1、考点考点1 1 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理 1.(2020课标,11,5分)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=( ) A. B.2 C.4 D.8 2 3 5555 答案答案 C 解法一:由余弦定理及cos C=,AC=4,BC=3,知AB=3,于是cos B=0,所以sin B =,所以tan B=4,故选C. 解法二:作BDAC于D,由cos C=,BC=3,知CD=2,即D为边AC的中点,所以三角形ABC是等腰三角 形,且BD=, 于是tan=,故tan B=4,故选C. 2 3 99-16 2 3 3 1 9 4 5 9 5 2 3 5 2 B2 5
2、 2 2 5 4 1- 5 5 2.(2018课标,7,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4 B. C. D.2 2 C5 5 230295 答案答案 A cos C=2cos2-1=2-1=-,BC=1,AC=5, AB= =4.故选A. 2 C1 5 3 5 22-2 cosBCACBC ACC 3 125-2 1 5- 5 2 3.(2016山东,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( ) A. B. C. D. 3 4 3 4 6 答案答案 C 在ABC中,由b=c,得cos A=,
3、又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A =1,又知A(0,),所以A=,故选C. 222 - 2 bc a bc 22 2 2- 2 b a b 4 4.(2019课标,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-, 则=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 1 4 b c 答案答案 A 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力; 考查的核心素养是数学运算与逻辑推理. 由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余
4、弦定理可得cos A=-.所以= 6.故选A. 222 - 2 bc a bc 2 -3 2 c bc 1 4 b c 5.(2017课标,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c =,则C=( ) A. B. C. D. 2 12 6 4 3 答案答案 B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式. 在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin As
5、in C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0, sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1, 即A=. 由=及已知得=,sin C=, 又0Cb,B=45,A=75. 3 sin60? 6 sinB 2 2 易错警示易错警示 本题求得sin B=后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75. 2 2 8.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B= ,c= . 7 答案答案 ;3 21 7 解析解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由=得sin B=sin A=
6、, 由a2=b2+c2-2bccos A结合已知得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). sin a Asin b B b a 21 7 9.(2016课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析 由cos C=,0C,得sin C=. 由cos A=,0A,得sin A=. 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=, 根据正弦定理得b=. 5 13 12 13 4 5 3 5 63 65 sin sin aB A
7、 21 13 10.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD= ,cosABD= . 答案答案 ; 12 2 5 7 2 10 解析解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长度和 角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 由正弦定理得=,则BD=, 在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD=
8、 =. 4 5 sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 思路分析思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解. 解题反思解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提下,应 比较运算量大小,从而选取比较简洁的解法. 11.(2017课标,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 答案答案 60 解析解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Aco
9、s C+sin C cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(1 80-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以 cos B=,又0B180,所以B=60. 222 - 2 ac b ac 222 - 2 ab c ab 222 - 2 bc a bc 222 -ac b ac 1 2 思路分析思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解. 12.(2020北京,17,13分)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a的值; (2)sin C和ABC的面积. 条件
10、:c=7,cos A=-; 条件:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分. 1 7 1 8 9 16 解析解析 若选条件: (1)a+b=11,b=11-a, 已知c=7,cos A=-, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2(11-a)7,解得a=8. (2)cos A=-,sin A=. =,sin C=. 又b=11-a=11-8=3, SABC=bcsin A=37=6. 1 7 1 - 7 1 7 2 1-cos A 4 3 7 sin a Asin c C sincA a 3 2 1 2 1 2 4
11、3 7 3 若选条件: (1)cos A=,sin A=. cos B=,sin B=. 由正弦定理=,得=,5a=6b, 1 8 2 1-cos A 3 7 8 9 16 2 1-cos B 5 7 16 sin a Asin b B 3 7 8 a 5 7 16 b 又a+b=11,a=6. (2)由(1)可得b=11-a=5. sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=, SABC=absin C=65=. 3 7 8 9 16 1 8 5 7 16 7 4 1 2 1 2 7 4 15 7 4 13.(2020天津,16,14分)
12、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=. (1)求角C的大小; (2)求sin A的值; (3)求sin的值. 213 2 4 A 解析解析 (1)在ABC中,由余弦定理及a=2,b=5,c=,有cos C=.又因为C(0,),所 以C=. (2)在ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sin A=. (3)由ac及sin A=,可得cos A=,进而sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1= .所以, sin=sin 2Acos +cos 2Asin=+=. 213 222 - 2 ab c ab 2 2 4 4 21
