高三数学培优专题练习18:离心率.doc

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1、 培优点十八培优点十八 离心率离心率 1离心率的值 例 1:设 1 F, 2 F分别是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段 1 PF的中点在y轴上,若 12 30PFF,则椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 3 6 C 1 3 D 1 6 【答案】A 【解析】本题存在焦点三角形 12 PFF,由线段 1 PF的中点在y轴上,O为 12 F F中点可得 2 PFy轴, 从而 212 PFFF,又因为 12 30PFF,则直角三角形 12 PFF中, 1212 :2:1:3PFPFFF , 且 12 2aPFPF, 12 2cFF,所以 12 12 2

2、3 23 FF cc e aaPFPF ,故选 A 2离心率的取值范围 例 2:已知F是双曲线 22 22 1 xy ab 0,0ab的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心 率e的取值范围为( ) A1, B1,2 C 1,12 D 2,12 【答案】B 【解析】从图中可观察到若ABE为锐角三角形,只需要AEB为锐角由对称性可得只需 0, 4 AEF 即可 且AF,FE均可用a,b,c表示,AF是通径的一半, 得: 2 b AF a , FEac, 所以 222 tan1112 AFbcaca AEFe FEa

3、aca aca ,即1,2e,故选 B 一、单选题 1若双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线经过点2, 1,则该双曲线C的离心率 为( ) A10 B5 C 13 2 D 5 2 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线过点2, 1,代入 b yx a ,可得: 2 1 b a , 即 1 2 b a , 22 22 5 1 2 cb e aa ,故选 D 2倾斜角为 4 的直线经过椭圆 22 22 10 xy ab ab 右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且 2AFFB,则该椭圆的离心率为( ) A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【答案】A 【解析】设直线的

4、参数方程为 2 2 2 2 xct yt ,代入椭圆方程并化简得 22224 11 20 22 abtb ctb , 所以 2 12 22 2 2b c tt ab , 4 12 22 2b tt ab ,由于2AFFB,即 12 2tt ,代入上述韦达定理, 化简得 222 8cab,即 2 2 2 9 c a , 2 3 c a 故选 A 3九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 第九章“勾股”, 讲述了“勾股定理” 对点增分集训对点增分集训 及一些应用, 还提出了一元二次方程的解法问题 直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦” 设 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 10

5、,0 xy ab ab ,的左、右焦点,P是该双曲线右支上的一点,若 1 PF, 2 PF分别 是 12 RtFPF的“勾”“股”,且 12 4PFPFab,则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 【答案】D 【解析】由双曲线的定义得 12 2PFPFa,所以 2 2 12 4PFPFa, 即 22 2 1212 24PFPFPFPFa,由题意得 12 PFPF,所以 222 2 1212 4PFPFFFc, 又 12 4PFPFab,所以 22 484caba,解得2ba,从而离心率5 c e a ,故选 D 4 已知双曲线 22 1 22 10,0: xy Cab ab 的一个焦

6、点F与抛物线 2 2 20:Cypx p的焦点 相同,它们交于A,B两点,且直线AB过点F,则双曲线 1 C的离心率为( ) A2 B3 C21 D2 【答案】C 【解析】设双曲线 1 C的左焦点坐标为,0Fc,由题意可得:,0F c, 2 p c , 则, 2 p Ap ,, 2 p Bp ,即,2A cc,, 2B cc, 又:2AFAFa, 2222 222 2AFF FAFccc, 据此有:2 222cca,即 21 ca, 则双曲线的离心率: 1 21 21 c e a 本题选择 C 选项 5已知点 000 ,P x yxa 在椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上,若点M

7、为椭圆C的右顶点, 且POPM(O为坐标原点) ,则椭圆C的离心率e的取值范围是( ) A 3 0, 3 B0,1 C 2 ,1 2 D 2 0, 2 【答案】C 【解析】由题意POPM,所以点P在以OM为直径的圆上,圆心为,0 2 a ,半径为 2 a , 所以圆的方程 为: 2 2 2 24 aa xy , 与椭圆方程联立得: 2 22 2 10 b xaxb a ,此方程在区间0,a上有解, 由于a为此方程的一个根,且另一根在此区间内,所以对称轴要介于 2 a 与a之间, 所以 2 2 2 2 1 aa a b a ,结合 222 abc,解得 2 2 1 1 22 a c , 根据离心

8、率公式可得 2 1 2 e故选 C 6已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ,点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得 120APB,则该椭圆的离心率的最小值为( ) A 2 2 B 3 2 C 6 3 D 3 4 【答案】C 【解析】设M为椭圆短轴一端点,则由题意得120AMBAPB ,即60AMO, 因为tan a OMA b , 所以tan603 a b ,3ab, 222 3aac, 22 23ac, 2 2 3 e , 6 3 e ,故选 C 7已知双曲线 22 22 1 xy ab 的左,右焦点分别为 1 F, 2 F,点P在双曲线的右支上,且 12 4PFPF,

