1、考点考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.(2020课标,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种 情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 4 1i 答案答案 B 根据均值E(X)=xipi,方差D(X)=xi-E(X)2 pi以及方差与标准差的关系,得各选项对应 样本的标准差如下表. 由此可知选项B对应样本
2、的标准差最大,故选B. 选项 均值E(X) 方差D(X) 标准差 A 2.5 0.65 B 2.5 1.85 C 2.5 1.05 D 2.5 1.45 4 1i 4 1i D(X) 0.65 1.85 1.05 1.45 2.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是 则当p在(0,1)内增大时,( ) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小 0 1 2 P 1-p 2 1 2 p 2 答案答案 D 本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性. 由题意得E()=0+1+2=+p, D()=+=(1+2p)2(1-p)+(1-
3、2p)2+(3-2p)2p=-p2+p+=- +. 由得0p1, D()在上单调递增,在上单调递减,故选D. 1- 2 p1 22 p1 2 2 1 0- 2 p 1- 2 p 2 1 1- 2 p 1 2 2 1 2- 2 p 2 p1 8 1 4 2 1 - 2 p 1 2 1- 01, 2 01, 2 1-1 1, 222 p p pp 1 0, 2 1 ,1 2 3.(2017浙江,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p2,则( ) A.E(1)E(2),D(1)D(2) B.E(1)D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2
4、),D(1)D(2) 1 2 答案答案 A 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又0p1p2,E(1)E(2). D(1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p1)2 p1=p1-, 同理,D(2)=p2-. D(1)-D(2)=p1-p2-(-)=(p1-p2)(1-p1-p2). 0p1p20,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故选A. 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1-,D(2)=p2-, 令f(x)=x-x2,则f(x)在上为增函数,0p1p2,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故选A. 2 1 p 2
5、 2 p 2 1 p 2 2 p 1 2 2 1 p 2 2 p 1 0, 2 1 2 4.(2020浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放 回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为,则P(=0)= ,E()= . 答案答案 ;1 1 3 解析解析 解法一:问题等价于将4个小球按照一定的顺序从左到右排列,总排法数有=24种. 当=0时,红球只能位于1,2号位,若红球位于1号位,则其余小球可任意排列,共有=6种;若红球位 于2号位,则黄球只能位于3,4号位,共有=2种.从而P(=0)=. 当=1时,红球位于2,3号位,若红球位于
6、2号位,则一个黄球位于1号位即可,此时共有=4种;若 红球位于3号位,则一个黄球位于4号位即可,此时共有=4种.从而P(=1)=. 当=2时,红球位于3,4号位,若红球位于3号位,则黄球位于1,2号位,共有=2种;若红球位于4号位, 剩余的小球可任意排列,共有=6种.从而P(=2)=. 由上可知P(=0)=,E()=0+1+2=1. 1 2 3 4 4 4 A 3 3 A 2 2 A 62 24 8 24 1 3 1 2 C 2 2 A 1 2 C 2 2 A 44 24 1 3 2 2 A 3 3 A 26 24 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 若=1,则黄球在红球的左右均有,绿球可
7、随意插入,此时,共有 =8种. 若=2,则黄球均位于红球的左边,绿球可随意插入,此时,共有=8种. 从而P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以E()=1. 2 2 A 1 4 A 2 2 A 1 4 A 8 24 1 3 1 3 1 3 解法二:利用插空法处理. 若=0,则黄球均位于红球右边,绿球随意插入即可,此时,共有 =8种. 2 2 A 1 4 A 5.(2019课标,13,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次 的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所 有车次的平均正点率的估
8、计值为 . 答案答案 0.98 解析解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心素 养为数学抽象和数学运算. 设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99 的事件为C,则用频率估计概率有P(A)=,P(B)=,P(C)=,所 以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97+0.98+0.99=0.98. 10 1020 10 1 4 20 1020 10 1 2 10 1020 10 1 4 1 4 1 2 1 4 6.(2020江苏,23,10分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装
9、有3个白球.现从甲、乙两口袋 中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球 的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn. (1)求p1,q1和p2,q2; (2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示). 解析解析 (1)p1=,q1=, p2= p1+ q1+0 (1-p1-q1) =p1+q1=, q2= p1+ q1+ (1-p1-q1)=-q1+=. (2)当n2时, pn= pn-1+ qn-1+0 (1-pn-1-qn-1)=pn-1+qn-1, qn= pn-1+ qn-1+ (1-pn-1-
10、qn-1)=-qn-1+, 2+,得2pn+qn=pn-1+qn-1-qn-1+=(2pn-1+qn-1)+. 从而2pn+qn-1=(2pn-1+qn-1-1), 又2p1+q1-1=, 所以2pn+qn=1+=1+,nN*. 1 1 1 3 C C 1 3 1 3 C C 1 3 1 2 1 3 C C 1 3 1 3 C C 2 3 1 1 1 3 C C 1 3 1 3 C C 1 2 1 3 C C 1 1 1 3 C C 1 3 2 9 7 27 1 2 1 3 C C 1 3 1 3 C C 1111 2211 1111 3333 CCCC CCCC 1 3 1 3 C C 1
11、2 1 3 C C 1 9 2 3 16 27 1 1 1 3 C C 1 3 1 3 C C 1 2 1 3 C C 1 1 1 3 C C 1 3 2 9 1 2 1 3 C C 1 3 1 3 C C 1111 2211 1111 3333 CCCC CCCC 1 3 1 3 C C 1 2 1 3 C C 1 9 2 3 2 3 4 9 1 9 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 -1 1 3 n 1 3 n 由,有qn-=-,又q1-=, 所以qn=+,nN*. 由,有pn=+,nN*. 故1-pn-qn=-+,nN*. Xn的概率分布为 则E(Xn)=0(1-pn-qn
