1、1 1 / 1313 4 4.4 .4 对数概念及其运算对数概念及其运算（1 1） 上海交通大学附属中学 陶 XX 一、一、教学内容解析教学内容解析 对数概念及其运算（1） 是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四 章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算 是在学习了“指数幂 x a的意义及运算性质” 、 “指数函数的性质”基础上进行的， 同时本节也是学习对数函数的准备知识. 对数既可以看作是一个算式， 又可以看作是一个数值. 与指数幂具有共同的 本质指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计 算技术，被恩格斯誉为 17 世纪三大重要数学成
2、就之一，在数学和其他许多知识 领域都有广泛的应用. 虽然随着计算工具的飞速发展， 它的地位已由计算机 （器） 逐步代替，但对数函数在数学中的地位是不可动摇的. 对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、 直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀. 【教学【教学重点重点】 理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化. 二、二、教学目标设置教学目标设置 理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 知道常用对数、自然对数的概念； 掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系； 经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常
3、用性质； 会使用计算器计算对数的值； 经历“由具体到抽象” 、 “从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学 运算、直观想象等核心素养. 三、三、学生学情分析学生学情分析 本节课为借班上课， 课前未与学生有过接触 授课对象为上海市一所普通高 中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班” ，普 通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难.授课学 2 2 / 1313 段为高一学年上学期，学生曾利用暑假复习了幂指数的运算性质，已经知道指数 幂() x axQ的意义及其运算性质，但并不理解指数幂() x axR的意义，不知道 指数函数(01) x yaaa
4、且的性质，这些不足可能导致学生难以理解对数的意 义，以及难以掌握底数、真数、对数的允许值范围. 学生缺乏以函数知识为载体 的学习 “对应关系”的经历，缺乏运用“观察-归纳-猜想-论证”的学习经验. 【教学重点】【教学重点】 理解和掌握对数的概念. 四、四、教学策略分析教学策略分析 张奠宙先生曾提出“概念教学要揭示数学的本质” 、 “数学概念教学的核 心是它的价值、意义和作用”. 本节课是一节概念课，教学策略的制定也是 遵循以上基本原则. 1. 基于知识本原的问题设计 对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工 具的追求. 其关键是利用对应关系 k qk： 012 ,0,1,
5、2, , n qq qqn 并建立起如下对应法则： （1） mn qqmn； （2） mn qqmn； （3） n m qm n； （4） m n m q n . 利用上述对应法则降低运算层级，达到简化运算的目的. 以 “对应关系 k qk”（而不是运算） 为依据引入对数概念， 虽然观点高， 但“自然度”不够，难度大. 因而，本节课的引入借助历史发展背景“简化大数运算”的需求 创设情境，但在生成对数概念的过程中，通过数学内外的发展需要，先抽 象出数学问题 “一般地， 我们要找到x， 使得 x aN成立， 这样的x存在吗？” ； 再类比为了解决“在 n xa中，已知, n a，如何表示x？”而引
6、入 n a一样，引 入符号logaN表示0,1 b aN aa且中的b， 从而得到一个数学的研究对象； 3 3 / 1313 接下来从“对应” 、 “指数幂的逆运算” 、 “数的表示”这三个角度设计问题， 深化理解对数的概念；再通过计算-观察-猜想-论证的过程，应用对数的概念， 得出对数的基本性质；最后再回到对数产生的历史，站在现代的视角下，体会对 数的应用及其意义. 其中驱动课堂活动的问题设计，遵循以下思维导图： 2. 符合学生认知规律的教学活动 一个新概念的生成和掌握不是一蹴而就的，是在充分激发学生探究的兴 趣的前提下，不断启发学生对知识的理解，以旧引新，以新强旧，层层递进， 体现的是理性
7、思维的作用. 本节课借鉴已有经验，抽象出“对数”这一数学研究对象，发现和提出 对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题. 学生经历“现 实背景定义性质应用”过程，鼓励学生采用独立思考、自主探 究、合作交流等方式展开学习. 具体来说，在充分尊重学生的认知规律下， 本节课设置以下四个教学环节： 为什么学？为什么学？ 简化复杂运算的需要简化复杂运算的需要 已有哪些知识储备？已有哪些知识储备？ 指数幂意义及运算性质指数幂意义及运算性质 什么是对数？什么是对数？ 对数概念的生成对数概念的生成 对数究竟表示什么？对数究竟表示什么？ 深化理解对数概念深化理解对数概念 对数有什么性质？对数有什么
