1、20202021 学年第一学期期中考试 高三数学试题 (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 已知集合，若 ，则由实数 a 的所有可能的取值组成的 0,2A |10Bx ax BA 集合为（ ） A B C D 1 2 1 2 1 0, 2 1 0, 2 2 “”是“”的（ ）条件 (21)(1)0 xx0 x A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 3函数的单调减区间是（ ） cos2yx A B , ,Z 2 kkk 3 2 ,2 ,Z 22 k
2、kk C D 2 ,2 ,Zkkk , ,Z 44 kkk 4 九章算术中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为 阳马设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为 1 AA 顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） 1 AA A8 B16 C24 D28 5 设是等比数列的前项和，已知 ，则（ ） n S n an 36 0SS 18 9 a a A512 B8 C2 D1 6若实数 a，b，c 满足， ，则（ ） 3 5a 2 log 5b 53 c A B C D cbabcaacbcab 7 已知角 的终边经过点，则 （ ） (3,4)P cos 2 4 A
3、 B C D 31 2 50 31 2 50 17 2 50 17 2 50 8 设是定义在 R 上的函数，其导函数为 ，若，则不 ( )f x( )fx( )( )1f xfx(0)2020f 等式（其中 为自然对数的底数）的解集为（ ） ( )2019e1 x f x e A B C D ,00,02019,0,2019, 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 对于任意向量 a，b，c，下列命题正确的是（ ） A若 ab，bc，则 ac B若 abbc
4、，则 ac C若 ab，bc，则 ac D若|ab|ab|，则 ab0 10设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） , x y 23xy A的最小值为 4 B的最大值为 3 y xy xy 9 8 C的最小值为 D 的最小值为 2xy6 22 4xy 9 2 11北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提 供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫 星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可 以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ） cos5cos9
5、 ( )cos 59 xx f xx A函数的最小正周期为 B函数的图象关于点对称 ( )f x( )f x ,0 2 C对任意 xR，都有 D函数的最小值为3 ()( )fxfx( )fx 12已知正方体的棱长为 4，点 M，N 分别是棱 A1D1，CD 的中点，点 P 在 1111 ABCDABC D 四边形 ABCD 内，点 Q 在线段 BN 上，若，则（ ） 2 5PM A点 P 的轨迹的长度为 2 B线段 MP 的轨迹与平面的交线为圆弧 11 ADC B CPQ 长度的最小值为 DPQ 长度的最大值为 22 6 510 5 5 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
6、分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13已知函数，则 ,0 ( ) () 3 ,0 x x f x fx x 32 logf 14在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已 知三棱柱是一个“堑堵”，其中，则这个“堑堵”的外接 111 ABCABC 1 2ABBB 1,5BCAC 球的表面积为 15已知圆内接四边形 ABCD 中， ，则 1,2,2ABBCADDC CA CB uu r uur 16已知函数 f(x)(x2x)(x2mxn)的图象关于直线 x2 对称，则 mn ；f(x)的 最小值为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题 ：
7、本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 在；这三个条件中任选一个，回答下列 110 13,5aS 37 7,5aa 35 30,35SS 问题，已知等差数列满足 （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） n a （1）求数列的通项公式； n a （2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值 n an n S n Sn 18(本小题满分 12 分) 如图，在ABC 中，CDAB 于 D，且 3BDAD （1）若，求角 A 的大小； 2BCDACD （2）若，求的值 cos 1 3 A tanC
8、19(本小题满分 12 分) 如图，在正三棱柱中，D，E，F 分别为线段 AC，A1A，C1B 111 ABCABC 1 2 3 ,2 3 ABA A 的中点. （1）证明：EF平面 ABC； （2）求直线 C1B 与平面 BDE 所成角的正弦值. D B A C (第 18 题) B B1 C1 D F E A1 CA (第 19 题) 20(本小题满分 12 分) 如图所示的某种容器的体积为 18 dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆 柱的底面半径都为 r dm，圆柱的高为 h dm已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造 2 3/dma 元 价为，圆柱底面的造价为 2 /dma 元 22 /dm 3 a 元 （1）将圆柱的高 h 表示为底面半径 r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径 r 为多少？ 21(本小题满分 12 分) 已知函数的图象在处的切线方程为 xy30 ( )lnf xxaxb 1x （1）求和的值； a b （2）对，成立，求实数 的取值范围 0 x ( )e3 x f xxxm m (第 20 题) 22(本小题满分 12 分) 已知函数，其中 是自然对数的底数 e x f xx e （1）求的最值； yf x （2）设函数有且只有 2 个不同的零点，求实数的取值范围 lneh xf xkxk
