1、第一章教学参考资料第一章教学参考资料 一、有理数的含义一、有理数的含义 整数和分数统称有理数，很多学生想知道“为什么将这些数取名有理数 ” ？要回答 这个问题并不难，只需要略微多了解一点数学的发展史就可以了 “有理数”是一个外来词，是由英语 rational number 翻译而来的rational number 的准确含义是“能表示成两个整数的比的数” ，即“凡是能表示成两个整数的比的数就是有 理数” ，或者说“凡能用分数的形式来表示的数就是有理数” ，因此，rational number 相对 准确地翻译可以是 “比数” ， 可惜的是我们的先辈并没有把 rational number 翻译
2、为 “比数” ， 而是按照 rational 一词的另一意思“有理的” ，把 rational number 翻译成了“有理数” ， 而且这种称呼一直沿用到今 如果我们的老师能给学生一些类似的解释， 相信学生不会再为 这个名称而苦恼 在小学的时候，我们的学生都能把“整数表示成分母是 1 的分数” ，而且大多数学生也 都能把有限小数和循环小数表示成分数的形式这样，整数、分数、有限小数、循环小数都 属于有理数教科书中说“整数和分数统称有理数” ，其中当然包括有限小数和无限循环小 数 例例 把 3, 0.2, 0.3，0.231 ，0.231，0.21341表示成分数 思路分析思路分析： 3= 1
3、3 , 0.2= 1 5 ，0.3= 31 93 , 0.231 23177 999333 ，0.231= 229 990 2312 990 ， 0.21341 21341 21 99900 1066 4995 特别提醒特别提醒：把循环小数化成分数是有规律可循的下面我们用方程的思想，借助具体的 例子来总结这个规律： 设 0.231 x，现将左右两端同时乘以 1000 得 231. 231 =1000 x 于是，由，得 2311000 x- x 即 999x231 故 x = 231 999 , 约分，得 x 77 333 可见0.231 转化成分数是 231 999 于是在此基础上给出纯循环小
4、数化为分数的一般方法 就不困难了请老师引导学生，尽量让学生自已从中归纳得出相应的一般方法来 设0.231y，则有 10y=2.31 1000y=231. 31 由得 1000y-10 y =231-2 即 y= 229 990 2312 990 可见0.231转化成分数是 229 990 2312 990 ， 在此基础上给出混循环小数化为分数的一般 方法是不困难的请老师们引导学生自己去归纳 二、任意两个有理数之和、差、积、商仍为有理数二、任意两个有理数之和、差、积、商仍为有理数 证明证明：因有理数都可以表示成两个整数的比的形式，故不妨设 n a m ， l b k ， 其中 m，n，k，l均为
5、整数，且(m，n)=1，(k，l)=1，于是 nlnkml ab mkmk 由于m，n，k，l均为整数， 因此nkml与mk均为整数， 故 nkml mk 必为有理数， 故ab 为有理数 对于两个有理数之差、积、商仍为有理数，可以用类似方法证明，这里从略 三、三、 任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数 证明证明：假设任意两个有理数a、b,设ab，它们之间仅有有限个有理数，不妨设仅有n 个有理数，这n个有理数按从小到大的顺序排列依次是ac1c2c3c4cnb 由于任意两个有理数之和与积仍是有理数，因此当cn是有 理数，b是有理数时， 2 n cb 也是
6、有理数， 而且acn 2 n cb b 即在有理数a与b之间找到了另外一个不同于c1c2c3 c4cn的第n1 个有理数 2 n cb ，而这正好与假设矛盾 因此，任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数 四四、 按要求，数正方形按要求，数正方形 图2 图1 1 在图 1 中，所有正方形的个数是多少？ 思路分析思路分析：要把图中的正方形数清楚，显然以边长的不同数值来分类进行统计要方便 一些 解解：图 1 中，设边长最小的正方形的边长为 1，则边长为 1 的正方形共有 4 216 个； 边长为 2 的正方形共有 3 29 个；边长为 3 的正方形共有 224 个；边长为 4 的正方形仅 有 1