8、性质？ 变化中的不变性变化中的不变性 4.4.总结与思考总结与思考 回顾对数发展历史，总结研究一个代数对象的基本过程 辩证看待对数的应用及其意义，提升人文情怀 3.3.对数概念的再认识对数概念的再认识 通过实例，理解并掌握对数概念及其常用性质 从特殊到一般，经历计算-归纳-猜想-论证的过程 2.2.对数概念的初步认识对数概念的初步认识 温故知新，从具体到抽象，得到对数的概念 培养提出和发现数学问题的能力，发展数学抽象素养 1.1.创设情境引入问题创设情境引入问题 简化大数运算的需要 取材于对数发展历史背景，激发学习的内动力 4 4 / 1313 【环节【环节 1 1：创设情境引入问题】：创设情
9、境引入问题】 在环节 1 中，为了充分激发学生研究的兴趣，借助“光年”计算引入“简 化大数运算”的实际需求，但考虑到若是以“对应关系”为依据引入对数概 念而不是从运算体系出发而得到，与中学生的认知水平不适应. 故而“简化 大数运算” 只作为历史背景， 在引例中从特殊问题出发， 例如28192 x 则13x ； 一般地，当0MN 、时，满足方程2,10 xx MN，x？再抽象出数学问题： 01,0,? x aaa NaNx当且时，已知方程中， 在环节 2 中，考虑到学生缺少必要的指数函数作为前继知识，但要回答 上述问题，就必须要承认事实： 010,. x aaNaN在且时，只要方程总有唯一解 本
10、节课设计了两个具体的教学活动，目的是用比较生动、具象的方式让 学生体会结论的正确性. 一个是在研究例子“102018,? x x”时用“逐步细 分”的想法，借助表格，初步体会x的存在性；另一个是用几何画板展示指 数函数的图像性质. 在这一部分，学生经历从具体到抽象的过程，对培养发现和提出数学问 题的能力，发展数学抽象素养都有作用. 【环节【环节 2 2：对数概念的初步认识】：对数概念的初步认识】 在环节 2 中，通过类比根号这一数学符号的引入，自然的引入对数这一 新的数学符号， 一方面降低了新的数学符号给学生带来的陌生感；另一方面 让学生能从对数符号的引入中初步体会对数也是指数幂的逆运算. 此
11、时教师 介绍算法精蕴中对数、真数名称的由来，从“对应”的角度，让学生初 步理解对数概念. 例 1 及其变式是从“对数是指数幂的逆运算”这个角度让学生理解对数 的概念，通过指数到对数、对数到指数的改写，使学生逐渐认识到： 01aa当且时，指数式 b aN与对数式logaNb只是对同一个事实的不同 表示形式而已. 例 1 的前 3 小题来源自课本例题，第 4 小题为自编题，除了 引出常用对数的概念，还恰好与引入对数概念时所举的例子相同，既解决了 5 5 / 1313 之前如何表示x的问题，又为最后介绍常用对数表埋下伏笔. 例 2 是从“对数是数的表示”这个角度让学生进一步理解对数的概念， 通过求对
12、数的值，进一步强化认识：对数值即为指数幂中的指数，解决陌生 对数问题就是化归为熟悉的指数幂问题，二者本质是相同的. 在这一部分，学生从三个角度来逐步认知并掌握对数的概念，在例题的 总结与反思中形成对“同底的对数式与指数式”关系的认识，对数的概念从 形式的改写，到数值的计算，再到与已有知识的联系，学生的思维水平螺旋 上升. 【环节【环节 3 3：对数概念的再认识】：对数概念的再认识】 在环节 3 中，对例 2 的回顾与反思，既是学生利用对数概念从特殊到一 般抽象出对数基本性质的过程，又是检验学生是否确实理解并掌握了“对数 与同底幂指数的本质相同”这一事实. 这一环节学生采取自主探究、合作交流的方
13、式展开学习，学生在对数概 念的应用中再一次加深对定义的理解，在计算-观察-猜想-论证的过程中增强 了研究问题、解决问题的能力. 【环节【环节 4 4：总结与思考】：总结与思考】 在环节 4 中，用计算器计算对数的值，既是对“对数是数的表示”再一 次的感知，又启发学生利用现有的计算工具继续提出问题，思考并探究对数 的其他性质，培养学生发现和提出问题的能力，提升数学抽象、直观想象素 养. 最后的总结，除了让学生从知识上、方法上对本节课的收获进行梳理， 总结研究一个代数对象的基本过程，又回到了“简化大数运算”的历史背景 中，在现代数学的观点下辩证的认识对数概念及其性质具有怎样的作用和意 义，提升人文
14、情怀. 6 6 / 1313 五、五、教学过程教学过程 1. 创设情境、引入问题 对数的产生源于天文学的发展. 【引例】一光年到底有多远？ 已知299792.468(/ )km s是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数（假 设一年 365 天） ， 因此两数的乘积299792.468 31536000=9,454,255,270,848即为 所求. “光年”是天文学中的距离单位. 在 16 至 17 世纪，天文学开始迅速发展， 天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题 主要就集中在复杂的数据运算上. 因此， 改进运算方法成为了天文学家们的当务 之急.