13、3 sinaC c 2 13 13 2 13 13 2 1-sin A 3 13 13 12 13 5 13 2 4 A 4 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 14.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值. 1 2 解析解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及已知, 得b2=32+c2-23c. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-得sin B=. 由正弦定理得sin A=sin B=. 在AB
14、C中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sin A=. 1 - 2 1 - 2 1 2 3 2 a b 3 3 14 3 3 14 15.(2019天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin的值. 2 6 B 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以 及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视. (1)在ABC中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4a
15、sin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a,所以b=a. 又因为b+c=2a,所以c=a. 由余弦定理可得cos B=-. (2)由(1)可得sin B=, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-, 故sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-=-. 4 3 2 3 222 - 2 ac b ac 222 416 - 99 2 2 3 aaa aa 1 4 2 1-cos B 15 4 15 8 7 8 2 6 B 6 6 15 8 3 2 7 8 1 2 3 57 16 思路分析思路分析 (1)由已知边角关系:3csin
16、 B=4asin C利用正弦定理及b+c=2a得三边比例关系,根据余弦 定理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两角和 的正弦公式即可求出sin的值. 2 6 B 16.(2018天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos. (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. - 6 B 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运
17、算求解能力. (1)在ABC中,由正弦定理=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos ,即sin B=cos,可得tan B=.又因为B(0,),所以B=. (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=. 由bsin A=acos,可得sin A=. 因为ac,故cos A=. 因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=. 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=-=. sin a Asin b B - 6 B - 6 B -
18、 6 B 3 3 3 7 - 6 B 3 7 2 7 4 3 7 1 7 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 解题关键解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键. - 6 B 1.(2016课标,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( ) A. B. C.2 D.3 5 2 3 23 以下为教师用书专用 答案答案 D 由余弦定理得5=22+b2-22bcos A, cos A=,3b2-8b-3=0, b=3.
19、故选D. 2 3 1 - 3 b 舍去 2.(2019上海春,8,5分)在ABC中,AC=3,3sin A=2sin B,且cos C=,则AB= . 1 4 答案答案 10 解析解析 由正弦定理可知=,又3sin A=2sin B,AC=3, BC=AC=2. 由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC BCcos C=9+4-232=10, AB=. sin AC Bsin BC A sin sin ACA B 2 3 1 4 10 3.(2016北京,13,5分)在ABC中,A=,a=c,则= . 2 3 3 b c 答案答案 1 解析解析 在ABC中,a2=b2+c2-2bc cos
20、 A, 将A=,a=c代入, 可得(c)2=b2+c2-2bc, 整理得2c2=b2+bc. c0,等式两边同时除以c2, 得2=+,即2=+. 令t=(t0),有2=t2+t,即t2+t-2=0, 解得t=1或t=-2(舍去), 故=1. 2 3 3 3 1 - 2 2 2 b c 2 bc c 2 b c b c b c b c 思路分析思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以为变元的方程求解. b c 4.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2- c2). (1)求co
21、s A的值; (2)求sin(2B-A)的值. 5 解析解析 (1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b. 由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理, 得cos A=-. (2)由(1),可得sin A=,代入asin A=4bsin B, 得sin B=. 由(1)知,A为钝角,所以cos B=. 于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=, 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-=-. sin a Asin b B 5 222 - 2 bc a bc 5 - 5 ac ac 5 5 2 5 5 sin 4 aA b
22、 5 5 2 1-sin B 2 5 5 4 5 3 5 4 5 5 - 5 3 5 2 5 5 2 5 5 规律总结规律总结 解有关三角形问题时应注意: (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合还是两个定理都要用,要抓住能 够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果 式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,要考虑到两个定理 都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围. 5.(2016四川,18,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)
23、证明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. cos A a cosB b sinC c 6 5 解析解析 (1)证明:根据正弦定理, 可设=k(k0). 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在ABC中,由A+B+C=,得sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C. (2)由已知b2+c2-a2=bc, 根据余弦定理的推论,有cos A=. 所以sin A=. 由(1)知,
24、sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4. sin a Asin b Bsin c C cos A a cosB b sinC c cos sin A kA cos sin B kB sin sin C kC 6 5 222 - 2 bc a bc 3 5 2 1-cos A 4 5 4 5 4 5 3 5 sin cos B B 解后反思解后反思 通过本题发现:在等式中既有边长又有角的正、余弦时,往往想到应用正弦定理;出现 含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理. 6.(2015课标,17,12
