1、考点考点1 1 极坐标方程极坐标方程 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t1),C与 坐标轴交于A,B两点. (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程. 2 2 2- - , 2-3 xt t ytt 解析解析 (1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交 点为(-4,0).故|AB|=4. (2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为+=1,将x=cos ,y=sin 代入,得直线AB的极坐标方 程为3c
2、os -sin +12=0. 10 -4 x 12 y 2.(2020江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知点A在直线l:cos =2上,点B在圆C:=4sin 上(其中0,02). (1)求1,2的值; (2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标. 1 , 3 2 , 6 解析解析 (1)由1cos =2,得1=4;2=4sin =2, 又(0,0)也在圆C上,因此2=2或0. (2)由得4sin cos =2,所以sin 2=1. 因为0,00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4, 0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当0=时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段O
3、M上时,求P点轨迹的极坐标方程. 3 解析解析 (1)因为M(0,0)在C上,所以当0=时,0=4sin=2. 由已知得|OP|=|OA|cos=2. 设Q(,)为l上除P的任意一点. 在RtOPQ中,cos=|OP|=2. 经检验,点P在曲线cos=2上. 所以,l的极坐标方程为cos=2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos . 因为P在线段OM上,且APOM, 故的取值范围是. 所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,. 3 3 3 3 - 3 2, 3 - 3 - 3 , 4 2 , 4 2 一题多解一题多解 (1)因为点M(0,0
4、)在曲线C:=4sin 上, 所以当0=时,0=4sin=4=2,所以M. 因为且2=4sin , 所以曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4y, 将M的极坐标化为直角坐标可得M(,3), 所以OM:y=x, 因为OM与l垂直, 所以l的斜率为-, 因为l过点A(4,0),所以l:y=-(x-4), 所以l的极坐标方程为cos +sin =4, 即l:sin=2. (2)由(1)知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y,设点M的直角坐标为(x0,y0), 所以OM:y=(x-x0)+y0=x, 3 3 3 2 3 2 3, 3 222, sin , xy y 2 3, 3 3 3 3 3 3
5、3 3 6 0 0 y x 0 0 y x 因为OM与l垂直, 所以l:y=-(x-4), 联立OM与l的直线方程,可得 P, 因为+=4y0, 所以P, 令P(a,b),则 所以 由+=4y0,得a2+b2=4a, 即P点轨迹的直角坐标方程为x2+y2=4x, 所以P点轨迹的极坐标方程为=4cos , 因为P点在线段OM上,所以. 0 0 x y 2 000 2222 0000 44 , xx y xyxy 2 0 x 2 0 y 2 0 0 0 , x x y 2 0 0 0 , . x a y bx 2 0 0 , . b y a xb 2 0 x 2 0 y , 4 2 5.(2017
6、课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM| |OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值. 2, 3 解析解析 本题考查极坐标方程及其应用. (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=. 由|OM| |OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的
7、极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos , 于是OAB的面积S=|OA| B sinAOB =4cos =22+. 当=-时,S取得最大值2+. 所以OAB面积的最大值为2+. 4 cos 1 2 sin- 3 3 sin 2 - 32 3 12 3 3 6.(2019课标,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所 在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧. (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标. 2, 4 3
8、 2, 4 AB BC CD 1, 2 AB BC CD 3 解析解析 (1)由题设可得,弧, , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐标方 程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0,则2cos =,解得=; 若,则2sin =,解得=或=; 若,则-2cos =,解得=. 综上,P的极坐标为或或或. AB BC CD 0 4 3 44 3 4 4 3 6 4 3 4 3 3 2 3 3 4 3 5 6 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 7.(20
9、18课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解析解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公
10、共点且l2与C2有两个公 共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 2 |-2| 1 k k 4 3 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k=时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2. 4 3 2 |2| 1 k k 4 3 4 3 4 3 方法技巧方法技巧 极坐
11、标方程与直角坐标方程互化的技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式, 然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧用两角和、差公式转化成sin()或cos()的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方 程. (3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程. 1.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin=2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l 被曲线C截得的弦长. - 6 以下为教师用书专用 解析解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲
12、线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为 sin=2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为, 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. - 6 6 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB=. 连接OB,因为OA为直径,所以OBA=, 所以AB=4cos=2. 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2. 6 2 6 3 3 一题多解一题多解 把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x- 2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离
13、d=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2=2. 3 2 2 22 -R d3 2.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数 方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-=0,M为l3与C的交点, 求M的极径. 2,xt ykt -2,xm m y k 2 解析解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设
14、得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以 坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. cos , 1sin xat yat 解析解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1
15、的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分) 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分) 22 -2 sin1-0, 4cos . a 易错警示易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因. 4.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x
16、-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积. 4 解析解析 (1)因为x=cos ,y=sin , 所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分) (2)将=代入2-2cos -4sin +4=0, 得2-3+4=0, 解得1=2,2=. 故1-2=, 即|MN|=. 由于C2的半径为1, 所以C2MN的面积为.(10分) 4 2 22 2 2 1 2 5.(2011课标,23,10分
17、)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的 动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异 于极点的交点为B,求|AB|. 2cos , 22sin x y OPOM 3 解析解析 (1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即 从而C2的参数方程为(为参数). (2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin . 射线=与C1的交点A的极径为1=4sin,射线=与C2的交点B的极径为2=8sin. 所以|AB|=
18、|2-1|=2. , 2 2 x y 2cos , 2 22sin . 2 x y 4cos , 44sin . x y 4cos , 44sin x y 3 3 3 3 3 评析评析 本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题. 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0. (1)当k=1时,C1是什么曲线? (2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标. cos , sin k k xt yt 考点考点2 2 参数
19、方程参数方程 解析解析 (1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆. (2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为+=1. C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0. 由解得 故C1与C2的公共点的直角坐标为. cos , sin , xt yt 4 4 cos , sin , xt yt xy 1, 4 -1630 xy xy 1 , 4 1 . 4 x y 1 1 , 4 4 2.(2020课标,22,10分)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(为参数),C2:(t为 参数). (1)将C1,C2的参数方程化为普通方程; (2
20、)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过 极点和P的圆的极坐标方程. 2 2 4cos, 4sin x y 1, 1 - xt t yt t 解析解析 (1)C1的普通方程为x+y=4(0 x4). 由C2的参数方程得x2=t2+2,y2=t2+-2, 所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4. (2)由得所以P的直角坐标为. 设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0), 由题意得=+,解得x0=. 因此,所求圆的极坐标方程为=cos . 2 1 t 2 1 t 22 4, -4 xy x y 5 , 2 3 , 2 x y 5
21、3 , 2 2 2 0 x 2 0 5 - 2 x 9 4 17 10 17 5 3.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参 数方程为(t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 2cos , 4sin x y 1cos , 2sin xt yt 解析解析 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3c
22、os2)t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2. 编者注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适. 2 4 x 2 16 y 2 4(2cossin ) 1 3cos 4.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆 C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,