12、)+1qn+2pn=1+,nN*. Xn 0 1 2 P 1-pn-qn qn pn 3 5 1 9 -1 3 - 5 n q 3 5 1 15 1 15 -1 1 - 9 n 3 5 1 2 1 1- 3 n n q 3 10 1 - 9 n 1 2 1 3 n 1 5 3 10 1 - 9 n 1 2 1 3 n 1 5 1 3 n 7.(2017课标,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每 瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量 与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为5
13、00瓶;如果最高气温位于区间 20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了 前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为 多少时,Y的数学期望达到最大值? 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 解析解析 本题考查随机变量的
14、分布列,数学期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2, P(X=300)=0.4, P(X=500)=0.4. 因此X的分布列为 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=
15、(640-0.4n)元. 当200n300时, X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 2 16 90 36 90 2574 90 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=(160+1.2n)元. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元. 8.(2019课标,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此 进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,
16、随机选一 只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白 鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题, 约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈, 则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲 药比乙药更有效
17、”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P (X=1).假设=0.5,=0.8. (i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 解析解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法 的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推 理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-),P(X=0)
18、=+(1-)(1-), P(X=1)=(1-). 所以X的分布列为 (2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因为p1-p0=p10, 所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列. X -1 0 1 P (1-) +(1-)(1-) (1-) (ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=p1. 由于p8=1,故p1=
19、, 所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=. p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时, 认为甲药更有效的概率为p4=0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案 合理. 8 4 -1 3 8 3 4 -1 4 4 -1 3 1 257 1 257 1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽 样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人
20、睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 以下为教师用书专用 解析解析 (1)由已知,知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从 中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2
21、+3=. (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3 人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以,事件A发生的概率为. X 0 1 2 3 P 3- 43 3 7 CC C kk 1 35 12 35 18 35 4 35 1 35 12 35 18 35 4 35 12 7 6 7 6 7 2.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组
22、各50名,一组服药, 另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服 药者,“+”表示未服药者. (1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布 列和数学期望E(); (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出 结论) 解析解析 本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识. (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的
23、50名患者中随机选出 一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3. (2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=. 所以的分布列为 故的期望E()=0+1+2=1. (3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差. 0 1 2 P 15 50 2 2 2 4 C C 1 6 11 22 2 4 C C C 2 3 2 2 2 4 C C 1 6 1 6 2 3 1 6 1 6 2 3 1 6 方法总结方法总结 在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确
24、定随机变量的取值及各个取值 对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或 分散程度进行比较. 3.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路 口遇到红灯的概率分别为,. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 1 2 1 3 1 4 解析解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加 法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)
25、随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=, P(X=1)=1-1-+1-1-+=, P(X=2)=+=, P(X=3)=. 所以,随机变量X的分布列为 1 1- 2 1 1- 3 1 1- 4 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 1- 2 1 1- 3 1 4 11 24 1 1- 2 1 3 1 4 1 2 1 1- 3 1 4 1 2 1 3 1 1- 4 1 4 1 2 1 3 1 4 1 24 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1
