1、 1 1 / 1010 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2018 年高中青年数学教师优秀课展示与培训活动参赛作品 平面向量基本定理教学设计 耿熹 (福州第三中学 福建 福州 350003) 一、内容和内容解析 1内容:探索发现并证明平面向量基本定理,应用定理解决简单的问题 2内容解析:平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三 种线性运算的基础上, 对向量运算的一个总结与提升, 建立了“形”与“数”的联系, 为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提, 也是向量法解决几何问题的重 要理论基础, 是平面向量学习中承上启下的一个重要知识,在中学数学中占有重 要地位 平面向量基本定理本
2、质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示 平面内的任意向量,实质上体现了平面向量的“二维性”,实现了向量的表示、运 算与图形的有机结合与统一 本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理, 培养发现和提出问题的能力,分析和解决问题的能力 二、目标和目标解析 1目标:在具体的问题情境中,通过具体操作向量的分解发现并证明平面 向量基本定理,结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义,并解决一 些简单的问题,提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养 2目标解析: 本节是规则课教学,达成上述目标的标志是:第一,在具体的问题情境中能 根据要求将平面向量进行分解,经历给定的向量用两个不共线的向量
3、(基底)来 表示的作图过程,形成平面向量基本定理的直观认识;第二,基于作图过程和原 2 2 / 1010 有共线向量表示法唯一性的认识, 能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的 表示法是唯一的,并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理;第三,知 道平面内不共线的两个向量都可以作为基底,表示平面内任意一个向量,能应用 平面向量基本定理解决简单的问题,体会平面向量基本定理的作用 三、教学问题诊断分析 学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算,对向量的表示与运算有一 定的认识,这是本节教学的认知基础但由于学生往往局限于图形的直观联系, 很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键
4、内容,对“向量任意 性”,“表示唯一性”,“基底不共线”等概念认识也不到位,加上平面向量基本定 理的内容有高度的抽象性, 证明定理需要严谨的逻辑性, 成为学生学习的难点 此 外, 由于对定理的地位与意义认识不足,在定理的应用中无法正确选择合适的向 量,建立向量与基底的联系,也是学生解决问题时的难点 综上,本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明 四、教学支持条件分析 为了更有效实现教学目标,突破教学难点,教学时应采用从特殊到一般的策 略,让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程为便于开展 活动教学,可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动,运用几何画板等软件实 现平面向
5、量基本定理的动态展示,以此加强对平面向量基本定理的理解,积累学 生的基本活动经验,进而形成数形结合的思维认知,提升学生直观想象的核心素 养 五、教学过程设计 1创设情境,激发思考 问题 1:今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题 之前,我们学习了平面向量的线性运算,如果一个非零向量a与向量b共线,我 们可以如何表示向量b? 3 3 / 1010 【师生活动设计】教师提出问题,学生思考后回答,师生共同得出:如果一个非 零向量a与向量b共线,存在唯一的实数使得ba. 【设计意图】 通过复习平面向量共线,使学生明白两个向量共线的位置关系可以 通过向量的数乘运算来进行代数表示,而且表示的结果是
