1、冷点是否成热点？看数列导数不等式的证明冷点是否成热点？看数列导数不等式的证明 成都市实验外国语学校 从 成都市实验外国语学校 从 2013 年新课程改革以来，高考对数列导数不等式的考察大大的降温，但 对纯导数的考查力度逐年力度增大，而从 年新课程改革以来，高考对数列导数不等式的考察大大的降温，但 对纯导数的考查力度逐年力度增大，而从 2019 年全国三卷的形式上看，导数降 温，而圆锥曲线，替代了导数的位置，数列导数考查的冷点能否成热点，还有 待研究，今天在不回避热点的基础上，重温一下当前的冷点问题；五招破解数 列导数不等式的证明； （ 年全国三卷的形式上看，导数降 温，而圆锥曲线，替代了导数的
2、位置，数列导数考查的冷点能否成热点，还有 待研究，今天在不回避热点的基础上，重温一下当前的冷点问题；五招破解数 列导数不等式的证明； （2020-04-03 每日一题，研究高考） 引入： （ 每日一题，研究高考） 引入： （10 湖北）湖北） 已知函数f (x) ax b x c(a0)的图象在点(1, f (1)处的 切线方程为：y x1. ()用a表示b,c； ()若fx ln x在1,上恒成立，求实数a的取值范围； ()证明：1+ 1 2 + 1 3 + 1 n ln1n+ 21 n n )(n1). 解：解： （） 2 ( ) b fxa x ，则有 10 10 fabc fab ，解
3、得 1 12 ba ca ()由（）知， 1 ( )1 2 a f xaxa x ， 令 1 ( )ln1 2ln a g xf xxaxax x ，1x, 则 10g， 2 222 1 1 111 a a xx axxaa a gxa xxxx ()当 1 0 2 a时, 1 1 a a , 若 1 1 a x a ,则 0gx, g x是减函数,所以 10g xg 即( )lnf xx,故( )lnf xx在1,上不恒成立. () 当 1 2 a 时, 1 1 a a ， 若1x ,则 0gx, g x是增函数,所以 10g xg 即( )lnf xx,故当1x 时,( )lnf xx.
4、综上所述,所求a的取值范围为 1 2 , ()下面介绍几种常见的方法 第第一一招招：直接借助：直接借助()结论放缩结论放缩 由()知,当 1 2 a 时,有( )lnf xx, (1x ) 令 1 2 a ,有 11 ( )ln 2 f xxx x ， 且当1x 时, 11 ln 2 xx x ， 令 1k x k ,有 111111 ln11 2121 kkk kkkkk 即 1 11 ln1ln 21 kk kk , 1 2 3k, , ,nL 将上述n个不等式依次相加得： 11111 ln1 22321 n nn L，得 111 1ln1 2321 n n nn L 第二招第二招： ：抓
5、通项证明不等式：抓通项证明不等式 k 1k 1 1 1 11 k 1 1 ln(1),ln(1)=Sb 2(1)2(1) 1 n1S =+ln2 4 111 n2bSSln(1)lnln(1); 2(1)22 (1) 1111 11 S =bbln(1)=ln(1)n 2 (1)2 nn+1 1 nn nk nnn n n nn nn knn nn nn nnnn n N nn nn k 分析：欲证 令 当时， 当时, 验证：，（）() k 1 2 22 11 11111 11 ln(1)ln(1), 2k+12k+1 1 111111 )ln(1)t1(1,),ln(),(1,) 2k+12
6、 112(1) g( )2ln ,(1,),g ( )1, 11 g( )g(1)0t1 n kkkkk ttt kkkt t ttt tt tttt t kk （）（ 即证： （，令 即证： 证明：构造： 得证，令，即： k 1k 1k 1 11 11 ln(1) 2k+1 111 111 ln(1)ln(1) 2k+12(1) nnn kk n n kkkkn （，则求和： （） 得证； 第三招第三招： ：数学归纳数学归纳法法 k 1 i 1 +1 i 1 1 ln(1) 2(1) 1 1nln2 4 1 2nln(1);n+1 2(1) 111 ln(1)+ln(2); 2(1)k12(
7、2) 21 ln(1)ln(2) 2(1)2(2) n k k n n kn k k ik kk kk ikk kk kk kk ，下面用数学归纳法证明： （ ）当 =1时，1成立； （ ）假设 =k时命题成立，即：那么 =k时， 即证： 1211 ()ln(1)0 2121 kk kkk 2 22 k 1 1311 t1(1, ),2ln0g( )2ln , 12 12(1) g ( )1,g( )g(1)0 1 n,ln(1) 2(1) n ttttt ktt t tt ttt n n kn 令 即证：，即构造： 得证， 由（1）（2）知，对N 得证； 第四招第四招： ： 定积分法构造定积
