1、 培优点十八培优点十八 离心率离心率 1离心率的值 例 1：设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段 1 PF的中点在y轴上，若 12 30PFF，则椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 3 6 C 1 3 D 1 6 【答案】A 【解析】本题存在焦点三角形 12 PFF，由线段 1 PF的中点在y轴上，O为 12 F F中点可得 2 PFy轴， 从而 212 PFFF，又因为 12 30PFF，则直角三角形 12 PFF中， 1212 :2:1:3PFPFFF ， 且 12 2aPFPF， 12 2cFF，所以 12 12 2
2、3 23 FF cc e aaPFPF ，故选 A 2离心率的取值范围 例 2：已知F是双曲线 22 22 1 xy ab 0,0ab的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心 率e的取值范围为（ ） A1, B1,2 C 1,12 D 2,12 【答案】B 【解析】从图中可观察到若ABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角由对称性可得只需 0, 4 AEF 即可 且AF，FE均可用a，b，c表示，AF是通径的一半， 得： 2 b AF a ， FEac， 所以 222 tan1112 AFbcaca AEFe FEa
3、aca aca ，即1,2e，故选 B 一、单选题 1若双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线经过点2, 1，则该双曲线C的离心率 为（ ） A10 B5 C 13 2 D 5 2 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线过点2, 1，代入 b yx a ，可得： 2 1 b a ， 即 1 2 b a ， 22 22 5 1 2 cb e aa ，故选 D 2倾斜角为 4 的直线经过椭圆 22 22 10 xy ab ab 右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且 2AFFB，则该椭圆的离心率为（ ） A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【答案】A 【解析】设直线的
4、参数方程为 2 2 2 2 xct yt ，代入椭圆方程并化简得 22224 11 20 22 abtb ctb ， 所以 2 12 22 2 2b c tt ab ， 4 12 22 2b tt ab ，由于2AFFB，即 12 2tt ，代入上述韦达定理， 化简得 222 8cab，即 2 2 2 9 c a ， 2 3 c a 故选 A 3九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章“勾股”， 讲述了“勾股定理” 对点增分集训对点增分集训 及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题 直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦” 设 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 10
5、,0 xy ab ab ，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若 1 PF， 2 PF分别 是 12 RtFPF的“勾”“股”，且 12 4PFPFab，则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 【答案】D 【解析】由双曲线的定义得 12 2PFPFa，所以 2 2 12 4PFPFa， 即 22 2 1212 24PFPFPFPFa，由题意得 12 PFPF，所以 222 2 1212 4PFPFFFc， 又 12 4PFPFab，所以 22 484caba，解得2ba，从而离心率5 c e a ，故选 D 4 已知双曲线 22 1 22 10,0: xy Cab ab 的一个焦
6、点F与抛物线 2 2 20:Cypx p的焦点 相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线 1 C的离心率为（ ） A2 B3 C21 D2 【答案】C 【解析】设双曲线 1 C的左焦点坐标为,0Fc，由题意可得：,0F c， 2 p c ， 则, 2 p Ap ，, 2 p Bp ，即,2A cc，, 2B cc， 又：2AFAFa， 2222 222 2AFF FAFccc， 据此有：2 222cca，即 21 ca， 则双曲线的离心率： 1 21 21 c e a 本题选择 C 选项 5已知点 000 ,P x yxa 在椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上，若点M
7、为椭圆C的右顶点， 且POPM（O为坐标原点） ，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ） A 3 0, 3 B0,1 C 2 ,1 2 D 2 0, 2 【答案】C 【解析】由题意POPM，所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为,0 2 a ，半径为 2 a ， 所以圆的方程 为： 2 2 2 24 aa xy ， 与椭圆方程联立得： 2 22 2 10 b xaxb a ，此方程在区间0,a上有解， 由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于 2 a 与a之间， 所以 2 2 2 2 1 aa a b a ，结合 222 abc，解得 2 2 1 1 22 a c ， 根据离心
