3)当A中有两个元素时,如A=a1,a2,则a3,a4B,因此B有22=4种情况,从而共有4=24种情况; (4)当A中有一个元素时,如A=a1,则a2,a3,a4B,因此B有21=2种情况,从而共有2=8种情况; (5)若A=,则B=a1,a2,a3,a4,只有一种情况. 因此符合条件的(A,B)对共有16+32+24+8+1=81个. 2 4 C 1 4 C 方法总结方法总结 处理排列与组合问题时,一般思路是:明确要完成一件什么事(审题);是分步还是分类; 是有序还是无序.若是它们的综合问题,则先分类再分步,先组合后排列,先特殊再一般. 3.(2020 5 3原创题)已知三位
35、数a1a2a3(其中a1,a2,a30,1,2,3,4,5,6,7,8,9)满足:a1a3,且a2-a36, 则这样的三位数的个数是 . 答案答案 170 解析解析 当a2=k(k2,3,4,5)时,a11,2,k-1,共有(k-1)种选法,a30,1,2,k-1,共有k种选法,此 时共有k(k-1)=40个满足条件的三位数; 当a2=k(k6,7,8,9)时,a11,2,k-1,共有(k-1)种选法,a3k-5,k-2,k-1,共有5种选法, 此时有5(k-1)=130个满足条件的三位数. 综上,共有170个满足条件的三位数. 5 2k 9 6k 命题说明命题说明 本题选择一类有限制的三位数
36、的个数计算为切入点,考查两个计数原理的基本应用,以 及分类讨论的思想.解本题的关键点在于对a2的不同取值的分类讨论,注意a11,所以a22,这也是 一个易错点. 4.(2020 5 3原创题)有8个人站成前后两排,每排4人,若甲、乙、丙三人满足:任意两人左右、前后 均不相邻,则不同的站法种数为 .(用数字作答) 答案答案 8 640 解析解析 由题意可知,甲、乙、丙三人恰有两人在同一排,所以分步分析: 第一步,将三人分成两组,有种分法; 第二步,将两组放入两排,有种方法; 第三步,将2人排入对应的排中,有6种方法; 第四步,将剩余1人排入另一排中,有种方法; 第五步,将除甲、乙、丙以外的5人排入对应的位置,有种不同的方法. 由分步乘法计数原理知,共有6=8 640种不同的站法. 2 3 C 2 2 A 1 2 A 5 5 A 2 3 C 2 2 A 1 2 A 5 5 A 命题说明命题说明 本题考查了分步乘法计数原理、不相邻问题.本题将通常排队中的不相邻问题,变为二 维矩阵中的不相邻问题,对学生有一定的挑战.注意到特殊元素个数多于排数,对元素合理分组是 解决该问题的一个突破口.
