1、考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 1.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( ) A.(-,4 B.4,+) C.5,+) D.(-,+) -310, -30, xy xy 答案答案 B 由约束条件画出可行域如图. 易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是4,+).故选B. 2.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 -20, -20, -1, -1, xy x y x y 答案答案 C 本题主要考查简单的线性规划.通过
2、求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能 力,体现了数形结合的素养要素. 作出可行域(如图中阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值. 由得P(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C. -20, -1 x y x 3.(2019浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( ) A.-1 B.1 C.10 D.12 -340, 3 - -40, 0, xy x y xy 答案答案 C 本题考查简单的线性规划问题,考查学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养. 根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示
3、),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0可知, 当l0经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=32+22=10,故选C. 一题多解一题多解 根据线性约束条件得出平面区域为ABC及其内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1,-1), C(2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.故选C. 4.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( ) A.6 B.19 C.21 D.45 5, 2 -4, -1, 0, xy x y xy y 答案答案 C 本题主要考查线性目标函数最值的求解. 由变量x,y满足的约束条件画出可
4、行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=32+53=21,故选C. 方法总结方法总结 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是 实线还是虚线);(2)找到目标函数最优解对应的点(在可行域内平移目标函数对应的直线,最先通过 或最后通过的顶点就是最优解对应的点);(3)将最优解所对应的点的坐标代入目标函数求出最值. 5.(2017课标,7,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 23 -30, 2 -330, 30,
5、 xy xy y 答案答案 A 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由得点A的坐标为(-6,-3). zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A. 2 -330, 30, xy y 6.(2017课标,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( ) A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3 32 -60, 0, 0, xy x y 答案答案 B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0). 由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分
6、别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2, 故z=x-y的取值范围是-3,2.故选B. 7.(2020课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 . 2-20, - -10, 10, xy x y y 答案答案 1 解析解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-+,易知当直线y=-+经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax =1+70=1. 7 x 7 z 7 x 7 z 8.(2020课标,15,5分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是 . -1, -1, 2 -1, xy x y x y 答案答案 8 解析解析 作出约束条件表示
7、的可行域,如图所示.由图可知直线z=x+2y过点A(2,3)时,z取得最大值,最 大值为2+23=8. 9.(2020课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 0, 2 -0, 1, xy x y x 答案答案 7 解析解析 如图所示,x,y满足的可行域为AOB及其内部.当z=3x+2y过点A(1,2)时,z取得最大值,最大值 为31+22=7. 10.(2019课标,13,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是 . 23 -60, -30, -20, xy xy y 答案答案 9 解析解析 本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件
8、考查学生数形结合思想 及运算求解能力;考查数学运算的核心素养. 作出可行域(如图中阴影部分所示). 易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值, 从而z取得最大值.zmax=33-0=9. 11.(2019北京,10,5分)若x,y满足则y-x的最小值为 ,最大值为 . 2, -1, 4 -310, x y xy 答案答案 -3;1 解析解析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.核心素养体现了直观想象. 由线性约束条件画出可行域,如图中的ABC及其内部.易知A(-1,-1),B
9、(2,-1),C(2,3).设z=y-x,平移直 线y-x=0,当直线过点C时,zmax=3-2=1,当直线过点B时,zmin=-1-2=-3. 12.(2018课标,14,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . -2 -20, -10, 0, xy x y y 答案答案 6 解析解析 本题主要考查线性规划. 由x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z取得最大值,zmax=23+0=6. 13.(2016课标,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为 . 2 -10, -2 -10,
10、1, x y xy x 答案答案 -10 解析解析 作出可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数对应 的直线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10. 14.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是 . -240, 2-20, 3 - -30, xy xy x y 答案答案 4 ,13 5 解析解析 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分. 由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max =22+32=
11、13,(x2+y2)min=d2=,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为 . -240, 2-20, 3 - -30 xy xy x y 2 2 5 4 5 4 ,13 5 易错警示易错警示 本题目标函数的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方,在计算的过程中容易忘 记平方而致错. 15.(2016课标,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产 品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3 个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产
12、品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 答案答案 216 000 解析解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100 x+900y. 根据题意得即 作出可行域(如图中整点). 由得 当直线2 100 x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=2 10060+900100=216 000. 故所求的最大值为216 000元. 1.50.5150, 0.390, 53600, ,N, xy xy xy x y 3300, 103900
13、, 53600, ,N, xy xy xy x y 103900, 53600 xy xy 60, 100. x y 解后反思解后反思 本题是结合实际应用的线性规划问题,根据条件列出限制条件,即可画出可行域,根据 问题明确目标函数.线性规划的实质是把代数问题几何化,即利用数形结合的思想,需要注意的是: (1)准确无误地作出可行域;(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;(3)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 1.(2017北京理,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.9 3,
14、2, , x xy yx 以下为教师用书专用 答案答案 D 本题考查简单的线性规划. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示. 令z=x+2y, 当z=x+2y过A点时,z取最大值. 由得A(3,3), z的最大值为3+23=9.故选D. 3,x yx 2.(2017山东,3,5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 -250, 30, 2, xy x y 答案答案 D 本题考查简单的线性规划. 画出可行域如图: 作直线l0:y=-x. 经平移可得z=x+2y在点A处取得最大值,由 解得A(-1,2),所以zmax=-1+22=3.