23、B两点,求线段AB的长. 1 1, 2 3 2 xt yt cos , 2sin x y 解析解析 椭圆C的普通方程为x2+=1. 将直线l的参数方程代入x2+=1,得 +=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=. 2 4 y 1 1, 2 3 2 xt yt 2 4 y 2 1 1 2 t 2 3 2 4 t 16 7 16 7 5.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参 数方程为(t为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a. 3cos , sin
24、 x y 4 , 1- xat yt 17 解析解析 (1)曲线C的普通方程为+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),. 2 9 x 2 2 4 -30, 1 9 xy x y 3, 0 x y 21 -, 25 24 . 25 x y 21 24 -, 25 25 (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=. 当a-4时,d的最大值为, 由题设得=, 所以a=8; 当a-4时,d的最大值为, |3cos4sin - -4| 17 a 9 17 a 9 17 a 17
25、-1 17 a 由题设得=,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16. -1 17 a 17 方法总结方法总结 参数方程转化为普通方程 消去参数.若参数为“”,一般利用sin2+cos2=1消去,若参数为“t”,一般直接代入消参即可. 6.(2019课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +sin +11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 2 2 2 1- , 1 4 1 t x t t y t 3 解析解析 本题考查了参数方程与普通方
26、程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,通过整体运 算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算能力和转化的思想方法,核心素养体现了数学运 算. (1)因为-11,且x2+=+=1, 所以C的直角坐标方程为x2+=1(x-1). l的直角坐标方程为2x+y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,-).C上的点到l的距离为 =. 当=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为. 编者注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适. 2 2 1-
27、1 t t 2 2 y 2 2 2 1- 1 t t 2 22 4 (1) t t 2 4 y 3 cos , 2sin x y |2cos2 3sin11| 7 4cos-11 3 7 2 3 - 3 7 1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线 C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值. -8, 2 xt t y 2 2, 2 2 xs ys 以下为教师用书专用 解析解析 解法一:直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,所以设P(2s2,2s), 从而点P到直线l的距离d=
28、. 当s=时,dmin=. 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值. 解法二:直线l的普通方程为x-2y+8=0,曲线C是抛物线,方程为y2=4x. 因为直线l与抛物线C不相交. 2 2 22 |2-4 28| 1(-2) ss 2 2( - 2)4 5 s 2 4 5 5 4 5 5 则C上点P到直线l的最短距离即为直线l到与l平行的抛物线C的切线l1的距离,设l1的方程为x-2y+t= 0(t8). 由消去x,得y2-8y+4t=0.由=(-8)2-414t=0,解得t=4,此时切点为(4,4). 因此直线l到直线l1的距离d=, 故曲线C上的动点P到直线l的
29、距离的最最小值为. 2 -20, 4 xyt yx 4 5 4 5 5 复习建议复习建议 (1)在理解不同坐标系以及参数方程的基础上,深刻理解它们之间的转换关系,会根据 问题的需要选择合适的方程形式进行求解. (2)理解参数方程的含义,以及参数方程中参数的几何意义,掌握一些常用的消参方法,能熟练地将 参数方程问题通过消参转化为普通方程来解决,会运用参数方程解决一些简单问题. (3)在解题过程中要注意表达规范,计算准确. 2.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原 点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2
30、. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 3cos , sin x y 4 2 解析解析 (1)C1的普通方程为+y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距 离d()的最小值,d()=.(8分) 当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分) 2 3 x 3 | 3cossin -4| 2 2 sin-2 3 6 2 3 1 , 2 2 解后反思
31、解后反思 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程将问题转化为三角函 数的最值问题,能极大地提高解题效率. 3.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率. cos , sin xt yt 10 解析解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R). 设A,B所对
32、应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.(6分) 于是1+2=-12cos ,12=11. |AB|=|1-2|=.(8分) 由|AB|=得cos2=,tan =. 所以l的斜率为或-.(10分) 2 1212 () -4 2 144cos-44 10 3 8 15 3 15 3 15 3 4.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin . (1)写出C的直角坐标方程; (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标
