1、早期的数系早期的数系和负数和负数 似乎是古希腊人最早建立起了算术的数学理论爱奥尼亚学派(在约公元前 600 年由泰 勒斯(Thales)建立)和毕达哥拉斯学派(由毕达哥拉斯在约 50 年以后创立)都发展了内容广 泛的几何(特别是毕达哥拉斯学派)和算术理论是希腊人首先认识到正整数(或计数)1，2， 3，形成一个无穷的集合，并可在其中进行基本的加和乘的算术运算虽然他们不承认负 数是数，但他们懂得如何使用减号，如： (72)(63)(76)(73)(26)(23) 他们的做法可能略有点像老式学堂用 的顺口溜的意思：“负负得正，正负得负；无须证明，只管记住” 然而希腊人不把5 这样的对象看做一个数是有
2、相当理由的 对他们来说， 数是与距离、 面积和体积的量度紧密联系的 代数的法则通常用几何的术语进行思考， 诸如将各种面积拼 补粘合(见图 4) 希腊代数，希腊人把熟知的代数等式，如 2 ）（ba 2 a2ab 2 b用纯几何的形式加 以验证为了得到阴影面积，就要从整个面积( 2 a)出发，减去由和组成的长方形(ab) 及和组成的长方形(也是 ab)，再加上小正方形( 2 b)以补偿多减去的重合部分这就 给出了上面的等式 但是即使希腊人不需要负数，他们却肯定还需要分数或如数学家所称的有理数(正) 有理数是形如 a/b 的数，这里 a 和 b 都是自然数因为 b 可以为 1，所以有理数包括自然数
3、(自然数构成了有理数的一个子集) 希腊人原来一直相信(正)有理数系对解决几何问题已经 足够了，而到公元前 6 世纪的某一天，他们却惊恐地发现根本不是这么回事特别是人们发 现 2 的平方根不是有理数， 这就意味着有理数不能用来准确量度诸如底和高都是 1 个单位长 的直角三角形的斜边(见图 5)(为了能够量度所有的几何长度，就需要实数我们很快 会讲到更多有关实数的事)这一发现实际上标志着希腊人终止了在算术方面的任何进步， 他们从此把数学限定在几何构造的范围内 毕达哥拉斯定理对任何直角边是 a 和 b，斜边是 h 的直角三角形，公式 2 h 2 a 2 b 负数负数 最早用到零和负数的自成系统的代数
4、学是由 7 世纪的印度数学家所创立的 他们用正数 和负数去处理包括借贷在内的财务问题 他们不仅最早使用了现代意义上的零， 而且还写出 过一些含有负数(在数字上加一点来表示)的方程， 这是负号的早期表示法， 并明确地提出了 符号法则(正乘正是正， 正乘负是负， 负乘负是正) 他们还认识到每个正数有两个平方根 一个是正的，另一个是负的 印度人的这些早期工作并没有影响到 14 世纪到 16 世纪文艺复兴时期的欧洲数学家 后者沿 袭着古希腊的传统， 乐于使用负号但却不能像印度人那样接受负数 方程的负根被叫做“虚 构的根” 到了 17 世纪，一些数学家开始使用“负数”，但这种趋势受到了抵制，有时反对还来自数 学界的名流列涅笛卡儿(Ren Descartes)讲过负根是“不真实的根”；帕斯卡(Blaise Pascal)同样认为比零小的数是不存在的；莱布尼茨(Gottfried Leibnitz)则同意负数会导 致荒谬的结论，然而他也为负数辩护说：在进行计算时负数是有用的；欧拉接受了负数， 的数去分 a 时，结果就要大于无穷 只是到了 18 世纪，在代数中应用负数(用负号作标记)才最终流传开来，尽管那时许多 数学家对负数还是感到不舒服，只要可能就不遗余力地避免使用负数的确，只有接受了数 的公理化思想以后，负数才真正有了意义这种说法同样适用于复数，但在我们讨论它们之 前，应该说说“实数”