15、设计意图：设计意图：结合历史发展中对数发明的本源问题结合历史发展中对数发明的本源问题“简化大数运算”“简化大数运算” 的需要，激发学生的研究兴趣的需要，激发学生的研究兴趣. . 当时的数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幂是有效的方法. 接下来，观察表 1. b 12 13 14 15 26 27 =2bN 4096 8192 16384 32768 67108864 134217728 表 1 【问题 1】在不用计算器的前提下，根据表 1，如何计算8192 16384=? 【小结】完成0,0MN MN计算的过程如下： MN 12 22 xx 12 + 2x x M 1 x 12 x
16、x N 2 x 把复杂数据的乘法变成了较小的数的加法. 设计意图：初步体会简化运算的核心设计意图：初步体会简化运算的核心对应关系对应关系 k qk. . 7 7 / 1313 【问题 2】在不用计算器的前提下，如何计算299792.468 31536000？ 这里的关键是，当0MN 、时，满足方程2,10 xx MN，x是否存在？如 何表示？ 例如102018 x ，借助不断的“细分” ，可以观察到，确实存在这样的x. 设计意图：从设计意图：从特殊到一般特殊到一般，由具体到抽象，引导学生抽象出数学问题由具体到抽象，引导学生抽象出数学问题. . 2. 对数概念的初步认识 【问题 3】一般地，我们
17、要找到x，使得 x aN成立，这样的x存在吗？ 要回答这个问题， 要想保证对所有的xR， x a都有定义， 首先要假设0a， 还要假设1a ，因为如果1a ，1x就恒等于 1，方程无解或者有解但不唯一. 虽然目前还没有学到，但我们必须承认这样的事实：由指数函数的性质，随 着x递增取遍所有实数， x a会取遍所有正实数，并且是一一对应的.于是，不难 得到如下结论： 010,. x aaNaN在且时，只要方程总有唯一解 不妨回顾一下，如何表示 3 2018x 的解. 我们利用数学符号“ 3 ” ，来表示 3 2018x ；那么现在，对于32018 x ，我们也需要引入一个新的数学符号，来 表示x.
18、 设计意图：借鉴已有知识，在研究“指数幂设计意图：借鉴已有知识，在研究“指数幂0,1 x aaa的意义及其运的意义及其运 算性质算性质”的基础上，类比引入的基础上，类比引入“ 3 ”是为了表示方程是为了表示方程 3 2018x 的解的解， 自然的引入对数概念自然的引入对数概念. . 8 8 / 1313 【定义】【定义】一般地，如果01a aa，的b次幂等于N，即 b aN，那么数b 叫做以a为底N的对数对数（logarithm） ，记作logaNb，其中a叫做对数的底数底数 （base） ，简称底底，N叫做真数真数. 数理精蕴 中把对数称为 “假数” 取“借来用一下”之意，N称为“真数”.
