高三数学培优专题练习7：解三角形.doc

1、 培优点七培优点七 解三角形解三角形 1解三角形中的要素 例 1：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c ，6b ，60B o， 则C _ 【答案】30C o 【解析】 （1）由已知B，b，c求C可联想到使用正弦定理： sin sin sinsin bccB C BCb ， 代入可解得： 1 sin 2 C 由cb可得： 60CB o，所以 30C o 2恒等式背景 例 2：已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且有cos3 sin0aCaCbc （1）求A； （2）若2a ，且ABC的面积为3，求b，c 【答案】 （1） 3 ； （2）2，2 【解析】 （1）

2、cos3 sin0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sinsinsinsin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC， 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 66 A 或 5 66 A （舍） ， 3 A ； （2） 1 sin34 2 ABC SbcAbc ， 22222 2cos4abcbcAbcbc， 2222 48 44 bcbcbc bcbc ，可解得 2 2 b c 一、单选题 1在ABC中，1a ， 6 A ， 4 B ，则c （ ） A 62 2 B 62

3、 2 C 6 2 D 2 2 【答案】A 【解析】由正弦定理 sinsin ab AB 可得 1 sin sin 4 2 sin sin 6 aB b A ， 且 62 coscoscos cossin sin 4 CABABAB ， 由余弦定理可得： 22 6262 2cos122 12 42 cababC 故选 A 2在ABC中，三边长7AB ，5BC ，6AC ，则AB BC uuu v uuu v 等于（ ） A19 B19 C18 D18 【答案】B 【解析】三边长7AB ，5BC ，6AC ， 222222 75619 cos 22 7 535 ABBCAC B AB BC ， 1

4、9 cos7519 35 AB BCAB BCB uuu v uuu v 故选 B 3在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若2 coscaB，则三角形一 定是（ ） A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 【答案】C 【解析】2 coscaB，由正弦定理2 sincRC，2 sinaRA，sin2sincosCAB， A，B，C为ABC的内角， sinsinCAB ，A， 0,B， sin2sin cosABAB ，sincoscossin2sincosABABAB，整理得 sin0AB ， 0AB，即AB故ABC一定是等腰三角形故选 C 4ABC的内角A，

5、B，C的对边分别为a，b，c， 若 3 C ， 7c ， 3ba， 则ABC 对点增分集训对点增分集训 的面积为（ ） A 3 3 4 B 23 4 C2 D 23 4 【答案】A 【解析】已知 3 C ， 7c ， 3ba， 由余弦定理 222 2coscababC，可得： 222222 7937ababaaaa， 解得：1a ，3b ， 1133 3 sin1 3 2224 ABC SabC V 故选 A 5 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 22 abbc，sin2 3sinCB， 则A（ ） A30 B60 C120 D150 【答案】A 【解析】根据正弦定理由

6、sin2 3sinCB得：2 3cb， 所以 222 33 2 3abbcb，即 22 7ab， 则 222222 2 1273 cos 224 3 bcabbb A bcb ， 又 0,A，所以 6 A 故选 A 6 设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 如果 3abcbcabc ， 且3a ，那么ABC外接圆的半径为（ ） A1 B2 C2 D4 【答案】A 【解析】因为 3abc bcabc ，所以 2 2 3bcabc，化为 222 bcabc， 所以 222 1 cos 22 bca A bc ，又因为0,A，所以 3 A ， 由正弦定理可得 3 22 sin3 2

7、 a R A ，所以1R ，故选 A 7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 222 bcabc，若 2 sinsinsinBCA， 则ABC的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为 2 sinsinsinBCA，所以 2 222 bca RRR ， 也就是 2 abc，所以 22 2bcbc，从而b c， 故abc，ABC为等边三角形故选 C 8ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足coscosaBbAc，则ABC 是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】B 【解析】利用

8、正弦定理 sinsinsin abc ABC 化简已知的等式得： sincossincossinABBAC，即sinsinABC， A，B，C为三角形的内角，ABC，即 2 ABC ， 则ABC为直角三角形，故选 B 9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3 15， 2bc， 1 cos 4 A ，则a的值为（ ） A8 B16 C32 D64 【答案】A 【解析】因为0A ，所以 2 15 sin1cos 4 AA， 又 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc V ，24bc ，解方程组 2 24 bc bc 得6b ，4c ， 由余弦定理得 2