25、分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. (1)求; (2)若BAC=60,求B. sin sin B C 解析解析 (1)由正弦定理得 =,=. 因为AD平分BAC,BD=2DC, 所以=. (2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60, 所以sinC=sin(BAC+B)=cosB+sinB. 由(1)知2sinB=sinC, 所以tanB=,即B=30. sin AD Bsin BD BADsin AD Csin DC CAD sin sin B C DC BD 1 2 3 2 1 2 3 3 考点考点2 2 解三角形及其综合应用解三角形及其综合应用 1.(20
26、18课标,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C= ( ) A. B. C. D. 222 - 4 ab c 2 3 4 6 答案答案 C 本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absin C,所 以tan C=1,因为C(0,),所以C=.故选C. 222 - 4 ab c2cos 4 abC1 2 4 2.(2016课标,9,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( ) A. B. C.- D.- 4 1 3 3 10 10 10 10 1
27、0 10 3 10 10 答案答案 C 解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=-, 故选C. 1 3 2 3 2 3 5 3 222 - 2 ABACBC AB AC 222 25 - 99 25 2 33 BCBCBC BCBC 10 10 解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC,sin DAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDAC cos-sin DAC sin=-=-,故选C. 解法三:
28、过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 1 3 2 3 5 3 2 5 5 5 5 4 4 DAC 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 1 3 2 3 2 3 5 3 AB =(+) (+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cosBAC= =-,故选C. 解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA 所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),=(2a,-a), 所以|=a,|=
29、a,所以cosBAC=-,故选C. ACADDBADDC 2 ADADDCADDBDBDC 1 9 2 9 1 9 | AB AC AB AC 2 1 - 9 25 33 BC BCBC 10 10 ABAC AB2AC5 | AB AC AB AC 22 -2 25 aa aa 10 10 3.(2020新高考,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔 及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形 DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE
30、和EF的 距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 3 5 答案答案 4+ 5 2 解析解析 如图,连接OA,过点A分别作AQDE,AKEF,垂足为Q,K,设AK与BH,DG分别交于点M,N,作 OPDG于点P,则AQ=AK=7 cm,DN=7 cm,DG=EF=12 cm,NG=5 cm,NK=DE=2 cm,AN= 5 cm,ANG为等腰直角三角形,GAN=45,OAG=90,OAM=45, 设AM=OM=x cm,则PN=x cm,DP=(7-x)cm,tanODG=,OP=cm,AM+MN+NK=7 cm,即x+(7-x)+2=7,解得x=2,OA=2 c
31、m,S阴影=(2)2+(2)2-=3+4-= cm2. 3 5 3 (7- ) 5 x 3 5 22 3 8 2 1 2 2 1 2 2 5 4 2 4.(2020新高考,17,10分)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问 题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=, ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 33 3 6 解析解析 方案一:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=
32、,由此可得b=c. 由ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 33 方案二:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=, 由此可得b=c,B=C=,A=. 由csin A=3,所以c=b=2,a=6. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2. 方案三:选条件. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 6 2 3 3 3 由C=和余弦定理得=. 由sin
33、 A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由c=b,与b=c矛盾. 因此,选条件时问题中的三角形不存在. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 3 5.(2018课标,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2 -a2=8,则ABC的面积为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin A sin Bsin C,易知sin Bsin C0,sin A=,又b 2+c2-a2=8,co
34、s A= =,cos A0,cos A=,即=,bc=, ABC的面积S=bcsin A=. 1 2 222 - 2 bc a bc 4 bc 3 2 4 bc 3 2 8 3 3 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 6.(2018北京,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B= ;的取值范围 是 . 3 4 c a 答案答案 ;(2,+) 3 解析解析 本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=2accos B, 则tan B=,0B, 又A0,0A, 则0tan A,故+=2.故的取值
35、范围为(2,+). 1 2 3 4 3 4 3 3 c a sin sin C A 2 sin- 3 sin A A 1 2 3cos 2sin A A 1 2 3 2 1 tan A 2 3 2 6 3 3 1 tan A 3 c a 1 2 3 2 3 c a 7.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值 计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界 一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= . 答案答案 3 3 2 解析解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6
36、=611sin 60=. 1 2 3 3 2 8.(2016天津,13,5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长 为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 连接AC,BC.由题可得DBA=DEB=AEC=ACE,所以AC=AE=1.在RtACB中,ACB =90,AC=1,AB=3,则cos A=.在ACE中,由余弦定理易得CE=. 1 3 22 1 11 -2 1 1 3 2 3 3 9.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= .