9、则此双曲线的离心率e的最大值为( ) A 4 3 B 5 3 C2 D 7 3 【答案】B 【解析】由双曲线的定义知 12 2PFPFa ;又 12 4PFPF, 联立解得 1 8 3 PFa, 2 2 3 PFa, 在 12 PFF中,由余弦定理,得 222 2 12 644 4 179 99 cos 82 88 2 33 aac FPFe aa , 要求e的最大值,即求 12 cos FPF的最小值, 当 12 cos1FPF 时,解得 5 3 e ,即e的最大值为 5 3 ,故选 B 解法二:由双曲线的定义知 12 2PFPFa ,又 12 4PFPF, ,联立解得 1 8 3 PFa,

10、 2 2 3 PFa,因为点P在右支所以 2 PFca,即 2 3 aca故 5 3 ac,即e的 最大值为 5 3 ,故选 B 8已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点P在椭圆上,O为坐标 原点, 若 12 1 2 OPFF,且 2 12 PF PFa,则该椭圆的离心率为( ) A 3 4 B 3 2 C 1 2 D 2 2 【答案】D 【解析】由椭圆的定义可得, 12 2PFPFa, 又 2 12 PFPFa,可得 12 PFPFa,即P为椭圆的短轴的端点, OPb,且 12 1 2 OPFFc,即有 22 cbac,即为2ac, 2 2 c

11、 e a 故选 D 9若直线2yx与双曲线 22 22 10 xy ab ab 有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为 ( ) A 1, 5 B1, 5 C 5, D 5, 【答案】D 【解析】双曲线 22 22 10 xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a , 由双曲线与直线2yx有交点,则有2 b a ,即有 2 1+145 cb e aa , 则双曲线的离心率的取值范围为 5,,故选 D 10 我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知 1 F, 2 F 是一对相关曲线的焦点, 1 e, 2 e分别是椭圆和双曲线的离心率,若 为它们在第一象限的交 点,

12、 12 60FPF,则双曲线的离心率 2 e ( ) A2 B2 C3 D3 【答案】C 【解析】设 1 ,0Fc, 2 ,0F c,椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m, 可得 12 2PFPFa, 12 2PFPFm,可得 1 PFam, 2 PFam, 由余弦定理可得 222 121212 2cos60FFPFPFPF PF, 即有 22 222 43camamamamam, 由离心率公式可得 22 12 13 4 ee , 1 2 1e e ,即有 42 22 430ee ,解得 2 3e ,故选 C 11又到了大家最喜(tao)爱(yan)的圆锥曲线了已知直线:210l kxyk

13、 与椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 交于A、B两点, 与圆 22 2: 211Cxy交于C、D两点 若 存在2, 1k ,使得ACDB,则椭圆 1 C的离心率的取值范围是( ) A 1 0, 2 B 1 ,1 2 C 2 0, 2 D 2 ,1 2 【答案】C 【解析】直线:210l kxyk ,即210k xy , 直线l恒过定点2,1,直线l过圆 2 C的圆心, ACDB, 22 ACC B, 2 C的圆心为A、B两点中点, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y, 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab , 上下相减可得: 121212

14、12 22 xxxxyyyy ab , 化简可得 2 1212 2 1212 xxyyb k yyaxx , 2 2 2 b k a , 2 2 1 ,1 22 bk a , 2 2 2 0, 2 b e a ,故选 C 12已知点P为双曲线 22 22 10 xy ab ab 右支上一点,点 1 F, 2 F分别为双曲线的左右焦 点,点I是 12 PFF的内心(三角形内切圆的圆心) ,若恒有 121 2 1 3 IPFIPFIF F SSS 成立,则 双曲线的离心率取值范围是( ) A1,2 B1,2 C0,3 D1,3 【答案】D 【解析】 设 12 PFF的内切圆半径为r,由双曲线的定义

15、得 12 2PFPFa, 12 2FFc, 1 1 1 2 PF SPFr , 2 2 1 2 PF SPFr , 1 2 1 2 2 PF F Sc rcr , 由题意得 12 111 223 PFrPFrcr ,故 12 3 3 2 cPFPFa, 故3 c e a ,又1e ,所以,双曲线的离心率取值范围是1,3,故选 D 二、填空题 13已知抛物线 2 20ypx p与双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 有相同的焦点F,点A是 两曲线的一个交点,若直线AF的斜率为3,则双曲线的离心率为_ 【答案】 72 3 【解析】如图所示,设双曲线的另外一个焦点为 1 F, 由于AF的斜

