高三数学培优专题练习12：数列求和.doc

1、 培优点十二培优点十二 数列求和数列求和 1错位相减法 例 1： 已知 n a 是等差数列， 其前n项和为 n S， n b 是等比数列， 且 11 2ab， 44 27ab， 44 10Sb （1）求数列 n a 与 n b 的通项公式； （2）记 11 21nnnn Ta babab L，n N，求证： 12210 nnn Tab 【答案】 （1） 31 n an，2n n b ； （2）见解析 【解析】 （1）设 n a 的公差为d， n b 的公比为q， 则 3 4411 27327abadbq， 3 4411 104610Sbadbq， 即 3 3 23227 86210 dq dq

2、 ，解得： 3 2 d q ， 31 n an，2n n b （2） 2 3123422 2n n TnnL， 23+1 23123422 2n n TnnL， 得 1 2312 4 21 3123 2222 223123 21 n nnn n Tnn L 10 22 3112 n n， 所证恒等式左边10 22 31 n n，右边2102 3110 2n nn abn ， 即左边右边，所以不等式得证 2裂项相消法 例 2：设数列 n a ，其前n项和 2 3 n Sn ， n b 为单调递增的等比数列， 1 23 512bb b ， 1133 abab （1）求数列 n a ， n b 的通

3、项公式； （2）若 21 n n nn b c bb ，求数列 n c 的前n项和 n T 【答案】 （1）63 n an ， 1 2n n b ； （2） 1 1 1 21 n n T 【解析】 （1）2n 时， 2 2 1 33163 nnn aSSnnn ， 当1n 时， 11 3aS 符合上式，63 n an ， n b 为等比数列 3 1 232 512bb bb， 2 8b， 设 n b 的公比为q，则 2 132 8 ,8 b bbb qq qq ，而 3 15a ， 1133 8 3158ababq q ，解得 2q 或 1 2 q ， n b 单调递增， 2q ， 21 2

4、22 nn n bb （2） 1 1111 2211 222121 212121 nn n nnnnnn c ， 1 12231 111111 212121212121 nn nn Tcc LL 111 111 1 212121 nn 一、单选题 1已知等差数列 n a 中 9 18S ， 240 n S ， 4 309 n an ，则项数为（ ） A10 B14 C15 D17 【答案】C 【解析】 19 95 9 918 2 aa Sa ， 5 2a ， 154 230 240 222 nn n n aan aan S ，15n ，故选 C 2在等差数列 n a 中，满足 47 37aa

5、，且 1 0a ， n S是 n a 前n项的和，若 n S取得最大值， 则n （ ） 对点增分集训对点增分集训 A7 B8 C9 D10 【答案】C 【解析】设等差数列首项为 1 a，公差为d， 由题意可知 1 4330ad， 1 0a ， 21 1 1 352 233 n n nda Snann ， 二次函数的对称轴为 35 8 75 4 n .，开口向下， 又n N，当 9n 时， n S取最大值故选 C 3对于函数 yf x ，部分x与y的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列 n x 满足： 1 1x ，且对于任意n N

6、，点 1nn xx , 都在函数 yf x 的图象上，则 122015 xxx（ ） A7554 B7549 C7546 D7539 【答案】A 【解析】由题意可知： 13f ， 35f ， 56f ， 61f， 13f L， 点 1nn xx , 都在函数 yf x 的图象上，则 1 1x ， 2 3x ， 3 5x ， 4 6x ， 51 1xx ， 则数列 n x 是周期为 4 的周期数列， 由于201545033，且 1234 15xxxx ， 故 122015 503 151 357554xxx 故选 A 4设等差数列 n a 的前n项和 n S， 4 4a ， 5 15S ，若数列

7、 1 1 nn a a 的前m项和为 10 11 ， 则m （ ） A8 B9 C10 D11 【答案】C 【解析】 n S为等差数列 n a 的前n项和，设公差为d， 4 4a ， 5 15S ， 则 4 53 4 155 a Sa ，解得1d ，则 44 n ann 由于 1 1111 11 nn a an nnn ，则 11111110 11 2231111 m S mmm L， 解得10m 故答案为 10故选 C 5在等差数列 n a 中，其前n项和是 n S，若 9 0S ， 10 0S，则在 1 1 S a ， 2 2 S a ，L， 9 9 S a 中最 大的是（ ） A 1 1