8、分法构造 k 1k 1k 1 1 k 1 1111 11 ln(1),ln(1) 2(1)2k+1 111 111 111 ln(1),)ln(1) 2k+12k+1 111 ( ),( )(k+1) 1 2 ln|ln nnn k k k n n knkkk kkkkk f xdxf kf xx x 曲边梯形ABCD梯形ABCD 欲证： 即证：（） （ 即证： （，联想到定积分： 构造函数：SS即：（ k 1k 1k 1 1 1111 11 (1)ln)ln(1) 2k+12k+1 111 111 ln(1)ln(1) 2k+12(1) nnn kk kkk n n kkkkn （ （） 得
9、证； 第五招第五招： ：整体构造函数整体构造函数 k 1 2 22 1 (n)ln(1), 2(1) 11 (n+1)(n)ln(2)ln(1) 12(2)2(1) 12112 ()ln(1),t(1,); 21211 112(1) g( )2ln ,g ( )1,g( )g(1)0 (n+1)(n) n n FnnN kn nn FFnn nnn nnn nnnn t ttttt tttt FF 构造： 令 即构造， 即： 3 (n)n(n)(1)=ln20 4 FFF，则关于 的增函数，得证； 综上可看出综上可看出，五招五招，招招致命招招致命，都可以快速拿下数列不等式的证明都可以快速拿下数
10、列不等式的证明，法一法一 属于姊妹问属于姊妹问，一二三问环环相扣一二三问环环相扣，直接用第二问结论，必须要有敏锐的洞察力，直接用第二问结论，必须要有敏锐的洞察力， 观察如何赋值，让答案尽收眼底；法二用抓通项，对数列求和要有扎实的基本观察如何赋值，让答案尽收眼底；法二用抓通项，对数列求和要有扎实的基本 功，才能快速拿下通项，从而划归为数列求和；功，才能快速拿下通项，从而划归为数列求和；法三，对正整数法三，对正整数 n 的证明纯属的证明纯属 套路明显，格式固话，法四运用定积分，套路明显，格式固话，法四运用定积分，在于不等式构造，思维要求高，跨度在于不等式构造，思维要求高，跨度 大，构造能力强；对法
11、五王者一吞天下，要整体意识强，数学素养高，消化得大，构造能力强；对法五王者一吞天下，要整体意识强，数学素养高，消化得 了，可以看出，不管哪种方法的选择，都离不开构造，本题对竞赛生略占便宜；了，可以看出，不管哪种方法的选择，都离不开构造，本题对竞赛生略占便宜； n12n+1nn-1 n 1 nn n-1 n n 1 a nS ,aa,2 S(31)S(1)S(2) 2 (1)a (2)b(2S )(),b 2a ,1 111 (3)1,nA , 2S 232a ,2 A44ln . ; n n nn nn n nnnn nnNnN n TV nTn n n 数列的前 项和 求数列的通项； 设若对
12、恒成立，求实数 的取值范围； 记令C记 C的前 项和为 求证： 例1 （ nn 1 212 3123 41234 512345 n1234 1 lnx1- nn2 a =2;3S =2,A 22 1 1 2(1) 2 211 ()2(1+ ) 323 2111 (+)2(1+) 4234 21111 (+)2(1+ ) 52345 2 (+ n nn x aa aaa aaaa aaaaa aaaa n 其中：,x (1,+ )） 解：（1）;（2）（3）由（ ）知则求，即： C； C； C C； C C 1 12 12 11111 )2(1+) 2345 1111111111 2 1+21+
13、- 23452345 11111 +2(1+) 2345 1111111111n2 =2 1+-+=1+- 234523452 nn n n n n aa n Aaa nn a n aaa nn （）（） （） （）2（） （2） k 2 1111111 1+ln,ln 234511 4+4ln44ln 1 n kk xx nxkkk k n k 4（），由：1-得证； 例例 2.（17 全国全国 3）已知函数 1lnf xxax 。 （1）若 0f x ，求 a 的值； （2） 设 m 为整数， 对任意正整数 n， 求 m 的最小值。 解：（1） f x的定义域为0， +. 故 2 111
14、111 222n e L ， 而 23 111 1112 222 ，所以m的最小值为3 例例 3.3.14 陕西陕西 设函数 f(x)ln(1x)， g(x)xf(x)， x0， f(x)是 f(x)的导函数 (1)若 f(x)ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)设 nN，比较 g(1)g(2)g(n)与 nf(n)的大小，并加以证明 解：解：(1)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x) ax 1x恒成立 设 (x)ln(1x) ax 1x(x0)，则 (x) 1 1x a （1x）2 x1a （1x）2， 当 a1 时，(x)0(仅当 x0，a1 时等号成立)， 2