15、故选D. 1 2 -250, 2 xy y 3.(2017浙江,4,4分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( ) A.0,6 B.0,4 C.6,+) D.4,+) 0, -30, -20, x xy xy 答案答案 D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法.不等式组形成的可行域如图所示. 平移直线y=-x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D. 1 2 易错警示易错警示 1.易把可行域看成是图中的三角形OAB区域,而错选A;亦或错认为过点A时,取到最大 值,而错选B. 2.可行域判断对了,但错认为过点B时,z有最小值,从而错选C. 4.(20
16、16北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为( ) A.-1 B.3 C.7 D.8 答案答案 C 点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图: 设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为24-1=7. 易错警示易错警示 由于没有真正理解z与截距的关系,从而误认为在点A处取得最大值. 5.(2016浙江,4,5分)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线 间的距离的最小值是( ) A. B. C. D. -30, 2 - -30, -230 xy x
17、 y xy 3 5 5 2 3 2 2 5 答案答案 B 作出可行域如图. 由得A(2,1),由得B(1,2). 斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小. 过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1,2)的直线l2:y=x+1, 此时两平行直线间的距离d=.故选B. 2 - -30, -30, x y xy -30, -230, xy xy 2 2 2 解后反思解后反思 本题把直线方程、直线交点及平行直线间的距离公式融入简单线性规划问题,颇有新 意.注意斜率为1的直线的相对位置关系. 6.(2016山东理,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ) A
18、.4 B.9 C.10 D.12 2, 2 -39, 0, xy xy x 答案答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示, x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最 大,所以x2+y2的最大值是10,故选C. 解题关键解题关键 解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.常 见的目标函数类型有:(1)截距型:形如z=ax+by.转化为y=-x+,利用直线在y轴上的截距大小确定 目标函数的最值,进而求出z的最值.(2)距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2.(3)斜率型:形如z=.本题属
19、于 距离型. a b z b - - y b x a 7.(2018课标理,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 . 2 -50, -230, -50, xy xy x 答案答案 9 解析解析 本题考查简单的线性规划. 由约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分), 由图可知,当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9. 8.(2018课标,15,5分)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是 . 230, -240, -20, xy xy x 1 3 答案答案 3 解析解析 本题考查简单的线性规划. 解法一:根据约束条件作出可行域,如图中
20、阴影部分所示. z=x+y可化为y=-3x+3z. 求z的最大值可转化为求直线y=-3x+3z纵截距的最大值, 显然当直线y=-3x+3z过A(2,3)时,纵截距最大, 故zmax=2+3=3. 解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域(包含边界),易求得顶点坐标分别为A(2, 3),C(2,-7),B(-2,1),将三点坐标代入z=x+y,可知zmax=2+3=3. 1 3 1 3 1 3 1 3 9.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 . -0, 26, 2, x y xy xy 答案答案 -2;8 解析解析 本题考查简单的线
21、性规划. 由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图. 当直线y=-x+过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8. 1 33 z 思路分析思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标. (2)平移直线y=-x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+3y取 得最大值. 1 3 10.(2018北京理,12,5分)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 . 答案答案 3 解析解析 本题主要考查简单的线性规划. 由x+1y2x作出可行域,如图中
22、阴影部分所示. 设z=2y-x,则y=x+z,当直线y=x+z过A(1,2)时,z取得最小值3. 1 2 1 2 1 2 1 2 方法总结方法总结 解决简单的线性规划问题的方法 先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而求得 最值. 11.(2016课标,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为 . -10, -30, -30, x y xy x 答案答案 -5 解析解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界). 当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-24=-5. 12.(2017天津,16,
23、13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次 播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、 乙两套连续剧的次数. (1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25
24、解析解析 本题主要考查用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力,以及抽象 概括能力和运算求解能力. (1)由已知,x,y满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1的阴影部分中的整点: 图1 (2)设总收视人次为z万, 7060600, 5530, 2 , ,N, xy xy xy x y 7660, 6, -20, ,N, xy xy xy x y 则目标函数为z=60 x+25y. 考虑z=60 x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴 上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2
25、可知,当直线z=60 x+25 y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大. 图2 解方程组得点M的坐标为(6,3). 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 12 525 z12 525 z 25 z 25 z 7660, -20, xy xy 方法技巧方法技巧 解线性规划应用题的步骤:(1)转化设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问 题转化为线性规划问题;(2)求解解这个纯数学的线性规划问题;(3)作答将数学问题的答 案还原为实际问题的答案. 13.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲 种
26、肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车 皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生 产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 解析解析 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1的阴影部分中的整点.