8、 S a B 8 8 S a C 5 5 S a D 9 9 S a 【答案】C 【解析】由于 19 95 9 90 2 aa Sa ， 110 1056 10 50 2 aa Saa ， 可得 5 0a ， 6 0a ， 这样 1 1 0 S a ， 2 2 0 S a ，L， 5 5 0 S a ， 6 6 0 S a ，L， 9 9 0 S a ， 而 125 SSSL， 125 aaaL， 在 1 1 S a ， 2 2 S a ，L， 9 9 S a 中最大的是 5 5 S a 故选 C 6设数列 1 n 的前n项和为 n S，则对任意正整数n， n S （ ） A 11 2 n n

9、 B 1 11 2 n C 11 2 n D 11 2 n 【答案】D 【解析】数列 1 n 是首项与公比均为1的等比数列 其前n项和为 1 11 11 112 n n n S 故选 D 7已知数列 n a 满足 1 1a ， 1 21211 nn nana ， 1 2 2121 41 nn n nana b n ， 12nn Tbbb ，若 n mT 恒成立，则m的最小值为（ ） A0 B1 C2 D 1 2 【答案】D 【解析】由题意知， 1 2121 nn n aa b nn ，由 1 21211 nn nana ， 得 1 1111 212121 212 2121 nn aa nnnn

10、nn ， 12 1111111111 1 2133521212212 nn Tbbb nnn LL ， 1 2 n T 恒成立， 1 2 m ，故m最小值为 1 2 ，故选 D 8数列 n a 的前n项和为 n S，若 1 n n an ，则 2018 S（ ） A2018 B1009 C2019 D1010 【答案】B 【解析】由题意，数列 n a 满足1 n n an ， 2018123420172018 123420172018Saaaaaa LL 1234201720181009 L，故选 B 9已知数列 n a 中， 123 21 n n aaaan N，则 2222 123n aa

11、aa等于 （ ） A 1 41 3 n B 1 21 3 n C4 1 n D 2 21 n 【答案】A 【解析】设 123 21 n nn Saaaan N， 由 1 1 1 2 , , n nn Sn a SSn ，解得 1 2n n a ， 令 21 4n nn ba ，故 2222 123 1 41 3 n n aaaa故选 A 10已知函数 2 23 sin 2 n f nn ，且 n af n ，则 123200 aaaaL （ ） A20100 B20500 C40100 D10050 【答案】A 【解析】 n af n ，当n为偶数时， 22 23 sin 2 n f nnn

12、， 当n为奇数时， 22 23 sin 2 n f nnn ， 故 22222 123200 1234199200aaaa LL- 2 1 12200 199200 19912319920020100 LL故选 A 11 已 知 数 列 n a 满 足 ： 1 1 2 a ， 2 1a ， 11 2 nnn aaann N ,， 则 132435 111 a aa aa a 2 0 1 82 0 2 0 1 aa 的整数部分为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】 11 1111 11111111 11 nnnn nnnnnn nnnnnnnn aaaa aaaaaa aaaaa

13、aaa 111111 111111 nnnnnnnnn aaaaaaaa a ， 原式 1223201820192019202020192020 11111 2 a aa aaaaaaa L ， 当3n 时， 20192020 20192020 1 1121,2 n aaa aa ， 整数部分为 1，故选 B 12 对于任意实数x， 符号 x表示不超过x的最大整数， 例如 33 ， 122 ， 121 已 知数列 n a 满足 2 log n an ，其前n项和为 n S，若 0 n是满足2018 n S 的最小整数，则 0 n的 值为（ ） A305 B306 C315 D316 【答案】D

14、 【解析】由题意， 2 log n an ，当1n 时，可得 1 0a ， （1 项） 当 12 22n时，可得 23 1aa， （2 项） 当 23 22n时，可得 457 2aaaL ， （4 项） 当 34 22n时，可得 8915 3aaaL ， （8 项） 当 45 22n时，可得 161731 4aaaL ， （16 项） L L 当 1 22 nn n 时，可得 1 2212 nnn aaan L ， （2n项） 则前n项和为 1234 1 22 23 24 22n n Sn L， 23451 21 22 23 24 22n n Sn L， 两式相减得 2341 222222 n