15、111 111 222n m L (x)在0，)上递增，又 (0)0，(x)0 在0，)上恒成立， a1 时，ln(1x) ax 1x恒成立(仅当 x0 时等号成立) 当 a1 时，对 x(0，a1有 (x)0，(x)在(0，a1上递减， (a1)1 时，存在 x0，使 (x)nln(n1) 证明如下：证明如下： 方法一：方法一：上述不等式等价于1 2 1 3 1 n1 x 1x，x0.令 x 1 n，nN，则 ln n1 n 1 n1. 故有 ln 2ln 11 2，ln 3ln 2 1 3，ln(n1)ln n 1 n1， 上述各式相加可得 ln(n1)1 2 1 3 1 n1，结论得证
16、方法方法二二：如图， 0 n x x1dx 是由曲线 y x x1，xn 及 x 轴所围成的曲边梯形 的面积，而1 2 2 3 n n1是图中所示各矩形的面积和， 1 2 2 3 n n1 0 n x x1dx 0 n 1 1 x1 dxnln(n1)，结论得证 例例 4. （15 湖南）湖南）已知0a ，函数( )sin (0,) ax f xex x，记 n x为( )f x的从 小到大的第n * ()nN个极值点， 证明： （1）数列 () n f x是等比数列； （2）若 2 1 1 a e ，则对一切 * nN，|()| nn xf x恒成立. 解： （1）( )sincos axa
17、x fxaexex( sincos ) ax eaxx 2 1sin() ax aex 其中 1 tan a ，0 2 ，令( )0fx ，由0 x 得xm， 即xm，m * N，对Nk， 若2(21)kxk，即2(21)kxk，则( )0fx ， 若(21)(22)kxk，即(21)(22)kxk，则( )0fx ， 因此，在区间(1) ,)mm与(,)mm上，( )fx的符号总相反，于是 当 * ()xmmN时，( )f x取得极值， * () n xnnN， 此时， 1 sin()( 1) s n()i a na nn n xnefe ，易知()0 n f x，而 1 1 2 1 ()(
18、 1) ()( 1 s n in) i s a n ax n n n a n n f e f xe xe 是非零常数， 故数列() n f x是首项为 1 ()f x sin a n e ，公比为 ax e的等比数列； （2）由（1）知，sin，于是对一切 * nN，|()| nn xf x|恒成立，即 2 1 1 a n a ne 恒成立， 等价于 2 1 a n ae aa n （） 恒成立 （0a） ， 设( )(0) t e g tt t ，则 2 ( ( ) 1) t g e t t t =，令( )0g t ，得1t， 当10t时，( )0g t ，)(tg在区间) 1 , 0(上
19、单调递减； 当1t时，( )0g t ，)(tg在区间) 1 , 0(上单调递增， 从而当1t时，函数)(tg取得最小值eg) 1 (，因此，要是（）式恒成立，只需 2 ( ) 1 1g a e a ， 即 只 需 2 1 1 a e ， 而 当 2 1 1 a e 时 ， 2 1 tan13e a ，且0 2 ，于是 2 2 1 3 e ， 且当2n 时， 2 21 3 2 en ，对一切 * nN， 2 1 1 n x e n a ， () n g ax 2 1 (1) a ge a ，故（）式恒成立. 综上所述，若a 2 1 1e ，则对一切 * nN，()| nn xxf恒成立. 例例
20、 5.5. （1212 天津）天津）已知函数的最小值为 0，其中 （）若对任意的有成立，求实数的最小值； （）证明（）. 解解.（1）易求 a=1, 设 则在上恒成立（*） , 当时，与（*）矛盾 当时，符合（*）得：实数的最小值为, （2）由（1）得：对任意的值恒成立 取： 当时， 得： 当时， 得： )ln()(axxxf. 0a ), 0 x)(xf 2 kxk n i n i 1 2) 12ln( 12 2 * Nn 22 ( )( )ln(1)(0)g xkxf xkxxxx ( )0g x 0,+ )x min ( )0(0)g xg (1)1 ln200gkk 1(221) (
