1、2.5.1 2.5.1 等比数列的前等比数列的前n项和教学设计项和教学设计 兰州二中 王雯倩 一、教材分析一、教材分析 1.1.在教材中的地位与作用在教材中的地位与作用 等比数列的前n项和是必修 5 第二章数列中的一个重要内容，从知识体系来看，它不仅是等差 数列的前n项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而 且还为后继深入学习提供了知识基础。 错位相减法是一种重要的数学思想方法， 是求解一类混合数列前n项 和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中 抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想
2、方法，如分类讨论、错位相减等 在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款 的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是 学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2 2教材编排与课时安排教材编排与课时安排 提出问题探究等比数列前n项和公式公式运用问题解决。 本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为 2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数 列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内 在联系。 二、教学目标二、教学目标 依据课程标准，结合学生的
3、认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有 关的问题。 感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分 类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。 通过经历对公式的探索过程， 对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、 勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。 三、重、难点分析三、重、难点分析 1.1.教学重点教学重点 等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。 2.2.教学难点教学
4、难点 等比数列前n项和公式推导方法的理解。 四、学情与教法分析四、学情与教法分析 1 1学情分析学情分析 从学生思维特点和认知结构看，学生已经深入学习过函数、 等差数列及其前 n 项和、 等比数列等知识， 会使用类比、分类讨论等数学方法解决数学问题。但在尝试探究解决数学问题的过程中往往缺乏冷静、深 刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 2 2教法分析教法分析 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用多媒体课 件辅助教学，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用， 并辅以变式教
5、学，注意适时适当讲解和演练相结合。 五、教具准备五、教具准备 多媒体课件 六、教学过程六、教学过程 30 21 n T 教学教学 环节环节 教学过程教学过程 设计意图设计意图 教学内容教学内容 教师活动教师活动 学生活动学生活动 创创 设设 情情 境境 哈利波特后传 马尔福借给哈利波特的总金额 30 100 100100=3000 n S 个 万 哈利波特还给马尔福的总金额 2329 30 12222T 30 2T 232930 22222 得： 结合多媒体画 面展示故事情境， 展示结束后引导、 启发学生分析、思 考问题. 聆听故事，感 受数学问题的情 景化， 趣味吸引的 同时有自己的猜 测，
6、 并在教师的引 导、 启发后展开自 己的思维分析. 以故事引题, 激发学生学习兴 趣和热情， 调动学 习积极性， 领悟数 学应用价值. 探探 究究 问问 题题 问题 1：在这个故事中出现了一个首项 为 1， 公比为 2的等比数列前 30项的和， 赫敏是如何将 30 项的和转化成为了两 项的差值的？ 问题 2： 你觉得这种方法可以如何命名? 问题 3：若数列 n a是首项为 1 a，公比 为q的等比数列，能否仿照上述方法求 出它的前n项和 n S？ 利用问题 1 引 导学生思考故事中 所提供的计算方法 具有怎样的特点， 分析计算过程，为 下一步求和公式的 推导奠定基础. 借助问题 2 引 导学生
7、从名称上体 会错位相减法. 通过问题 3 引 导启发学生联想、 类比，鼓励学生由 特殊到一般，自主 探究等比数列前 n项和公式. 观察、尝试、 讨论、探究，案例 分析在师生相互 交流中思维逐步 展开，动笔演算， 感受方程思想和 错位相减法的奥 妙， 体会数学的应 用价值. 在教师指导 下，从特殊到一 般，从已知到未 知，步步深入，自 己探究公式， 体验 到学习的愉快和 成就感. 通过实例的探 究解决， 使学生感 受数学的应用价 值， 同时也为下面 的学习作好铺垫， 在特殊具体的问 题情境中蕴涵着 一般的规律和方 法， 激励学生模仿 的前提下勇于创 新. 建建 构构 数数 学学 等比数列前 n
8、项和推导过程 123nn Saaaa ， 1 1 n n aa q 21 1111 n n Saa qa qa q n qS 21 1111 nn a qa qa qa q 得： 11 1 n n qSaqa 即 11 1 n n a qa S q 整理得： 1 1 1 n n a q S q 问题 1：公式的推导过程是否合理？ 问题 2：当 1q 时，数列是否为等比 数列？其前n项和公式是什么？ 问题 3： 如何表示等比数列的前n项和 公式？ 引导启发学生 联想、 类比、 抽象， 鼓励学生由特殊到 一般，自主合作探 究等比数列前 n 项 和公式， 通过反问， 引导学生分类讨 论，突破难点.
