1、 培优点十四培优点十四 外接球外接球 1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （ ） A16 B20 C24 D32 【答案】C 【解析】16 2 haV，2a，2416444 2222 haaR，24S ，故选 C 2补形法（补成长方体） c a b 图图1 C P A B a b c 图图2 P C B A a b c 图图3 C B P A a b c 图图4 P C O2 B A 例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 【答案】9 【解析】93334 2 R， 2 49S
2、R 3依据垂直关系找球心 例 3：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足 6BABC， 2 ABC， 若该三棱锥体积的最大值为 3， 则其外接球的体积为 （ ） A8 B16 C16 3 D 32 3 【答案】D 【解析】因为ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 1 123 2 r ，设外接球 的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则 1 63 2 ABC S ，3BD ，由题设 11 63 36 ABC VShh ， 最大体积对应的高为3SDh，故 22 3Rd，即2 2 33RR，解之得2R ， 所以外接球的体积是 3 432 33 R ，故答案为 D 一、
3、单选题 1棱长分别为 2、3、5的长方体的外接球的表面积为（ ） A4 B12 C24 D48 【答案】B 【解析】 设长方体的外接球半径为R， 由题意可知： 22 2 2 2235R， 则： 2 3R ， 该长方体的外接球的表面积为 2 44312SR本题选择 B 选项 2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2 3，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为（ ） A12 B28 C44 D60 【答案】B 【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得： 2 3 2 sin60 r ，则2r ， 设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径 2 22 327R ， 对点增分集训对
4、点增分集训 外接球的表面积 2 428SR本题选择 B 选项 3把边长为 3 的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC 平面ADC，则三棱锥 DABC的外接 球的表面积为（ ） A32 B27 C18 D9 【答案】C 【解析】把边长为 3 的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC 平面ADC， 则三棱锥DABC的外接球直径为3 2AC ，外接球的表面积为 2 418R ，故选 C 4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面 积为（ ） A 2 a B 2 2a C 2 3a D 2 4a 【答案】C 【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同
5、棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的 正四面体，如图所示： 该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对 角线，所以 222 3 23 2 RaaaaRa，所以该几何体外接球面积 2 22 3 443 2 SRaa ，故选 C 5三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，AB 平面BCD，2BCBD， 24 3ABCD，则球O的表面积为（ ） A16 B32 C60 D64 【答案】D 【解析】因为2BCBD，2 3CD ，所以 2 22 222 3 1 cos 2222
6、CBD ， 2 3 CBD， 因此三角形BCD外接圆半径为 1 2 2 sin CD CBD ， 设外接球半径为R，则 2 22 =2 +41216 2 AB R ， 2 =464SR，故选 D 6如图 1111 ABCDA BC D是边长为 1 的正方体，SABCD是高为 1 的正四棱锥，若点S， 1 A， 1 B， 1 C， 1 D在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 9 16 B 25 16 C 49 16 D 81 16 【答案】D 【解析】如图所示，连结 11 AC， 11 B D，交点为M，连结SM， 易知球心O在直线SM上，设球的半径ROSx，在 1 RtOMB中，由勾股定
7、理有： 222 11 OMB MBO，即： 2 2 2 2 2 2 xx ，解得： 9 8 x ，则该球的表面积 2 2 981 44 816 SR 本题选择 D 选项 7 已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上， 球心O到平面ABC的距离为 1 2 R， 2ABAC，120BAC，则球O的表面积为（ ） A16 9 B16 3 C 64 9 D 64 3 【答案】D 【解析】由余弦定理得：44222cos1202 3BC ， 设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得： 2 3 2 sin120 r ，则2r ， 又 22 1 4 4 RR，解得： 2 16 3 R ，则球的表面积