27、 图1 (2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y. 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截 距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域 45200, 85360, 310300, ,N, xy xy xy x y 2 33 z2 33 z 3 z 上的点M时,截距最大,即z最大. 图2 解方程组得点M的坐标为(20,24). 所以zmax=220+324=112. 答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元. 3 z 45200, 3
28、10300, xy xy 疑难突破疑难突破 解决有关线性规划实际问题的关键是找出两变量之间所满足的关系式,利用图解法进 行解答. 考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020河南郑州一模,6)若变量x,y满足约束条件则y-2x的最小值是( ) A.-1 B.-6 C.-10 D.-15 0, -0, 3-40, xy x y xy 答案答案 B 令z=y-2x,得y=2x+z, 作出变量x,y满足约束条件对应的可行域,平移直线y=2x+z, 由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值, 由解得A(2,-2
29、),将(2,-2)代入z=y-2x,得z=-2-22=-6,即z=y-2x的最小值为-6.故选B. 0, -0, 3-40 xy x y xy 0, 3-40 xy xy 2.(2020江西九江一模,4)已知实数x,y满足约束条件则z=x+3y的最大值为( ) A.4 B.2 C. D.0 2 -0, 22, 0, x y xy xy 14 5 答案答案 C 如图,作出可行域,当直线l:x+3y=0平移至经过点A时,z=x+3y取得最大值.故选C. 2 4 , 5 5 14 5 3.(2020安徽十校联盟,8)已知实数x,y满足若z=x+my(m0)的最大值为10,则m=( ) A.1 B.2
30、 C.3 D.4 2, 2, -10, xy x y 答案答案 B 由实数x,y满足作出可行域如图,联立解得A(2,4),化目标函数z=x+my 为y=-x+, 由图可知,当直线y=-x+过点A时,直线在y轴上的截距最大,z的最大值为10,即2+4m=10.解得m= 2.故选B. 2, 2, -10, xy x y 2, 2, x xy 1 m z m 1 m z m 4.(2019四川成都七中高三一诊,6)设实数x,y满足则的最大值是( ) A.-1 B. C.1 D. 2 -4, 22, -10, x y xy x 1y x 1 2 3 2 答案答案 D 由约束条件作出可行域,如图中阴影部
31、分所示, 联立解得A, 的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,-1)连线的斜率,设斜率为k,由图可知,kmax=kPA= . 2 -4, 22, -10 x y xy x -10, 2 -20, x xy 1 1, 2 1y x 1 1 2 1 3 2 5.(2019广西柳州高三模拟,9)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地,货运车有大型货车和小型货 车两种.已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元,而6台大型货车与3台小型货车的 运费之和多于24万元.则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较情况是( ) A.2台大型货车运费贵 B.3台小型货车运费贵 C.二者运费相同 D.无
32、法确定 答案答案 A 设大型货车每台运费x万元,小型货车每台运费y万元,依题意得该不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包括x轴上的边界). 设z=2x-3y, 解方程组 得C点坐标(3,2),则z=2x-3y过C(3,2)时,z取得最小值0, 又可行域不包括点C(3,2), z0,即2x3y,选A. 4522, 6324, 0, 0, xy xy x y 4522, 6324, xy xy 6.(2020江西鹰潭二模,15)平面区域的外接圆的方程是 . 32 -10, 4 -70, - -20 yx yx y x 答案答案 x2+y2-x-y-=0 11 5 9 5 12 5 解析