21、)21 11 xkxk g xkx xx 1 210() 2 kk 00 1 2 ( )00()(0)0 2 k g xxxg xg k 1 2 k min ( )0( )(0)0g xg xgk 1 2 2 1 ln(1) 2 xxx0 x 2 (1,2,3, ) 21 xin i L 2 22 ln(21)ln(21) 21(21) ii ii 1n 2ln32 =1 2 ln(2 +1)2 21 n i n i 2i 2 211 (21)2321iii 1 21 ln(21)ln(21)2ln3 12 2121 n i ii in 例例 6.6. (12 四川改编四川改编)已知a为正实数
22、，n为自然数，抛物线 2 2 n a yx 与x轴正 半轴相交于点A，设( )f n为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 （）用a和n表示( )f n； （） 当01a时， 比较 1 1 ( )(2 ) n k f kfk 与 27(1)( ) 4(0)(1) ff n ff 的大小并说明理由。 解解（1）由已知得，交点 A 的坐标为，对则抛物 线在点 A 处的切线方程为 （2）由（1）知，则， 下面证明： 先证：当 0x1 时，设函数 ，当 故 g(x)在（0,1）上最小值 g(x)min=g，当 0x1 时，g(x)0,得 由 0a1 知 0ak1(),因此，从而 0 , 2 a n
23、xy yax n 2 2 1 2 求导得 aaa a a nnn n n nfxyxy)(.2), 2 (2则即 a n kf)( n k n k kk aa kfkf 11 2 1 )2()( 1 a a ff nff a n 1) 1 ()0( )() 1 ( . ) 1 ()0( )() 1 ( 4 27 )2()( 1 1 ff nff kfkf n k x x x 4 271 3 10 , 1)( 4 27 )( 2 xxxxg x ) 3 2 ( 4 81 )( xxxg则0)( 1 3 2 ; 0 x 3 2 0 xgxgx时，当）（时， 0) 3 2 (x x x 4 271
24、2 N k * a aa k kk 4 271 2 n k kk n k aa kfkf 1 2 1 1 )2()( 1 ) 1 ()0( )() 1 ( 4 27 14 27 14 27 4 27 1 1 ff nff a a a a a a a n n n k k 例例 7.7. （0505 湖南）湖南）已知函数xxxfsin)(, 数列 n a满足: 10 1 a, , 3 , 2 , 1n 证明 () 10 1 nn aa ; () 3 1 6 1 nn aa . 证明证明: : （I）先用数学归纳法证明01 n a，1,2,3, (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii)
25、.假设当 n=k 时结论成立,即01 k a.因为 0x0 成立.于是 3 1 ()0,sin0 6 nnnn g aaaa即 故 3 1 1 6 nn aa 例例 8.8. 已知函数. （）求的单调区间和极值； （）求证：. 解：解：（）定义域为， 令，令 故的递增区间 ，的递减区间 ( )2 ln(1)(0)f xaxx a ( )f x (1) lglglg 4lglg(1) 23 n n n n eee een n * ()nN 1, 2 ( )1 1 a fx x ( )0121fxxa ( )021fxxa ( )f x1,21a( )f x21,a 的极大值为 （）证：要证 即证
26、， 即证 即证 令，由（）可知在 上递减，故 即，令，故 累加得， 故 ，得证 （成都实外：王琳鑫（成都实外：王琳鑫 20202020- -0404- -0404） 本公众号：“高中数学王琳鑫”创建于 2020 年 3 月 6 号，创号宗旨：为 高考的莘莘学子和高中数学教师搭建交流学习的平台，提高数学素养！促进自身 业务水平的提高， 本公众号立足高考， 同时研究自招和竞赛， 由于本人水平有限， 恳请各位专家赐教，欢迎各位数学爱好者关注本公众号，也可加入我的扣扣群： 651329389. ( )f x2 ln221aaa (1) lglglg 4lglg(1) 23 n n n n eee een n (1) 111lg(1) 4 23lg n n n n en ne (1) 111 4ln(1) 23 n n n n en n 1111 13ln(1)(1) 23 n n nn 1 2 a ( )f x(0,)( )(0)0f xf ln(1) xx * 1 ()xnN n 111 ln(1)lnln(1)ln n nn nnn 111 ln(1)1 23 n n 1111 ln(1)ln(1)1(1)3 nn e nnnn 1111 13ln(1)(1) 23 n n nn