33、. 1 3, 2 3 2 xt yt 3 解析解析 (1)由=2sin ,得 2=2sin ,从而有x2+y2=2y, 所以x2+(y-)2=3. (2)设P,又C(0,), 则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0). 3 33 3 13 3, 22 tt 3 2 2 13 3- 3 22 tt 2 12t 5.(2014课标,23,10分)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 2 4 x 2 9 y2, 2-
34、2 xt yt 解析解析 (1)曲线C的参数方程为(为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离d=|4cos +3sin -6|,则|PA|=|5sin(+ )-6|,其中为锐角,且tan =. 当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 2cos , 3sin x y 5 5sin30? d2 5 5 4 3 22 5 5 2 5 5 6.(2014课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆C的极坐标方程为
35、=2cos ,. (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标. 0, 2 3 解析解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为(t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=. 故D的直角坐标为,即. 1cos , sin xt yt 3 3 1cos,sin 33 33 , 22 7.(2013课标,23,10分)已知动点P,
36、Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2 (02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 2cos , 2sin xt yt 解析解析 (1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2). M的轨迹的参数方程为(为参数,02). (2)M点到坐标原点的距离d=(00).(10分) 12 -, 22 32 22 xt yt 4 , 4 2.(2020贵州高考数学4月模拟,22)如图,在以O为极点,Ox轴为极轴的极坐标系
37、中,曲线C1,C2,C3的方 程分别为=4sin ,=4sin,=4sin. (1)若C1,C2相交于异于极点的点M,求点M的极坐标(0,00,00). 分别与曲线C1,C2联立,可得 |AB|=3.(10分) OQOP 4 x 4 y cos , 1sin , P P x y 4cos , 44sin x y cos , 1 sin x y 4cos , 44sin x y 3 3 3 , 2 3 , 2 x y 2 3, 6, x y 2 2 33 2 3-6- 22 3 2.(2020安徽滁州定远重点中学4月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(为 参数),在以原点O为极点
38、,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos =-1. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积. 3cos , sin x y 2 2 4 解析解析 本题考查三种方程的互化,参数方程的运用及参数的几何意义,考查逻辑推理、数学运算的 核心素养. (1)曲线C:(为参数),化为普通方程为+y2=1. 由cos=-1,得cos -sin =-2, 直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(5分) (2)直线l1的参数方程为(t为参数),代入+y2=1中,化简得2t2-t-2=
39、0,t1t2=-1,|MA| | MB|=|t1t2|=1.(10分) 3cos , sin x y 2 3 x 2 2 4 2 -1, 2 2 2 xt yt 2 3 x 2 3.(2020内蒙古赤峰4月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数), 以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2=. (1)若a=-2,求曲线C与l的交点坐标; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线,交l于点A,且|PA|的最大值为,求a的值. 2 , - xat yt 2 12 3sin 10 解析解析 本题考查方程互化,点到直线的距离公式,三角
40、恒等变换等,考查数学运算、逻辑推理的核 心素养. (1)曲线C的极坐标方程为2=,整理得32+2sin2=12,转换为直角坐标方程为+=1.(2 分) 当a=-2时,直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程为x+2y+2=0.(4分) 联立解得或所以交点坐标为(-2,0)和.(5分) (2)l的直角坐标方程为x+2y-a=0, 故曲线C上任意一点P(2cos ,sin )到直线的距离d=,(7分) 则|PA|=d=, 当a0时,|PA|的最大值为=,解得a=1.(9分) 当a0, 当x3时,曲线C的方程为y=kx-3k,即kx-y-3k=0, 则圆心(3,6)到直线的距离d=1,由于
41、k0,所以k1,即k的取值范围是 (1,+).(10分) 27 2 2 |3 -6-3 | 1 kk k 2 6 1k 2 2.(2020安徽安庆二模,22)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为-4sin =0,直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M(0,1),且|MA|MB|,求-的值. 1 , 2 3 1 2 xt yt 1 |MA 1 |MB 解析解析 本题考查极坐标方程,参数方程的应用,考查转化思想,考查数学运算
42、、逻辑推理的核心素 养. (1)由直线l的参数方程消去参数t,得直线l的普通方程为y=x+1,(2分) 将cos =x,sin =y代入-4sin =0, 得曲线C的普通方程为x2+y2-4y=0.(5分) (2)设A,B对应的参数为t1,t2,将代入x2+y2-4y=0, 得t2-t-3=0,所以t1t2=-3,t1+t2=.(7分) 由于直线l过M(0,1),且|MA|MB|, 所以t10,t20,20), 则1=,2=2sin , 所以=sin (sin +cos ) =sin+, 又0, 所以2-, 所以当2-=, 即=时,取得最大值. 4 sincos | | ON OM 2 1 1
43、 2 2 4 2 - 4 1 4 2 4 3 -, 44 4 2 3 8 | | ON OM 21 4 8.(2019河南六市第二次联考,22)在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x. (1)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,且|AB|=4,求l的倾斜角. 2cos , sin xt yt 6 解析解析 (1)把代入y2=4x, 得sin2-4cos =0.(4分) (2)把直线l的参数方程代入抛物线方程得t2sin2-4cos t-8=0,设点A,B对应的参数是t1,t2, 则|AB|=|t1-t2|=4,(8分) sin =, =或=.(10分) cos , sin x y 12 2 1 2 2 4cos , sin -8 , sin tt t t 2 2 16 16sin sin 6 2 2 4 3 4