6、唯一的,这为下面引出 平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向 问题 2 :在物理中,我们知道为求放置在斜坡上的木块受到的摩擦力,需要将 重力分解如图 1 所示,你能将受力分析的结果用向量表示出来吗? 力的分解是向量分解的物理模型,根据受力分析,我们可以通过作平行四边形将 向量OG分解为两个向量OF与OA,这里向量OG是这两个向量的和,即 OGOFOA这引发我们思考,平面内的任意一个向量,能否用某些给定向 量的代数和的形式表示?如果可以,这样的向量需要几个? 图 1 【师生活动设计】 教师提出问题学生思考,教师引导学生从力的分解过渡到向量 的分解如果学生能正确回答可以用两个向量表示平面内任意一
7、个向量,就追问 这两个向量需要满足什么条件?引向问题 3,如果学生没有反应或回答错误,就 采用追问 1 和 追问 1我们之前学过向量的加法、减法、数乘向量的运算,如果给定向量 a, 平面中任意一个向量 b,能否用向量 a 来表示? 追问 2 已知平面内的两个非零向量 1 e, 2 e, 请你作出向量 12 2ee, 12 3ee 给 你什么启发? 【设计意图】 通过力的分解的物理模型引出平面向量分解的平行四边形模型,让 学生明确向量的分解的依据是平行四边形法则作为基本模型, 从运算与表示的角 4 4 / 1010 度为后续做铺垫,发展学生数学建模和数学抽象的核心素养追问 1 和追问 2 目的是
8、引导学生理解表示平面内任意一个系列需要两个不共线的向量 2.活动探究,发现规则 问题 3:如图 2 所示,给定两个不共线的向量 1 e, 2 e及同一平面内的向量a将 a沿着 1 e, 2 e的方向分解,你有什么发现? 图 2 【师生活动设计】学生动手作图,教师提问一名学生在黑板上作图展示在学生 作图的基础上,向学生强调先在同一起点O作 1 OAe, 2 OB e,之后再做出向 量OC a,然后将向量a沿着 1 e, 2 e的方向分解如果学生在作图上比较顺利, 能够作图并表示,那么导向问题,如果学生在作图上有困难,无法作图或者作 图后无法用线性运算表示出来,则教师进入以下环节: 追问 1:在物
9、理中,我们将力根据需要进行分解,依据的是平行四边形法则,现 在你可以运用平行四边形法则进行分解吗? 追问 2:当你将向量a沿着向量 1 e, 2 e方向分解,分解后的向量和向量 1 e, 2 e是 什么关系?这种关系如何表示? 【设计意图】引导学生经历作图过程进行体会,将平面内的向量a,沿着 1 e, 2 e 的方向分解,并用 1 122 aee的形式表示出来,掌握向量平行四边形分解的方 法, 初步认识平面向量基本定理的图形表示与代数表示,实现从图形到代数表示 的过渡,发展学生数学抽象的核心素养 问题 4: 如果再给出平面内的另一个向量 a, 还能用给定两个不共线的非零向量 1 e, 2 e来
10、表示吗? 【师生活动设计】教师改变向量a的方向和位置,分别呈现出以下几种状态,让 e2 e1 a 5 5 / 1010 学生进行作图、表示、展示其中几种状态如图 3 所示: 图 3 追问:如果a是零向量,可以用给定两个不共线的非零向量 1 e, 2 e来表示吗?从 这个探究过程中,你可以得到什么结论? 【师生活动设计】教师提问,请两位学生到白板上画图,并将结果表示出来并解 释作图的关键同时运用多媒体辅助手段,动态展示向量a的不同情形下(含共 线向量)如何通过构造平行四边形来表示它 【设计意图】 让学生体会平面内的任一非零向量,都可以用两个不共线的非零向 量表示出来,突破“任意性”这个难点,发展
11、学生逻辑推理的核心素养 问题 5:对于给定的向量a,可以用给定两个不共线的向量 1 e, 2 e表示为 1 122 aee那么这种表示的 12 , 是唯一的吗?你可以给予证明吗? 【师生活动设计】 引导学生从图形和代数两个角度解释原因, 如果学生可以回答, 则进入问题 6,否则引导学生思考:表示的结果唯一,就意味着分解的唯一,从 图形上看就是平行四边形的唯一,你能通过所学的几何知识来解释吗? 从代数上如何证明 12 , 是唯一的呢?代数中要证明唯一性我们一般采用的方法 是什么?如何证明? 【设计意图】 从几何和代数两个角度让学生认识表示结果的唯一性,发展学生直 观想象和逻辑推理的核心素养 3抽