19、“真数”一直沿用至今，而“假数”后来被称为“对数”取“对应”之意. 设计意图：介绍对数名称的设计意图：介绍对数名称的史书史书记载，记载，引例中渗透的“对应”之意引例中渗透的“对应”之意. . 例例 1 1 把下列指数式写成对数式： （1） 4 5625； （2） 5 1 2 32 ； （3） 1 5.73 3 m ； （4）102018 x . 解：（1） 5 log 6254；（2） 2 1 log5 32 ；（3） 1 3 log 5.73m；（4） 10 log 2018x . 例例 1 1把下列对数式写成指数式： （1） 5 log 6254； （2） 2 1 log5 32 ； （3
20、） 1 3 log 5.73m； （4） 10 log 2018x 解： （1） 4 5625； （2） 5 1 2 32 ； （3） 1 ( )5.73 3 m ； （4）102018 x . 设计意图：巩固新学概念，熟悉各部分的名称及读法，能够从“指数幂设计意图：巩固新学概念，熟悉各部分的名称及读法，能够从“指数幂 运算的逆运算”角度，将对数式和指数式进行互换运算的逆运算”角度，将对数式和指数式进行互换. . 【小结】由对数的定义，logaNb01aa，也就是 b aN. 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数（common logarithms） ， 10 logN简记 作lg N. 科
21、学技术中，常用到以无理数2.71828e为底的对数，以e为底的对 数叫做自然对数（natural logarithms）,logeN简记作lnN. 设计意图：通过例设计意图：通过例 1 1 及及其变式其变式的比较，小结对数概念与同底的指数幂的的比较，小结对数概念与同底的指数幂的 关系；给出常用对数和自然对数的规定关系；给出常用对数和自然对数的规定，简单介绍其应用，简单介绍其应用. . 9 9 / 1313 例例 2 2 试计算： （1） 1 2 log 16； （2） 2 1 log 128 ； （3）lg1； （4）lne. 解： （1）因为 4 1 16 2 ，所以 1 2 log 16=
22、4； （2）因为 7 1 2 128 ，所以 2 1 log7 128 ； （3）因为 0 101，所以lg10； （4）因为 1= ee，所以ln1e. 设计意图：理解对数是“数的表示” ，再次体会解决陌生的对数问题就设计意图：理解对数是“数的表示” ，再次体会解决陌生的对数问题就 是转化为是转化为求求同底的幂同底的幂的的指数问题，即同底的对数与指数问题，即同底的对数与指数幂相互等价指数幂相互等价. . 3. 对数概念的再认识 【问题 4】 回顾例 2 的 （1） 、（2） ， 把它们写成 4 1 2 1 log4 2 ， 7 2 log27 ， 你还有什么发现吗？试着归纳，并解释理由. 由
23、定义，因为,log b a aNNb，则log b aa b0,1aa. 类比得到， logaN aN0,1,0aaN. 由定义，因为,log b a aNNb，则 logaN aN0,1,0aaN. 上面的式子称为对数恒等式，它看起来很玄妙，但不过是对数定义的另一个 表达方式而已. 设计意图：在已得到结果上反思，从具体到抽象，从特殊到一般，归纳设计意图：在已得到结果上反思，从具体到抽象，从特殊到一般，归纳 并证明对数恒等式，并在证明过程中再次认识对数概念并证明对数恒等式，并在证明过程中再次认识对数概念. . 1010 / 1313 【问题 5】再回顾例 2 的（3） ，算一算， 2 log
24、1， 3 log 1等，你有什么发现？ 试着归纳一下. 因为 0 10,1aaa，所以log 10 a . 【问题 6】0 的常用对数存在吗？负数的常用对数存在吗？为什么？ 不存在.在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于 1 的正实数，可知， 零和负数没有对数，真数为正数，即0N . 【问题 7】回顾例 2 的（4） ，算一算， 2 log 2， 3 log 3，lg10的值是多少？你 有什么发现？试着归纳，并解释理由. log1 aa ，因为 1 aa. 设计意图：学生能够通过自主探究、合作交流，经历计算设计意图：学生能够通过自主探究、合作交流，经历计算- -归纳归纳- -猜想猜想- -
25、证明的研究过程，在解决问题的过程中理解并掌握对数的概念，得到对证明的研究过程，在解决问题的过程中理解并掌握对数的概念，得到对 数的常用性质数的常用性质. . 4.4. 计算与思考计算与思考 在一些很特殊的情况下，可以写出对数的具体数值，而在一般的情况下，如 果没有计算器，估算对数的精确值极为困难，就需要查阅有关的对数表来得到对 数的近似值.我们现在可以使用计算器，计算对数的值. 用计算器计算下列各对数的值： （结果精确到 0.01） lg0.02 lg0.3 lg0.9 lg1.1 lg2.83 lg5.24 lg82 lg348 思考：猜想对数为正或为负时，真数N的取值范围. 解：lg0.0