9、在用错位相减 法推导后，为开阔 学生思维视野，教 师要及时总结方 法，并引导学生分 析， 师生合作交流. 受引例的启 发， 基本能用错位 相减法推导出结 果，但不完善，在 老师的提示下， 经 历分类讨论的思 维过程. 通过积极主 动的课堂数学思 维活动的参与， 进 一步提升自己认 知结构的深刻性 和广泛性， 增强自 己的数学运算能 力. 经历数学发 现的过程， 体会数 学建构所带来的 成就感， 并学会交 流，学会合作. 发挥学生学 习主体性和参与 积极性， 从特殊到 一般,从模仿到创 新， 有利于学生的 知识迁移和能力 提高， 一方面使学 生加深对知识的 认识， 完善知识结 构， 另一方面使学
10、 生由简单模仿接 受变为对知识的 主动认识， 从而进 一步提高分析、 类 比和综合的能力. 多种方法推导， 扩 展学生思维视野， 变式教学有利于 培养学生发散思 维和创新精神. 教学教学 环节环节 教学过程教学过程 设计意图设计意图 教学内容教学内容 教师活动教师活动 学生活动学生活动 建建 构构 数数 学学 归纳小结 等比数列的前 n 项和公式 1 1 1 1 n n na Saq q 1 1 q q 公式的理解 利用 1 a,q,n可以求出数列的前 n项和 当1q 和1q 时的求和公式是 各不相同的 错位相减法：乘公比（作用是构造 许多相同项）后错开一项后再减。 提问，师生对 话交流，引导
11、学生 分析、剖析公式的 内在结构，注意强 调注意点. 归纳小结、 理 解提升、反思整 理、强化记忆，加 强认知. 剖析公式中 的基本量及结构 特征，识记公式， 及时总结、巩固、 强化探究成果， 提 高认知的深度. 基基 础础 巩巩 固固 例 1 根据下列各题中的条件， 求相应的 等比数列 n a的前n项和 n S （1） 1 3,2,6aqn （2） 14 1,8,10aan 在充分的理解 公式内容后，出示 两道基础练习题， 引导学生对公式进 行直观应用. 模仿套用公 式作答， 强化对公 式的理解， 由两名 同学进行板演， 规 范解题. 直接套用公 式， 强化对公式 的理解和识记， 由 两名同
12、学进行板 演， 进一步规范书 写，巩固知识. 例 2 已知 n a是等比数列，请完成下 表： 题号 1 a q n n a n S （1） 1 2 1 2 8 （2） 27 2 3 8 （3） -2 5 44 逐 一 出 示 题 目，引导学生思考 1 a,q,n， n a， n S 在计算过程中的相 互转化，适当点拨 提示，引导学生分 析， 启发学生思维， 师生合作交流，强 化学生对知识的应 用和理解，提升学 生的思维品质. 自主练习， 在 老师的指导和启 发下， 训练自己的 思维， 强化对知识 的应用， 感受变式 教学对思维的熏 陶，达到巩固、灵 活运用知识的目 的. 进一步研究 公式特点，
13、 增强公 式的应用， 促进学 生数学认知结构 的形成， 深化对公 式的认识和理解。 借助方程思想， 理 解“知三求二”在 实际解题中的应 用. 学学 以以 致致 用用 例 3 某商场今年销售计算机 5000 台. 如果平均每年的销售量比上一年的销售 量增加 10%，那么从今年起，大约几年 可使总销售量达到 30000 台？ 引导学生利用 本集所学知识解决 实际问题. 阅读并思考， 将实际问题抽象 成为数学问题并 提出解决方案. 回归课本例 题， 与情景引入相 呼应， 是学生体会 数学源于生活又 应用于生活. 归归 纳纳 反反 思思 本节课你有哪些收获？ 1.等比数列前n项和公式的推导过程 类比
14、思想 错位相减法 2.等比数列前n项和公式 1 1 1 1 n n na Saq q 1 1 q q 分类讨论 3.等比数列前n项和公式的应用 知三求二 提问，在师生相 互交流的同时打开 课件， 帮助学生整 合所学知识. 回忆总结所学 知识，加深印象. 整理、 归纳所 学知识， 完善学生 认知结构和知识 体系， 明确本节学 习内容. 教学教学 环节环节 教学过程教学过程 设计意图设计意图 教学内容教学内容 教师活动教师活动 学生活动学生活动 方程思想 课后课后 作业作业 1.教材 58 页习题 2.5 2.查阅资料，了解等比数列前n项和公式的其他推导过程. 板板 书书 设设 计计 2.5.1