15、n n Sn L， 111 2222122018 nnn n Snn ，此时8n ， 当8n 时，对应的项为8 316 2 aa ，即 0 316n ，故选 D 二、填空题 13 已 知 数 列 n a 满 足 1 12 n nn aan n ， 记 n S为 n a 的 前 n 项 和 ， 则 40 S_ 【答案】440 【解析】由 1 12 n nn aan n 可得： 当2nk时，有 221 2 kk aak ， 当21nk时，有 2122 21 kk aak ， 当21nk时，有 212 21 kk aak ， 有 222 41 kk aak ，有 2121 1 kk aa ， 则 4

16、0135739246840 SaaaaaaaaaaLL 109 1 1071523107 108440 2 L 故答案为 440 14 n 表示不超过n的最大整数若 1 1233S ， 2 4567810S ， 3 910111213141521S ， L，则 n S _ 【答案】 21nn ，n N 【解析】第一个等式，起始数为 1，项数为 22 34 121 ， 1 1 3S ， 第二个等式，起始数为 2，项数为 22 59432， 2 25S ， 第三个等式，起始数为 3，项数为 22 716943， 3 3 7S ， L 第n个等式，起始数为n，项数为 2 2 121nnn，21 n

17、Snn ，n N， 故答案为 21 n Snn ，n N 15已知函数 11 3sin 22 f xxx ，则 122018 201920192019 fff _； 【答案】2018 【解析】 1111 13sin13sin 1 2222 f afaaaaa 11 2sinsin2 22 aa ， 设 122018 201920192019 Sfff ， 则 201820171 201920192019 Sfff ， 得 12018 220184036 20192019 Sff ， 2018S 故答案为 2018 16定义 12n n pppL 为n个正整数 1 p， 2 p，L， n p的“

18、均倒数”，若已知数列 n a 的 前 n项的“均倒数”为 1 5n ，又 5 n n a b ，则 1 22310 11 111 bbb bb b L _； 【答案】 10 21 【解析】数列 n a 的前n项的“均倒数”为 1 5n ， 1 5 n n Sn ，解得 2 5 n Sn， 11 5aS ， 当当2n 时， 2 2 1 551105 nnn aSSnnn ， 当1n 时，上式成立，则 105 n an ， 21 5 n n a bn， 1 11111 21 222 2121 nn b bnnnn ， 则 1 22 310 11 111111111111110 11 2335571

19、92122121bbb bb b LL 故答案为 10 21 三、解答题 17正项等差数列 n a 中，已知 0 n a ， 123 15aaa，且 1 2a ， 2 5a ， 3 13a 构成等 比数列 n b 的前三项 （1）求数列 n a ， n b 的通项公式； （2）求数列 n n a b 的前n项和 n T 【答案】 （1） 21 n an， 1 5 2n n b ； （2）521 21 n n Tn 【解析】 （1）设等差数列的公差为d，则由已知得： 1232 315aaaa，即 2 5a ， 又 52 513100dd ，解得2d 或13d （舍去） ， 12 3aad ， 1

20、 121 n aandn， 又 11 25ba ， 22 510ba ， 2q ， 1 5 2n n b ； （2） 21 5 35 27 2212n n Tn ， 23 25 3 25 27 2212n n Tn ， 两式相减得 21 532 22 22 22125 1221 nnn n Tnn ， 则521 21 n n Tn 18已知 n S为数列 n a 的前n项和，且 1 2a ， 0 n a ， 2 632 nnn Saa，n N （1）求数列 n a 的通项公式； （2）若对n N， 2 ( 1)n nn ba ，求数列 n b 的前2n项的和 2n T 【答案】 （1） 32

21、n an ； （2） 2 2 183 n Tnn 【解析】 （1） 2 632 nnn Saa，n N， 当当2n 时， 22 111 6663232 nnnnnnn aSSaaaa ，化为 11 30 nnnn aaaa ， 0 n a ， 1 3 nn aa ， 当1n 时， 2 111 632aaa，且 1 2a ，解得 1 1a 数列 n a 是等差数列，首项为 1，公差为 3 1 3132 n ann ； （2） 22 ( 1)( 1) (32) nn nn ban 22 212 (65)(62)3 1273621 nn bbnnnn ， n b 的前2n项的和 2 2 1 36 12213621183 2 n n n Tnnnnn L