9、2222 1 2cos6426464 4 abcbcA ，所以8a 故选 A 10在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若 sincos0baCC ， 则A（ ） A 4 B 3 C 3 4 D 2 3 【答案】C 【解析】 sinsinsincoscossinBACACAC ， sincos0baCC ，可得： sinsinsincos0BACC ， sincoscossinsinsinsincos0ACACACAC，cossinsinsin0ACAC， sin0C ，cossinAA ，tan1A ， 2 A ， 3 4 A 故答案为 C 11 在ABC中， 内角A，B，C的对边

10、分别是a，b，c， 若 c o sc o sc o s abc ABC ， 则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【答案】D 【解析】 coscoscos abc ABC ， 由正弦定理得：2sinaRA，2sinbRB，2sincRC 代入， 得 sinsinsin coscoscos ABC ABC ，进而可得tantantanABC， ABC，则ABC是等边三角形故选 D 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2 3a ，2 2c ， tan2 1 tan Ac Bb ， 则C（ ） A 6 B 4 C 4 或 3 4 D 3

11、 【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为： sincos2sin 1 cossinsin ABC ABB ， 去分母移项得：sincossincos2sincosBAABCA， 所以 sinsin2sincosABCCA ， 所以 1 cos 2 A 由同角三角函数得 3 sin 2 A， 由正弦定理 sinsin ac AC ，解得 2 sin 2 C 所以 4 C 或 3 4 （舍） 故选 B 二、填空题 13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2 2c ， 22 16ba，则角C 的最大值为_； 【答案】 6 【解析】在ABC中，由角C的余弦定理可知

12、22 22 22222 33 2 cos 2242 ba ab abcab C ababab ， 又因为0C ，所以 max 6 C 当且仅当 2 2a ，2 6b 时等号成立 14已知ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则 sincosBB的取值范围是_ 【答案】1 2 ， 【解析】ABC的三边a，b，c成等比数列， 222 2cos22cosacbacacBacacB，得 1 cos 2 B ， 又0B ， 0 3 B ， ， 7 44 12 B ， ， 可得 sincos2sin12 4 BBB ， ，故答案为1 2 ， 15 在ABC中 三 个 内 角

13、A，B，C， 所 对 的 边 分 别 是 a ，b， c ， 若 2 si ncos2 si ncosbCAAC ，且 2 3a ，则 ABC面积的最大值是_ 【答案】3 【解析】 2sincos2sincosbCAAC ， cos2 sincossincos2sin2sinbACAACACB ， 则 2 sincos b BA ，结合正弦定理得 22 3 cossinsin a AAA ，即tan3A ， 2 3 A 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ，化简得 22 122bcbcbc， 故4bc ， 113 sin43 222 ABC SbcA ，故答案为3 16在

14、锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数 列，3b ， 则ABC面积的取值范围是_ 【答案】 3 3 3 24 ， 【解析】ABC中A，B，C成等差数列， 3 B 由正弦定理得 3 2 sinsinsin sin 3 acb ACB ，2sinaA，2sincC， 132 sin3sinsin3sinsin 243 ABC SacBacACAA 2 313333 1cos2 3sincossinsincossinsin2 2222422 A AAAAAAA 33333 sin2cos2sin 2 444264 AAA ， ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 3

15、2 A A ，解得 62 A 5 2 666 A ， 1 sin 21 26 A ， 3333 3 sin 2 22644 A ，故ABC面积的取值范围是 3 3 3 24 ， 三、解答题 17己知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且 3cos2 sin aA cC （1）求角A的大小； （2）若5bc，且ABC的面积为3，求a的值 【答案】 （1） 2 3 ； （2）21 【解析】 （1）由正弦定理得， 3sincos2 sinsin AA CC ， sin0C ，3sincos2AA，即sin 1 6 A 0A 666 A ， 62 A ， 2 3 A （2）由3 ABC S

16、 可得 1 sin3 2 SbcA4bc ， 5bc，由余弦定理得： 2 222 2cos21abcbcAbcbc， 21a 18如图，在ABC中，点D在BC边上，60ADC，2 7AB ，4BD （1）求ABD的面积 （2）若120BAC o ，求AC的长 【答案】 （1）2 3； （2）7 【解析】 （1）由题意，120BDA 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cos120ABBDADBD AD 即 2 281642ADADAD或 6AD （舍） ， ABD的面积 113 sin422 3 222 SDB DAADB （2）在ABD中，由正弦定理得 sinsin ADAB BBDA ， 代入得 21 sin 14 B ，由B为锐角，故 5 7 cos 14 B ， 所以 21 sinsin 60sin60 coscos60 sin 7 CBBB， 在ADC中，由正弦定理得 sinsin ADAC CCDA ， 2 213 72 AC ，解得7AC