12、象概括,阐述规则 问题 6:你能把上述探究发现的结果,用数学的语言描述出来吗? 【师生活动设计】教师提问,学生回答,教师给予引导和纠正,共同得出平面向 量基本定理: 如果 12 ,e e是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任意向量a, a e2 e1 a e2 e1a e2 e1 6 6 / 1010 有且只有一对实数 12 , ,使 1 122 aee 我们把不共线的向量 12 ,e e叫做表示这一平面内所用向量的一组基底 【设计意图】让学生在探究、发现的基础上,将已有的图形语言,用文字语言、 符号语言表示出来,培养学生会用数学的语言表达所发现的结论的能力,发展数 学抽象的
13、核心素养 4辨析思考, 理解规则 问题 7:已知 12 ,e e是平面内向量的一组基底 (1) 1 e和 12 ee可以作为平面向量的一组基底吗? (2)用 1 e和 12 ee表示向量 12 46ee 【师生活动设计】教师提问,学生作答,在问题中引导学生从平行四边形和待定 系数法两个角度来思考问题,根据学生回答的情况,教师给予适当的启发和拓展 如果学生对问题(1)有困难,则可追问:作为平面向量的一组基底需要满足的 条件是什么? 如果学生对问题(1)能够解答,则追问:你们还有其他的解决问题的方法吗? 如果学生对问题(2)有困难,则可追问:如果向量 12 46ee用 1 e和 12 ee表示,
14、则表示的结果是什么形式? 【设计意图】理解基底的概念,能够运用平面向量基本定理的代数特征,通过待 定系数法来表示平面内的任一向量,发展学生逻辑推理的核心素养 5规则应用, 凸显本质 问题 8:如图 4 所示, 在正方形ABCD中,AC a,BD b,用,a b来表示AB, AD. 图 4 DC B A 7 7 / 1010 【师生活动设计】教师提问,学生回答,引导学生思考解决问题的两种方法若 学生回答出其中一种方法,则教师引导思考另一种方法指出向量的表示,能够 运用待定系数法来表示平面内的向量,也可以通过图形特征,构造平行四边形、 三角形建立向量的表示,突出平面向量基本定理的两大主要特征. 【
15、设计意图】理解基底的概念,既能够运用平面向量基本定理的代数特征,通过 待定系数法来表示平面内的任一向量,也能够运用平行四边形、三角形法则,通 过几何图形实施向量的线性运算,求出结果,发展学生直观想象和逻辑推理的核 心素养 问题 9: 如图 5 所示, 平面向量,OA OB不共线, 且APtAB(tR) , 试用,OA OB 表示OP 图 5 【师生活动设计】教师提问,学生思考后回答,教师给予解题指导后,指出这是 向量OP具有特殊情形时(点 P 在直线 AB 上) ,用,OA OB表示的结果,并询问 这种结果有什么特殊性,引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系 【设计意图】通过该例题,熟悉
16、掌握平面向量基本定理的运用,同时体现了平面 向量基本定理的基本性,可以用来表示平面向量共线,在此基础上可以对平面向 量基本定理的认知进行扩充,即可以表示平面内的任意一点的位置,发展学生数 学抽象的核心素养 6. 总结归纳, 提炼感悟 问题 10:在本节课探究、发现、表述、证明平面向量基本定理的过程中,你有 哪些收获?平面向量基本定理为我们通过向量的方法解决问题提供了哪些便 利? P B A O 8 8 / 1010 【设计意图】回顾探究过程,整理研究思路,揭示定理本质,为平面向量的正交 分解及坐标表示打下伏笔,揭示数学的简洁美, 在此基础上过渡到坐标架的角度 给予学生更深层次的认识 六、目标检
17、测设计 1设 1 e, 2 e是平面内一组基底,则下面四组向量中,能作为平面内一组基底的 是( ) A 12 ee与 21 ee B 12 2 +3ee与 12 46ee C 12 ee与 12 +ee D 12 2ee与 21 1 2 ee 解析:不共线的两个向量能作为平面内一组基底,因此需要判断选项中所给的两 个向量是否共线: 其中,对于选项 A: 12 ee 21 () ee,所以 12 ee与 21 ee共线; 选项 B: 12 46ee 12 =2(2 +3)ee,所以 12 2 +3ee与 12 46ee共线; 选项 D: 12 2ee与 21 1 =2() 2 ee,所以 12