26、2= 1.70，lg0.30.52 ，lg0.90.05 ，lg1.10.04，lg2.83=0.45， lg5.24=0.72，lg82=1.91，lg348=2.54. 猜想：经计算发现： lg001;lg01.NNNN当时，当时， 设计意图：在对数是“数的表示”的角度下，引导学生用现有计算工具设计意图：在对数是“数的表示”的角度下，引导学生用现有计算工具 1111 / 1313 计算对数的值，培养发现和提出问题的能力，计算对数的值，培养发现和提出问题的能力，提升数学抽象提升数学抽象、直观想象直观想象 的素养，的素养，为后续学习留下伏笔为后续学习留下伏笔. . 5.5. 课堂小结课堂小结
27、在本节课，我们体验了对数的产生和发展历程，理解了对数的概念和它的常 用性质. 在对数的发展历史中，确实是受到当时天文、航海等实际问题中简化复杂运 算的需要， 而当数学家们意识到对数的意义， 他们就迫切的需要一张 对数表 ， 这样就可以将复杂的数对应到一个比较简洁易操作的数据.但造表的难度却相当 大，不过一旦做好了，就能一劳永逸. 500 年前苏格兰数学家约翰纳皮尔，用 了 20 年时间，研究运算规律，并制作了一张可查的表格. 数学家拉普拉斯说： “对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍. ” 现在，我们可以用计算机（器）方便快捷地进行多位数的计算，对数用于简 化计算的功能已经完成了其历史任
28、务， 但对数这个概念及其种种性质在现代数学 和其他科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置，并被广泛使用. 设计意图：设计意图：在现代数学的观点下，回顾对数发展的历史，在现代数学的观点下，回顾对数发展的历史，总结研究一个总结研究一个 代数对象的代数对象的基本过程基本过程，辩证的理解对数的意义和作用，提升数学课堂的辩证的理解对数的意义和作用，提升数学课堂的 人文情怀人文情怀. . 6.6. 作业作业 1) 练习册 4.4,A 组 1-4 题； 2) 探究对数的运算性质. 设计意图：检验学生是否理解并掌握对数的概念，设计意图：检验学生是否理解并掌握对数的概念，是否能够掌握对数式是否能够掌握
29、对数式 与指数式的转化；与指数式的转化；进一步启发学生的研究兴趣，为下节课学习对数的运进一步启发学生的研究兴趣，为下节课学习对数的运 算性质做铺垫算性质做铺垫. . 7.7. 板书设计板书设计 PPT 投影 4.4 对数概念及其运算 1.定义 2.规定 3.性质 1212 / 1313 点评： 这是一节关注知识本原、尊重认知规律、具有丰富数学内涵的课。 在本节课中，对数概念是核心，什么是对数？它是怎么来的？为什么要学 习对数？这是首先应该思考的问题。在教学过程中，教师首先结合有关的数学史 实，对概念的产生作了简明的交代：对数的产生源于天文学简化运算的需要；接 着模拟展现了对数的产生过程：如何化
30、乘除运算为加减运算，阐明问题思考的出 发点；最后通过对数概念的再创造过程，引导学生经历对数概念的形成过程，体 验其中蕴含的数学思想。 面对学生没有学过指数函数的图像和性质这一现实，教师没有将相关 知识强加给学生，而是借助 Excel 表格，通过不断细分，让学生体会： =0,1 b aN aa，当 a 取确定的值时，对于每一个 N 的值，存在唯一的 b 的 值与之对应。同时，又借助画图软件，作出指数函数的图像，结合图像说明值域 中的每一个 y 值被唯一的一个 x 值对应。这是充分考虑学生认知基础的设计，这 个过程对于学生补充学习指数函数也会有帮助的。 对数概念具有二重性：logab既可以看作一个
31、运算（过程） ，也可以看作一 个结果 （对象） 。 对于具有二重性的数学概念， 其认知发展的方向通常是先操作， 再抽象，在运算过程中完成对象的抽象，纳入认知结构。本节课的教学设计和实 施充分体现了这样的规律。例如，对数概念生成后，如何帮助学生建构对概念的 理解？例题 1 与例 1的设置， 充分尊重了这一认知规律， 引导学生在指数运算和 对数运算的互相转化的过程中进一步完成对数概念的抽象和理解。 1313 / 1313 数学课最重要的是教会学生科学地思维，如何数学地分析、思考和解决问 题。这节课很好的展现了数学的思维过程，如：面对大数运算如何简化的思考过 程，对数的产生过程，对数的认知过程，均很好地体现了面对问题如何分析和思 考，面对新知识如何认识和研究。在思考和解决问题的过程中，引导学生体验由 具体到抽象，由特殊到一般的分析过程，体验”归纳-猜想-证明”的思维过程；在 例题的分析和解决中，均不满足于问题的解决，还继续引导学生反思解题过程， 发现一般结论。这样设计和实施，很好地落实了本学科的核心素养，有利于学生 良好思维习惯的养成。所以，这也是一节具有丰富数学内涵，有效落实数学核心 素养，关注学生数学能力提升的好课。 曾国光