8、率公式可得 2 1 2 e故选 C 6已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得 120APB，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） A 2 2 B 3 2 C 6 3 D 3 4 【答案】C 【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMBAPB ，即60AMO， 因为tan a OMA b ， 所以tan603 a b ，3ab， 222 3aac， 22 23ac， 2 2 3 e ， 6 3 e ，故选 C 7已知双曲线 22 22 1 xy ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在双曲线的右支上，且 12 4PFPF，
9、则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） A 4 3 B 5 3 C2 D 7 3 【答案】B 【解析】由双曲线的定义知 12 2PFPFa ；又 12 4PFPF， 联立解得 1 8 3 PFa， 2 2 3 PFa， 在 12 PFF中，由余弦定理，得 222 2 12 644 4 179 99 cos 82 88 2 33 aac FPFe aa ， 要求e的最大值，即求 12 cos FPF的最小值， 当 12 cos1FPF 时，解得 5 3 e ，即e的最大值为 5 3 ，故选 B 解法二：由双曲线的定义知 12 2PFPFa ，又 12 4PFPF， ，联立解得 1 8 3 PFa，
10、 2 2 3 PFa，因为点P在右支所以 2 PFca，即 2 3 aca故 5 3 ac，即e的 最大值为 5 3 ，故选 B 8已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆上，O为坐标 原点， 若 12 1 2 OPFF，且 2 12 PF PFa，则该椭圆的离心率为（ ） A 3 4 B 3 2 C 1 2 D 2 2 【答案】D 【解析】由椭圆的定义可得， 12 2PFPFa， 又 2 12 PFPFa，可得 12 PFPFa，即P为椭圆的短轴的端点， OPb，且 12 1 2 OPFFc，即有 22 cbac，即为2ac， 2 2 c
11、 e a 故选 D 9若直线2yx与双曲线 22 22 10 xy ab ab 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ） A 1, 5 B1, 5 C 5, D 5, 【答案】D 【解析】双曲线 22 22 10 xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 由双曲线与直线2yx有交点，则有2 b a ，即有 2 1+145 cb e aa ， 则双曲线的离心率的取值范围为 5,，故选 D 10 我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知 1 F， 2 F 是一对相关曲线的焦点， 1 e， 2 e分别是椭圆和双曲线的离心率，若 为它们在第一象限的交 点，
12、 12 60FPF，则双曲线的离心率 2 e （ ） A2 B2 C3 D3 【答案】C 【解析】设 1 ,0Fc， 2 ,0F c，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m， 可得 12 2PFPFa， 12 2PFPFm，可得 1 PFam， 2 PFam， 由余弦定理可得 222 121212 2cos60FFPFPFPF PF， 即有 22 222 43camamamamam， 由离心率公式可得 22 12 13 4 ee ， 1 2 1e e ，即有 42 22 430ee ，解得 2 3e ，故选 C 11又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了已知直线:210l kxyk
13、 与椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 交于A、B两点， 与圆 22 2: 211Cxy交于C、D两点 若 存在2, 1k ，使得ACDB，则椭圆 1 C的离心率的取值范围是（ ） A 1 0, 2 B 1 ,1 2 C 2 0, 2 D 2 ,1 2 【答案】C 【解析】直线:210l kxyk ，即210k xy ， 直线l恒过定点2,1，直线l过圆 2 C的圆心， ACDB， 22 ACC B， 2 C的圆心为A、B两点中点， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 上下相减可得： 121212
14、12 22 xxxxyyyy ab ， 化简可得 2 1212 2 1212 xxyyb k yyaxx ， 2 2 2 b k a ， 2 2 1 ,1 22 bk a ， 2 2 2 0, 2 b e a ，故选 C 12已知点P为双曲线 22 22 10 xy ab ab 右支上一点，点 1 F， 2 F分别为双曲线的左右焦 点，点I是 12 PFF的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 121 2 1 3 IPFIPFIF F SSS 成立，则 双曲线的离心率取值范围是（ ） A1,2 B1,2 C0,3 D1,3 【答案】D 【解析】 设 12 PFF的内切圆半径为r，由双曲线的定义
15、得 12 2PFPFa， 12 2FFc， 1 1 1 2 PF SPFr ， 2 2 1 2 PF SPFr ， 1 2 1 2 2 PF F Sc rcr ， 由题意得 12 111 223 PFrPFrcr ，故 12 3 3 2 cPFPFa， 故3 c e a ，又1e ，所以，双曲线的离心率取值范围是1,3，故选 D 二、填空题 13已知抛物线 2 20ypx p与双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 有相同的焦点F，点A是 两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双曲线的离心率为_ 【答案】 72 3 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为 1 F， 由于AF的斜