7、21 个 于是图 1 中所有正方形，一共有 1 222324230 个 2 在图 2 中，以图中各点为顶点一共能画出多少个正方形？ 思路分析思路分析：本题与第 1 题相比，略有不同在本题中，除了第 1 题所涉及到的正方 形之外，还有边长为2、5、10、22等几种新的情形 解解：由 1 可知，边长为 1 的正方形共有 4 216 个；边长为 2 的正方形共有 329 个； 边长为 3 的正方形共有 2 24 个；边长为 4 的正方形有 121 个 此外，还有边长为2的正方形共有 3 29 个，如图 3 所示；边长为 5的正方形共 有 22 28 个，如图 4 所示；边长为 10的正方形共有 2
8、个，如图 5 所示；边长为 22 的正方形 1 个，如图 6 所示 故图 2 中所有满足条件的正方形一共有 30982150 个 特别提醒特别提醒：这里的两个问题从本质上说并不难，但是对初一的学生来说，要能够把其中 所有的正方形都按要求一一数清楚， 可不是一件容易的事 因此， 老师需要引导学生按 “类” 去数每个图中可能有的正方形这样做的目的在于逐渐渗透“分类讨论的数学思想” ，为学 生的后续学习作铺垫 至于问题讨论过程中可能涉及到的2、5、10、22等数，可以根据学生的实际 可能来处理， 只要学生能认识它们是一些正方形的边长即可， 不必在此向学生介绍这些无理 图6 图5 图3 图4 数 五、
9、关于“负负得正”乘法运算法则五、关于“负负得正”乘法运算法则 “为什么负负得正”要从初等数学的角度给学生讲清楚，是一件非常不容易的事情可 以参考中学数学教学参考2005 年第 3 期 P3P4 的 “负负得正”的乘法法则可以证明 吗？一文，文中最后指出： “综上所述，笔者认为， 负负得正的乘法法则是数学中的一 种规定（定义） ，它不能通过逻辑证明得出然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实 际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景教学中适当地介绍这些背景，可以帮助学 生认识乘法法则的由来与合理性，但是不能将这样做认为是证明了这个法则 ”此外，如果 能够参阅浙江大学出版社出版、沈钢编著的高观点
10、下的初等数学概念一书的第一章、第 二章的相关内容，也许你还能获得一些新观点 我们认为这个问题对初一的学生来说，只要学生能够理解一些具体实例，并能认可“负 负得正”即可，不必再做过多的讲解或过高的要求下面引用一个有实际背景的例子，让学 生体会一下“负负得正”的实际背景 如果水位一直以每小时 2cm 的速度下降，现在的水位在水文标尺刻度的 A 处，试问 3 小时前水位在水文标尺刻度的什么位置？ 为了区分水位变化的方向，我们可以规定水位上升为正，下降为负；为了区分时间，我 们规定现在以后为正，现在以前为负显然 3 小时以前水位在水文标尺刻度的 A 处上方 6cm 处，于是有（2）（3）=6 这虽然是
11、一个“有实际背景的原型” ，的确有助于学生理解“负负得正”的乘法法则， 但绝对不能就此认为这是对“负负得正”的证明因为数学中的证明不是个例的验证，是需 要依据已有的公理、定理、定义等进行合乎逻辑的推证的 六、六、 “科学记数法科学记数法” 课题引入的设计课题引入的设计 （一）快速记忆游戏 目的：激发学生对数字或数据的兴趣 下面有几组数据，你能过目不忘吗？一闪而过之后，你能记住多少，请大家一起来试一 试，看谁记得多！ 中国国土面积有 9 600 000 平方公里； 中国人口约有 1 300 000 000 人； 光的速度约为 30 0000 000 米/秒； 太阳的半径约为 69 600 000 000 米； 世界的总人口约有 6 100 000 000 人； 银河系的直径为 925 000 000 000 000 000 公里 （二）讨论怎样有效地读出以上各个数据，顺势引出新课 科学记数法