15、2.5.1 等比数列的前等比数列的前n项和项和 1.等比数列的前n项和推导过程 例 1 2. 等比数列的前n项和公式 例 2 1 1 1 1 n n na Saq q 1 1 q q 课课 后后 反反 思思 本节课是等比数列的前 n 项和的第一课时，学生在学习了等比数列的概念、等差与等比数列 的通项公式及等差数列的前 n 项和公式前提下学习的， 对于本节课所需的知识点和探究方法都有了一 定的储备。在完成了既定的教学目标后现对本节课的各教学环节反思如下： 1. 新课引入： 以哈利波特的故事作为引入背景起到了激趣导入的作用，使学生在轻松愉悦的背景下开始新 课的学习，同时感受数学与实际生活之间密不可
16、分的联系，整体效果比较好，达到了预期的效果。 2. 探求新知： 这是在本节课的教学设计中的一个创新，没有采用学生自主探究求和公式的方法，而是给出了等 比数列前 30 项和的计算过程，学生以小组为单位类比探究等比数列前n项和的公式。这样设计的目 的从教学过程来说降低了探究的难度， 从数学方法来说引入了类比的数学思想完成教学， 从教学效果 来看，顺利的完成了预期的教学目标，但也存在一定的不足：首先，学生课堂讨论、课堂参与度没有 达到预期的效果，参与度有欠缺；其次，等比数列前n项和公式的推导过程不仅仅是错位相减一种， 这种引导限制了学生的思维方向。针对这两个问题，课后思考的改进措施是：教师更多的参与
17、到课堂 讨论中去，不仅仅做引导和组织者，还要做参与者，特别要关注到那些没有交流沟通的小组；在课后 增加探究性学习作业，鼓励学生查阅资料，了解等比数列前n项和公式的其他证明方法，弥补课堂教 学中方法单一这一不足。 3. 知识梳理： 在公式推导完成之后，教师与学生一起对公式的形式、内容及使用方法做了深入的讨论和分析， 这是在公式推导课上必不可少的环节，但依然存在教师预设，学生按部就班回答的问题，没有充分激 发学生自主探究的学习积极性，讲授过多，聆听太少，需要在今后的课堂中尽可能的给学生留有思考 与表达的时间。 4. 课堂练习： 采用讲练结合的方法，一定不能忽视教师板演在整节课的教学中的重要作用。
18、5. 课堂小结： 个人认为对学生情感、态度、价值观的培养不是一朝一夕工作，而是一个融入在整个教学过程中 的， 如何让学生感受到， 这就需要学生自己能够说出来， 这也是在小结环节我引导学生从知识、 思想、 方法三个角度来回顾本节课收获的用以所在。 在实施教学的过程中， 这一环节达到了意想不到的效果， 结合引例学生谈了方方面面的收获，达到了预期的效果。 专家点评专家点评 兰州二中的王雯倩老师本节课讲授的内容为等比数列前 n 项和在课程设计和课堂教学中有以下特 点： 1.课前准备充分，教材挖掘深刻、透彻，整堂课中，自始至终都体现出新课改的理念：教师的主导作 用和学生的主体地位，这也是本节课的最大的亮
19、点。教学设计中时刻体现出了以学生为中心，给予学生创 设了良好的思维场景，提供了充足的思考空间，设计了自由的合作平台。课堂的具体实施中，教师以哈利 波特和他的小伙伴之间的故事引入新课，生动有趣，有效地吸引了学生的兴趣，为接下来的师生合作探求 新知奠定了基础 2.本节课的第二个亮点是问题的设计巧妙，有梯度，高而不难，环环相扣，层层推进，最后能水到渠 成的得出所要的结论。 教师在课前引入的时候直接给出了 229 1222的求解方法， 引导学生通过观 察讨论得出具体的步骤，从而通过合作探究的方式讨论得出等比数列前n项和的公式，教师运用并向学生 渗透了特殊到一般，类比与转化、分类讨论等数学思想和方法，不知不觉地培养了学生的观察、归纳、抽 象、概括等逻辑思维能力，运算能力。 3.教师授课语言干净利落，尽管声音不高，但不重复，无啰嗦，语速适中。教师提出每一个问题后， 均能给学生留出思考、运算的时间，教师不催、不直接给出答案。当然，由于学生的素质较高，所以每个 问题经过学生的思考都能得到正确的结果。 总体来说，这是一节比较成功的示范课。