26、)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =+=. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 1 4 11 24 11 24 1 4 11 48 11 48 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 技巧点拨技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时 对应的概率,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提. 4.(2013课标,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验, 这4件产品中优
27、质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批 产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情 况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优 质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需 的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望. 1 2 解析解析 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品
28、为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这 批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)= P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =+=. (2)X可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-=, P(X=500)=, P(X=800)=. 所以X的分布列为 4 16 1 16 1 16 1 2 3 64 4 16 1 16 11 16 1 16 1 4 X 400 500 800 P 11 16 1 16 1 4
29、EX=400+500+800=506.25. 11 16 1 16 1 4 思路分析思路分析 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优 质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,进而求解. (2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望. 5.(2013课标,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元, 未售出的产品,每1 t
30、亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销 售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X=105,且X=105的概率 等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望. 解析解
31、析 (1)当X100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X130,150时,T=500130= 65 000. 所以T= (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概 率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 所以ET=45 0000.1+53 0000.2+61 0000.3+65 0000.4=59 400. T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 800-39
32、000,100130, 65 000,130150. XX X 思路分析思路分析 (1)经分段讨论(分X100,130)和X130,150)得函数解析式. (2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值. (3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望. 易错警示易错警示 (1)中容易忽略100X150而导致出错. 6.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数 分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (
33、1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望. 解析解析 (1)由已知,有P(A)=. 所以,事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=. 所以,随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1. X 0 1 2 P 112 343 2 10 C CC C 1 3 1 3 222 334 2 10 CCC C 4 15 1111 3334 2 10 C CC C C 7 15 11 34 2
34、 10 C C C 4 15 4 15 7 15 4 15 4 15 7 15 4 15 7.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体 方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示, 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1, A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理 暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女
35、志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX. 解析解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=. (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=,P(X=4)=. 因此X的分布列为 X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2. X 0 1 2 3 4 P 4 8 5 10 C C 5 18 5 6 5 10 C C 1 42 41 64 5 10 C C C 5 21 3
36、2 64 5 10 C C C 10 21 23 64 5 10 C C C 5 21 14 64 5 10 C C C 1 42 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 解后反思解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: 理解X的含义,写出X所有可能的取值. 求X取每个值时的概率; 写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应 用计数原理,古典概型概率公式等知识. 8.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完
37、全相 同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取 出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n). (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P; (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X) . 1 2 3 m+n ()( -1) n mn n 解析解析 本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质, 考查运算求解能力和推理论证能力. (1)解法一:若只考虑球的黑白差异(即同色球之间是不加区别的),编号为2的抽屉内放的是黑球的 概率P=. 解法二:若