16、率为3，所以60BAF，且AFAB，所以ABF是等边三角形， 所以 1 30FBF，所以 1 2 3BFc，4BFc， 所以 2 22 1 164242cos12028AFcccc ， 所以 1 2 7AFc，由双曲线的定义可知22 74acc，所以双曲线的离心率为 72 3 14已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab ，其左右焦点分别为 1 F， 2 F，若M是该双曲线右支 上一点， 满足 1 2 3 MF MF ，则离心率e的取值范围是_ 【答案】1,2 【解析】设M点的横坐标为x， 1 2 3 MF MF ，M在双曲线右支上xa，根据双曲线的第 二定义， 可得 22 3 aa
17、 e xe x cc ，2exa， xa，exea，2aea，2e ，1e ，12e ，故答案为1,2 15 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 1 F的直线与椭圆交于A， B的两点，且 2 AFx轴，若P为椭圆上异于A，B的动点且 1 4 PABPBF SS ，则该椭圆的离 心率为_ 【答案】 3 3 【解析】根据题意，因为 2 AFx轴且 2 ,0F c，假设A在第一象限，则 2 , b A c a ， 过B作BCx轴于C，则易知 121 AFFBFC， 由 1 4 PABPBF SS 得 11 3AFBF，所以 2 3AFBC， 1
18、21 3FFCF， 所以 2 5 , 33 b Bc a ，代入椭圆方程得 22 22 25 1 99 cb aa ，即 222 259cba， 又 222 bac，所以 22 3ca，所以椭圆离心率为 3 3 c e a 故答案为 3 3 16在平面直角坐标系xOy中，记椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，若 该椭圆上恰好有 6 个不同的点P，使得 12 F F P为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范 围是_ 【答案】 1 11 ,1 3 22 【解析】椭圆上恰好有 6 个不同的点P，使得 12 F F P为等腰三角形，6 个不同的点有两个 为椭圆
19、短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P在第一象限， 11 PFPF，当 112 2PFFFc时， 21 222PFaPFac， 即222aac，解得 1 2 e ， 又因为1e ，所以 1 1 2 e， 当 212 2PFFFc时， 12 222PFaPFac， 即222acc且2cac，解得： 11 32 e， 综上 1 1 2 e或 11 32 e 三、解答题 17已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的的离心率为3，则 （1）求双曲线C的渐进线方程 （2）当1a 时，已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中
20、 点在圆 22 5xy上，求m的值 【答案】 （1）2yx ； （2）1m 【解析】 （1）由题意，得3 c e a ， 22 3ca， 2222 2bcaa，即 2 2 2 b a ， 所求双曲线C的渐进线方程2 b yxx a （2）由（1）得当1a 时，双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设A，B两点的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，线段AB的中点为 00 ,M x y， 由 2 2 1 2 0 y x xym ，得 22 220 xmxm（判别式0 ） ， 12 0 2 xx xm ， 00 2yxmm， 点 00 ,M x y在圆 22 5xy上， 2 2 25mm
21、，1m 18已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左焦点为1,0F ，离心率 2 2 e （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线l交椭圆C于A，B两点 若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PAAF，PBBF求证： 为定值； 若OAOB，求OAB面积的取值范围 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2）见解析， 32 22 OAB S 【解析】 （1）由题设知， 2 2 c a ，1c ，所以 2 2a ，1c ， 2 1b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为1yk x，则0,Pk 设 11 ,
22、A x y， 22 ,B x y，直线l代入椭圆 2 2 1 2 x y得 2222 124220kxk xk， 所以 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k ，由PAAF，PBBF知 1 1 1 x x ， 2 2 1 x x ， 22 22 1212 22 1212 22 444 2 1212 4 4221 1 1212 kk xxx x kk kkxxx x kk 当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知 2 2 OAB S 当直线OA，OB斜率存在且不为 0 时，设:OA ykx， 1 :OB yx k ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线ykx代入椭圆C得到 222 220 xk x， 所以 2 1 2 2 12 x k ， 2 2 1 2 2 12 k y k ，同理 2 2 2 2 2 12 k x k ， 2 1 2 2 12 y k 2 2 2 42 22 1 11 2252 122 OAB k k SOA OB kk kk ， 令 2 11tk ，则 22 222 2 11 11 21 21512911 2 42 OAB tt S tt tt tt t ， 因为 1 0,1 t ，所以 2 9119 2 424t ，故 32 22 OAB S ，综上 32 22 OAB S