8、 2 64 4 3 SR本题选择 D 选项 8已知正四棱锥PABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中 心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为 50 3 ，则此 球的体积为（ ） A18 B8 6 C36 D32 3 【答案】C 【解析】 如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥PABCD的外接球心为O， 底面正方形的边长为10，5EA， 正四棱锥的体积为 50 3 ， 2 150 10 33 P ABCD VPE ， 则5PE ，5OER， 在AOE中由勾股定理可得：2 2 55RR，解得3R ， 3 4 36 3 VR 球 ，故选
9、 C 9如图，在ABC中，6ABBC，90ABC，点D为AC的中点，将ABD沿BD 折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD若该三棱锥的所有 顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是（ ） A7 B5 C3 D 【答案】A 【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD 平面PCD， 设三棱锥PBDC外接球的球心为O， PCD外接圆的圆心为 1 O，则 1 OO 面PCD，四边形 1 OO DB为直角梯形， 由3BD ， 1 1O D ，及OBOD，得 7 2 OB ，外接球半径为 7 2 R ， 该球的表面积 2 7 447 4 SR故选 A 10四面体AB
10、CD中，60ABCABDCBD ，3AB ，2CBDB，则此四面 体外接球的表面积为（ ） A19 2 B19 38 24 C17 D17 17 6 【答案】A 【解析】 由题意，BCD中，2CBDB，60CBD，可知BCD是等边三角形，3BF ， BCD的外接圆半径 2 3 3 rBE， 3 3 FE ， 60ABCABD ，可得7ADAC，可得6AF ，AFFB，AFBCD， 四面体ABCD高为6AF 设外接球R，O为球心，OEm，可得： 222 rmR， 2 22 6EFR 由解得： 19 8 R 四面体外接球的表面积： 2 19 4 2 SR故选 A 11将边长为 2 的正ABC沿着高
11、AD折起，使120BDC，若折起后ABCD、 、 、四点 都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A 7 2 B7 C13 2 D13 3 【答案】B 【解析】BCD中，1BD ，1CD ，120BDC， 底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到3BC ，再由正弦定理 得到 3 21 sin120 rr ， 见图示： AD是球的弦，3DA ，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的 一半，即为球心的位置O， 3 2 OM ，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD， OD即为球的半径 球的半径 37 1 42 OD 该球的表面积为 2 47OD；故选 B 1
12、2在三棱锥ABCD中，6ABCD，5ACBDADBC，则该三棱锥的外接球 的表面积为（ ） A 43 43 24 B 43 43 6 C 43 2 D43 【答案】D 【解析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF， 由条件，4ABCD，5BCACADBD，可知，ABC与ADB，都是等腰三角 形， AB 平面ECD，ABEF，同理CDEF，EF是AB与CD的公垂线， 球心G在EF上，推导出AGBCGD，可以证明G为EF中点， 2594DE ，3DF ，1697EF ， 7 2 GF ，球半径 743 9 42 DG ，外接球的表面积为 2 443SDG 故选 D 二、填空
13、题 13棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是_ 【答案】84 【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 1616 2 3 2sin6023 2 r ， 则外接球的半径 2 2 32 391221R ， 则外接球的表面积为 2 442184SR 14 已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3， 则该正四棱锥内切球的表面积为_ 【答案】 3216 3 【解析】设正四棱锥的棱长为a，则 2 3 416 3 4 a ，解得4a 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN的内切圆， 其中4MN ，2 3PMPN2 2PE 设内切圆的半径为r，由PFOPEN，得 FOPO ENPN ，即 2 2
14、22 3 rr ， 解得 2 2 62 31 r ， 内切球的表面积为 2 2 44623216 3 Sr 15已知三棱柱 111 ABCA B C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为3，2AB ，1AC ，60BAC，则此球的表面积等于_ 【答案】8 【解析】三棱柱 111 ABCA B C的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，2AB ，1AC ， 60BAC， 1 1 2 1 sin603 2 AA ， 1 2AA， 222 2cos60412BCABACAB AC ，3BC， 设ABC外接圆的半径为R，则2 sin60 BC R ，1R， 外接球的半径为1 12，球的表面积等于 2 428故答案为8 16 在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，4ABDB，ABBD， 则三棱锥ABCD 外接球的体积的最小值为_ 【答案】 8 2 3 【解析】如图所示，三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体 的体对角线AD， 设ABACx，那么4DBDCx，ABBD，所以 22 ADABDB由题意，体 积的最小值即为 AD最小，2 2 4ADxx，所以当2x 时，AD的最小值为2 2，所以半径为2， 故体积的最小值为 8 2 3