33、解析 本题把平面区域和圆的方程联系起来,考查学生对知识的综合应用能力,运算求解能力,以 及方程思想.考查的核心素养是直观想象、数学运算. 根据题意可知不等式组表示的平面区域为ABC,联立 可得A(-1,1),B(2,-1),C(1,3), 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 把A,B,C三点坐标代入得 解得D=-,E=-,F=-. 则所求圆的方程为x2+y2-x-y-=0. 32 -10, 4 -70, - -20 yx yx y x 32 -10, 4 -70 yx yx 2, -1; x y 32 -10, - -20 yx y x -1, 1; x y 4 -70, - -20
34、 yx y x 1, 3. x y 3100, 2 -50, -20, DEF D EF DEF 11 5 9 5 12 5 11 5 9 5 12 5 7.(2020山西大同云冈一模,15)若实数x,y满足不等式组则22x+y的最大值是 . , 4, 0, yx xy y 答案答案 256 解析解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分). 令z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z, 由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,其截距最大,此时z最大. 由解得即A(4,0),代入z=2x+y,得z=8.则22x+y的最大值是28=256. 0, 4, y xy 4, 0,
35、x y 思路分析思路分析 由题意作出平面区域,令z=2x+y,化为y=-2x+z,z相当于直线y=-2x+z的纵截距,由几何意 义可得z的最大值,进而求出结论. 8.(2019广西南宁三中高三月考,15)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的 值为 . 02, -20, -20 x xy kx y 答案答案 1 解析解析 作出可行域,如图中阴影部分所示,可知平面区域的面积是以PQ为底,高为2的三角形的面 积,又P(2,2k+2),故(2k+2)2=4,解得k=1. 1 2 9.(2019陕西咸阳模拟检测(一),14)若实数x,y满足且z=ax-y(aR)的最小值是-1,则a的取 值范围
36、是 . 2 -10, 0, 0, x y xy x 答案答案 (-,2 解析解析 画出可行域如图所示,目标函数对应的直线为y=ax-z,当截距-z最大时,目标函数z取得最小 值,因为z=ax-y(aR)的最小值是-1,所以在A(0,1)处取得最小值.由图象可知,直线y=ax-z的斜率a 2,因为当a2时,目标函数在B点取得最小值,所以a的取值范围是(-,2. 一、选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：40分钟 分值：40分) 1.(2020贵州黔东南州5月模拟,11)若圆C:x2+y2=m(m0)与图中阴影部分(含边界)表示的平面区域有 公共点,则m的取
37、值范围为( ) A. B.,5 C. D.2,25 2 ,5 2 2 1 ,25 2 答案答案 C 本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想,体现了直观想象、数学运算的核心素养. 当直线x+y=1与圆C相切时,m=;当圆C经过点A时,m=25,故m的取值范围为.故选C. 1 2 1 ,25 2 2.(2020安徽江南十校联盟,10)已知点A(1,1)和B,直线l:ax+by-7=0,若直线l与线段AB有公共 点,则a2+b2的最小值为( ) A.24 B. C.25 D. 7 7 , 6 9 49 2 324 13 答案答案 B 本题通过直线与线段有公共点,让学生自己构建线性约束条件,考查了学
38、生对线性规划 的应用能力;考查了数形结合的思想;培养了学生直观想象、数学运算的核心素养. 直线l与线段AB有公共点, (a+b-7)0, a+b-70,a+b-70或a+b-70,a+b-70, 画出可行域如图所示. 77 -7 69 ab 7 6 7 9 7 6 7 9 a2+b2表示点(a,b)到原点O的距离的平方.原点O到直线a+b-7=0的距离d1=.原点O到直线a+b- 7=0的距离d2=,又-=-=-0,a2+b2的最小值为.故选B. 7 2 7 6 7 9 18 13 2 1 d 2 2 d 49 2 324 13 11 26 49 2 思路分析思路分析 由直线l与线段AB有公共
39、点,可得(a+b-7)0,可得a+b-70,a+b-70, 或a+b-70,a+b-70,即可画出可行域.a2+b2表示点(a,b)到原点O的距离的平方.原点O到直线a +b-7=0的距离为d1,原点O到直线a+b-7=0的距离为d2,比较与,即可得出结果. 77 -7 69 ab 7 6 7 9 7 6 7 9 7 6 7 9 2 1 d 2 2 d 3.(2020四川成都二诊,11)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组 则的取值范围为( ) A. B.4,13 C.4,12 D. -10, 230, 1, x y xy y MEMF 9 ,