37、答案答案 ; 15 2 10 4 解析解析 AB=AC=4,BC=2, cosABC=, ABC为三角形的内角, sinABC=, sinCBD=,故SCBD=22=. BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=, 2cos2BDC-1=,得cos2BDC=, 又BDC为锐角,cosBDC=. 222 - 2 ABBCAC AB BC 1 4 15 4 15 4 1 2 15 4 15 2 1 4 1 4 5 8 10 4 10.(2020浙江,18,14分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-a=0. (1)求角B的大小; (2)求cos A+c
38、os B+cos C的取值范围. 3 解析解析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查数学运算等素养. (1)由正弦定理得2sin Bsin A=sin A,故sin B=, 由题意得B=. (2)由A+B+C=得C=-A, 由ABC是锐角三角形得A. 由cos C=cos=-cos A+sin A得cos A+cos B+cos C=sin A+cos A+=sin+ ,.故cos A+cos B+cos C的取值范围是. 3 3 2 3 2 3 , 6 2 2 - 3 A 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 6 A 1 2 31 2 3 2 31 3 , 22 11
39、.(2020课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150. (1)若a=c,b=2,求ABC的面积; (2)若sin A+sin C=,求C. 37 3 2 2 解析解析 (1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2c2cos 150. 解得c1=-2(舍去),c2=2,从而a=2. ABC的面积为22sin 150=. (2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+sin C=sin(30-C)+sin C=sin(30+C).故sin(30+ C)=. 而0C30,所以30+C=45,故C=15. 3 3 1 2 33 33 2 2
40、12.(2020课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=. (1)求A; (2)若b-c=a,证明:ABC是直角三角形. 2 A 5 4 3 3 解析解析 (1)由已知得sin2A+cos A=,即cos2A-cos A+=0. 所以=0,cos A=.由于0A,故A=. (2)由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=sin A. 由(1)知B+C=,所以sin B-sin=sin. 即sin B-cos B=,sin=. 由于0B0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=. 因此sin=cos B=. 2 2 3 222
41、- 2 ac b ac 2 3 222 (3 )-( 2) 2 3 cc cc 1 3 3 3 sin A a cos 2 B b sin a Asin b B cos 2 B b sinB b 4 5 2 5 5 2 B 2 5 5 14.(2019课标理,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 2 AC 解析解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情 况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素
42、养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin=sin B. 由A+B+C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos0,故sin=,因此B=60. 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B1 2 (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a. 由正弦定理得a=+. 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2, 从而SABC0, c26,c=3,则SABC=bcsin A= . 1 2 1 2 , 2 1 2 1 2 3 2
43、 25-19 2 5 c c 1 2 2 19-25 219 c c 1 2 15 4 3 16.(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a. ABAC 解析解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形. 因为=-6,所以bccos A=-6, 又SABC=3,所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0A0,则B, 又A(0,),所以-A-B0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan B tan C =, 令tan Btan C-1=t,则t0,tan At
44、an Btan C=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8. tantan tantan-1 BC BC tantan tantan-1 BC BC 2 2(tantan) tantan-1 BC BC 2 2(1)t t 1 2t t 1 t 方法总结方法总结 三角求值问题中,角的变换是重点,也是探求解题途径的切入点,把已知条件sin A=2sin Bsin C转化为sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,进而得到tan B+tan C=2tan Btan C,再把tan A用tan
45、B、tan C表示出来,从而将tan Atan Btan C用含tan B、tan C的式子表示出来,这是解题的关键. 2.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=. (1)求AB的长; (2)求cos的值. 4 5 4 - 6 A 解析解析 (1)因为cos B=,0B, 所以sin B=. 由正弦定理知=,所以AB=5. (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B sin , 又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-. 因为0A,所以sin A=. 因此,cos
46、=cos Acos+sin Asin=-+=. 4 5 2 1-cos B 2 4 1- 5 3 5 sin AC Bsin AB C sin sin ACC B 2 6 2 3 5 2 4 B 4 4 4 5 3 5 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 2 1-cos A 7 2 10 - 6 A 6 6 2 10 3 2 7 2 10 1 2 7 2- 6 20 3.(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 3 1 3 解析解析 (1)在ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B= bsin A=asin B,又sin B0,所以cos B=,得B=. (2)由cos A=,可得sin A=, 则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin =sin A+cos A=. sin a Asin b B 33 3 3 2 6 1 3 2 2 3 6 A 3 2 1 2 2 61 6 思路分析思路分析 (1)利用正弦定理与二倍角的正弦公式将原式转化为关于角B的三角函数式进行求解; (2)利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式求sin C的值. 4.(2015课标,17