18、2ee与 21 1 2 ee共线; 选项 C: 12 ee与 12 +ee是以 1 e, 2 e为邻边的平行四边形的两条对角线,因为 1 e, 2 e不共线,所以 12 ee与 12 +ee不共线 【设计意图】检测学生对基底的概念的掌握情况 2设,D E分别是ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= 1 2 AB,BE= 2 3 BC,若 12 DEABAC(1,2为实数) ,则 1+2的值为 解析:由题意结合向量的运算可得:DEDBBE. 其中 1 2 DBAB, 22 () 33 BEBCACAB. 所以 12 63 DEABAC . 所以 1 1 6 , 2 2 = 3 ,所以 12 1
19、 += 2 . 【设计意图】 检测学生对平面向量基本定理的理解,以及运用平面向量的线性运 9 9 / 1010 算表示向量的能力 3 如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且AB a,ADb, 试用,a b分别表示向量,MA MB MC MD 解析:平行四边形 ABCD 中,AB a,ADb, 则 11 22 MA ab, 11 22 MB ab, 11 22 MC ab, 11 22 MD ab 【设计意图】检测学生运用平面向量基本定理表示平面向量的掌握情况 七、点评(黄炳锋,福州第三中学) 平面向量基本定理是一节规则课,有些老师认为本节课所涉知识浅显,难度 不大,常常省略了
20、定理的发现与证明过程,把这节课上成定理的应用课。与这种 极端功利的教学不同,耿熹老师的这节课遵循了规则课的一般结构,经历了定理 的发现与提出、定理的阐述与证明、定理的理解与应用等环节,并为每个环节的 教学都进行了设计,深入思考了课堂结构的严谨性与知识内容的逻辑连贯性,将 看似平淡的定理教学演绎得风生水起。 第一,定理的发现与提出。在这一环节,耿熹老师为规则学习的必要性做了 精心的设计,首先在创设的问题情境中,教师提出力的分解是向量分解的物理模 型, 你能将受力分析的结果用向量表示出来吗?然后根据表示的结果,引发学生 思考, 平面内的任意一个向量,能否用某些给定向量的代数和的形式表示?如果 可以
21、, 这样的向量需要几个?这样贴近学生思维发展区的问题自然导向向量的分 解与合成,并在平行四边形法则这一熟悉的基本模型下,进行操作活动,积累向 量分解与合成的认知经验,依此开始探究并发现规则。 第二,定理的阐述与证明。为了突破定理阐述过于抽象的难点,耿熹老师设 计了两个问题进行铺垫,问题 4 突破“任意性” ,问题 5 突破“唯一性” ,这样到 1010 / 1010 问题 6,要求学生将探究发现的结果,用数学的语言描述出来就顺利了。仔细观 察这一环节,我们还发现从动手操作到归纳概括,从几何图形到代数阐述,从定 理的具象呈现到抽象表示,教师遵循学生的认知规律,循序渐进发展学生的数学 抽象、直观想
22、象以及逻辑推理等核心素养,可谓匠心独具。 第三,定理的理解与应用。在定理应用之前,耿熹老师设计了辨析思考,理 解规则这一步骤,看似不经意的问题 7 其实有深意,两个小题,分别解释了基底 的选择和不同基底的表示。从图形上看,任意两个不共线的向量均可作为基底, 这是几何特征;转换基底进行向量表示,体现了代数特征,学生不再需要动手操 作向量的分解, 而是借助代数运算实现从形到数的过渡。 定理的应用也凸显本质, 两个问题的设计既是呼应又有发展,从基底表示到表示的特殊性,揭示了定理的 代数特征,引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系,为向量从“形” 到“数”转型提供了认知基础 纵观本课教学过程,我们不难得到这样的启发,作为中学数学重要的一种课 型,规则课的教学应遵循其应有的课堂结构,教学中要积极创设问题情境,引导 学生还原生动活泼的定理发现与证明过程,揭示定理的内涵。惟其如此,才能有 效提升学生发现和提出、分析和解决问题的能力。