40、13 2 7 ,12 2 答案答案 D 设圆(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C,作出不等式组对应的可行域与圆,如图,可行域是图中的 阴影部分.连接MC,则=(+)2-(-)2=(2)2-=-1. 根据图形有:当M在A处(AC垂直于直线x-y+1=0)时,|MC|有最小值,此时|MC|=. 所以(-1)min=-1=. 当M在B处时,|MC|有最大值,由得B(-2,1),|CB|=,所以(-1)max= ()2-1=12,所以的取值范围为.故选D. MEMF 1 4 MEMFMEMF 1 4 MC 2 FE 2 MC |1-(-1)1| 2 3 2 2 MC 2 3 2 7 2 1, 23
41、0, y xy 22 (-2-1)(1 1)13 2 MC 13MEMF 7 ,12 2 解题关键解题关键 本题关键是对目标函数的化简如下: =(+)2-(-)2=(2)2-=-1.切记圆的问题用“心”处理. MEMF 1 4 MEMFMEMF 1 4 MC 2 FE 2 MC 4.(2019安徽马鞍山一模,5)已知实数x、y满足则x2+y2的最大值与最小值之和为( ) A.5 B. C.6 D.+ 1, 1, 1- , x yx yx 11 2 2 2 5 答案答案 B 作出不等式组表示的可行域如图, x2+y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方. 由图可知,O到直线x+y-1=0的
42、距离最小,为; 可行域内的点B与坐标原点的距离最大,为=. x2+y2的最大值与最小值之和为5+=.故选B. 1, 1, 1- x yx yx 1 2 22 215 1 2 11 2 5.(2018皖南八校4月联考,7)设x,y满足约束条件则z=|x+3y|的最大值为( ) A.15 B.13 C.3 D.2 -10, 2 -20, 4 - -80, x y xy x y 答案答案 A 画出约束条件所表示的可行域,如图所示, 设z1=x+3y,可化为y=-x+, 当直线y=-x+经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z1取得最大值; 当直线y=-x+经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z
43、1取得最小值, 由解得A(3,4),此时最大值为3+34=15; 由解得B(2,0),此时最小值为2+30=2, 所以z=|x+3y|的最大值为15,故选A. 1 3 1 3 z 1 3 1 3 z 1 3 1 3 z -10, 4 - -80 x y x y 2 -20, 4 - -80 xy x y 一题多解一题多解 画出约束条件表示的可行域(图略).z=|x+3y|=表示可行域内的动点P(x,y)到 直线x+3y=0的距离d的倍,即z=d.由图可知,dmax=,zmax=15.故选A. |3 | 10 xy 10 1010 |33 4| 10 15 10 6.(2019 5 3原创预测卷
44、四,5)不等式组的解集记为D,则“(x,y)D,x-ya成立”的必要 不充分条件是( ) A.a0 D.a-2 1, 2, 4 x y xy 答案答案 A 画出不等式组表示的区域D,如图,其中A(2,2),B(1,2),C(1,3).(x,y)D,x-ya 成立,则a(x-y)min,平移直线x-y=0,易知当直线经过点C(1,3)时,x-y取得最小值,(x-y)min=-2,则a-2,故 必要不充分条件可以是a0,b0)的最 大值为12,则a+b的最小值为 . -20, -240, 2 - -40, xy xy x y 答案答案 2 2 解析解析 x,y满足约束条件的平面区域如图. -20,
45、 -240, 2 - -40 xy xy x y 3个顶点分别是C(2,0),B(0,2),A(4,4),由图易得目标函数在A(4,4)取最大值12,即12=4ab+4,ab=2, a+b2=2, 当且仅当a=b=时等号成立, a+b的最小值为2. ab2 2 2 思路分析思路分析 根据x,y满足约束条件画出可行域,再根据目标函数z=abx+y(a0,b0)的最 大值为12,求出a,b的关系式,再利用基本不等式求出a+b的最小值. -20, -240, 2 - -40, xy xy x y 1.(2020 5 3原创题)若x,y满足约束条件则z=2x-y( ) A.有最大值8,最小值- B.有最小值-,无最大值 C.有最大值8,无最小值 D.无最大值,也无最小值 -220, - -20, 2-20, xy x y xy 2 5 2 5 答案答案 C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示, 目标函数可转化为y=2x-z,可知截距最大时z最小,截距最小时z最大.结合可行域可知z在点C(6,4)处 取最大值,而点A不在可行域内,所以z有最大值26-4=8,无最小值. 故选C. 2