16、率为3,所以60BAF,且AFAB,所以ABF是等边三角形, 所以 1 30FBF,所以 1 2 3BFc,4BFc, 所以 2 22 1 164242cos12028AFcccc , 所以 1 2 7AFc,由双曲线的定义可知22 74acc,所以双曲线的离心率为 72 3 14已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab ,其左右焦点分别为 1 F, 2 F,若M是该双曲线右支 上一点, 满足 1 2 3 MF MF ,则离心率e的取值范围是_ 【答案】1,2 【解析】设M点的横坐标为x, 1 2 3 MF MF ,M在双曲线右支上xa,根据双曲线的第 二定义, 可得 22 3 aa

17、 e xe x cc ,2exa, xa,exea,2aea,2e ,1e ,12e ,故答案为1,2 15 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F, 过 1 F的直线与椭圆交于A, B的两点,且 2 AFx轴,若P为椭圆上异于A,B的动点且 1 4 PABPBF SS ,则该椭圆的离 心率为_ 【答案】 3 3 【解析】根据题意,因为 2 AFx轴且 2 ,0F c,假设A在第一象限,则 2 , b A c a , 过B作BCx轴于C,则易知 121 AFFBFC, 由 1 4 PABPBF SS 得 11 3AFBF,所以 2 3AFBC, 1

18、21 3FFCF, 所以 2 5 , 33 b Bc a ,代入椭圆方程得 22 22 25 1 99 cb aa ,即 222 259cba, 又 222 bac,所以 22 3ca,所以椭圆离心率为 3 3 c e a 故答案为 3 3 16在平面直角坐标系xOy中,记椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F, 2 F,若 该椭圆上恰好有 6 个不同的点P,使得 12 F F P为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范 围是_ 【答案】 1 11 ,1 3 22 【解析】椭圆上恰好有 6 个不同的点P,使得 12 F F P为等腰三角形,6 个不同的点有两个 为椭圆

19、短轴的两个端点,另外四个分别在第一、二、三、四象限,且上下对称左右对称, 设P在第一象限, 11 PFPF,当 112 2PFFFc时, 21 222PFaPFac, 即222aac,解得 1 2 e , 又因为1e ,所以 1 1 2 e, 当 212 2PFFFc时, 12 222PFaPFac, 即222acc且2cac,解得: 11 32 e, 综上 1 1 2 e或 11 32 e 三、解答题 17已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的的离心率为3,则 (1)求双曲线C的渐进线方程 (2)当1a 时,已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中

20、 点在圆 22 5xy上,求m的值 【答案】 (1)2yx ; (2)1m 【解析】 (1)由题意,得3 c e a , 22 3ca, 2222 2bcaa,即 2 2 2 b a , 所求双曲线C的渐进线方程2 b yxx a (2)由(1)得当1a 时,双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设A,B两点的坐标分别为 11 ,x y, 22 ,xy,线段AB的中点为 00 ,M x y, 由 2 2 1 2 0 y x xym ,得 22 220 xmxm(判别式0 ) , 12 0 2 xx xm , 00 2yxmm, 点 00 ,M x y在圆 22 5xy上, 2 2 25mm

21、,1m 18已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左焦点为1,0F ,离心率 2 2 e (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知直线l交椭圆C于A,B两点 若直线l经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点P,且满足PAAF,PBBF求证: 为定值; 若OAOB,求OAB面积的取值范围 【答案】 (1) 2 2 1 2 x y; (2)见解析, 32 22 OAB S 【解析】 (1)由题设知, 2 2 c a ,1c ,所以 2 2a ,1c , 2 1b , 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y (2)由题设知直线l斜率存在,设直线l方程为1yk x,则0,Pk 设 11 ,

22、A x y, 22 ,B x y,直线l代入椭圆 2 2 1 2 x y得 2222 124220kxk xk, 所以 2 12 2 4 12 k xx k , 2 12 2 22 12 k x x k ,由PAAF,PBBF知 1 1 1 x x , 2 2 1 x x , 22 22 1212 22 1212 22 444 2 1212 4 4221 1 1212 kk xxx x kk kkxxx x kk 当直线OA,OB分别与坐标轴重合时,易知 2 2 OAB S 当直线OA,OB斜率存在且不为 0 时,设:OA ykx, 1 :OB yx k , 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,直线ykx代入椭圆C得到 222 220 xk x, 所以 2 1 2 2 12 x k , 2 2 1 2 2 12 k y k ,同理 2 2 2 2 2 12 k x k , 2 1 2 2 12 y k 2 2 2 42 22 1 11 2252 122 OAB k k SOA OB kk kk , 令 2 11tk ,则 22 222 2 11 11 21 21512911 2 42 OAB tt S tt tt tt t , 因为 1 0,1 t ,所以 2 9119 2 424t ,故 32 22 OAB S ,综上 32 22 OAB S

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