38、将所有的球都看作不同的,则P=. 解法三:若只考虑第二次放球,则P=. (2)随机变量X的概率分布为: 随机变量X的期望为: E(X)=. 所以E(X) X P -1 -1 C C n m n n m n n mn 1-1 -1 A A A m n nm n m n m n n mn n mn 1 n 1 n1 1 n2 1 k 1 mn n-1 n-1 n m n C C n-1 n n m n C C n-1 n 1 n m n C C n-1 k-1 n m n C C n-1 n m-1 n m n C C m n k n 1 k -1 -1 C C n k n m n 1 Cn m
39、n m n k n 1 k ( -1)! ( -1)!( - )! k nk n 1 Cn m n m n k n ( -2)! ( -1)!( - )! k nk n = =(1+) =(+) =(+) =(+)=, 即E(X)1,则kP(X=k-1);若t7.35,P(X=k)0.若X的方差D(X)对所有a(0,1-b)都成立,则( ) A.b B.b C.b D.b X -1 0 1 P a b c 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 答案答案 D 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法,考查运算求解能力,体现 了逻辑推理和数学运算的核心素养. 依题意,知a+b+c=1
40、,故c=1-a-b,当a(0,1-b)时,E(X)=-a+c=1-b-2a,则D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+ c-(c-a)2+4ac+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a) =(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,则t(0,1), D(X)=t-t2+4a(t-a),a(0,t), 故4a2-4at+t2-t+0在a(0,t)上恒成立, 当a=时D(X)有最小值,故4-4t+t2-t+0,故t,即1-b,所以b,故选D. 1 3 1 3 2 t 2 2 t 2 t1 3 1 3 1 3 2 3 2.(2020安徽蚌埠三模,8)
41、开学后,某学校食堂为了减少师生就餐排队时间,特推出即点即取的米饭 套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种, 米饭套餐的价格是每份15元,面食套餐的价格是每份10元,如果小明当天选择了某种套餐,他第二 天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的 概率为pn,给出以下论述: 小明同学第二天一定选择面食套餐;p3=0.68; pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n2,nN); 前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n+-. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 25 2 25 16 25
42、 16 3 - 5 n 答案答案 D 在中,第1天小明选择了米饭套餐,则小明第二天有80%的可能选择面食套餐,故错 误; 在中,第1天小明选择了米饭套餐,p3=0.80.8+0.20.2=0.68,故正确; 在中,小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天 小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为pn,pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n2,nN),故正 确; 在中,当n=1时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15=1+-. 当n=2时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为 15+150.2+100.8=2+-. 当n=3时,前n
43、天小明午餐花费的总费用的数学期望为 15+150.2+100.8+150.68+100.32=3+-.由此猜想前n天小明午餐花费的总费用 的数学期望为n+-,故正确.故选D. 25 2 25 16 25 16 1 3 - 5 25 2 25 16 25 16 2 3 - 5 25 2 25 16 25 16 3 3 - 5 25 2 25 16 25 16 3 - 5 n 思路分析思路分析 在中,小明同学第二天有80%的可能性选择面食套餐,故错误;在中,p3=0.80.8+ 0.20.2=0.68,故正确;在中,推导出pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n2,nN),故正确;分别求出
44、n=1,2,3 时,前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望,由此猜想前n天小明同学午餐花费的总费用的数 学期望为n+-,故正确. 25 2 25 16 25 16 3 - 5 n 二、解答题(共60分) 3.(2020安徽江南十校质量检测,19)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向 上得1分. (1)设抛掷4次的得分为X,求变量X的分布列和数学期望; (2)当游戏得分为n(nN*)时,游戏停止,记得n分的概率和为Qn,Q1=. 求Q2; 当nN*时,记An=Qn+1+Qn,Bn=Qn+1-Qn,证明:数列An为常数列,数列Bn为等比数列. 1 2 1 2 解析解析 (1)
45、变量X的所有可能取值为4,5,6,7,8, 由于每次抛掷一次硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率也为,所以P(X=4)=,P(X= 5)=,P(X=6)=,P(X=7)=,P(X=8)=.(4 分) 所以变量X的分布列为 故变量X的数学期望为E(X)=4+5+6+7+8=6.(6分) (2)得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,概率的和为Q2=+=.(8分) 证明:得n分分两种情况,第一种为得(n-2)分后抛掷一次正面向上,第二种为得(n-1)分后抛掷一次 反面向上,故有当n3且nN*时,Qn=Qn-1+Qn-2. An+1=Qn+2+Qn+1=Qn+1+Qn+Qn+1=Qn+1+Qn
46、=An, X 4 5 6 7 8 P 1 2 1 2 4 1 2 1 16 1 4 C 1 2 3 1 2 1 4 2 4 C 2 1 2 2 1 2 3 8 3 4 C 3 1 2 1 2 1 4 4 4 C 4 1 2 1 16 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 2 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 故数列An为常数列;(10分) 因为Bn+1=Qn+2-Qn+1=Qn+1+Qn-Qn+1=-Qn+1+Qn=-(Qn+1-Qn)=-Bn,又B1=Q2-Q1=-=, 故数列Bn为等比数列.(1
47、2分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 1 4 解题关键解题关键 第(2)问中找到递推关系式是解题的关键. 4.(2020安徽池州模拟,20)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示, 成绩分组区间为80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150,其中a,b,c成等 差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明:数学满分150分,物理满分100分) 分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 6 9 20 10 5 (1)根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分; (2)根据物理成绩统计表,请估计物理成绩的中位数; (3)若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的
